5. Пределы
5.1 Краткие сведения из теории
Основное определение предела функции:
Число А называется пределом функции пристремящимся к, если для любого малого0 существует такое малое δ0, что неравенство наступает, как только наступает .
Обозначается: .
Очень удобным для понимания этого определения является определение предела функции «на языке окрестностей»: точка А называется пределом функции у= в точке a ( т.е. ), если по любойε-окрестности ()А найдется δ-окрестность ()такая, что для любогох, принадлежащего δ-окрестности ()(), соответствующее значение функцииу= попадает в ε-окрестность ()А.
Оба эти равноценные определения иллюстрируются на рис. 4.1
y у= f(x)
А+ε
А
А-ε
а- а а+ x
Рис. 4.1
Эти определения охватывают все возможные ситуации, когда А и конечны, равны 0 или бесконечны (одно их них или оба). Для вариантовА=∞ и =∞ соответствующие неравенства выглядят так:>М; >N, где М>0, N>0 – сколь угодно большие. На рис. 4.2 приводится геометрическая «трактовка» остальных восьми определений пределов функции без самих определений.
yy
M
ε
- ε
y y
у= f(x)
ε у= f(x) A+ ε
A
- δ δ x A- ε
- ε
- δ 0 δ х
y
y
M
у= f(x)
у= f(x) ε
x
- δ δ x -ε N
y y
A+ε
A M у= f(x)
A-ε y=f(x)
N х N x
Рис.4.2