- •9. Определенный интеграл и его приложения
- •9.1. Понятие определенного интеграла
- •Если предел последовательности интегральных сумм
- •9.2. Свойства определенного интеграла
- •9.4. Метод замены переменной в определенных интегралах
- •9.5. Метод интегрирования по частям в определенных интегралах
- •9.6. Вычисление площадей плоских фигур
- •9.7. Параметрические функции
- •9.8. Полярная система координат
- •9.9. Вычисление длины дуги плоской кривой
- •9.10. Вычисление площади поверхности вращения
- •9.11. Объем тела вращения
- •9.15. Несобственные интегралы
9. Определенный интеграл и его приложения
9.1. Понятие определенного интеграла
Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b]. Этот отрезок разделим на n произвольных, необязательно равных, частей:
a=x0 < x1 < ... < xn=b.
В этом случае говорят, что произведено разбиение отрезка [a,b]. На каждом участке разбиения [xi–1, xi] возьмем произвольную точку i и вычислим значение функции f(x) в этих точках. Если умножить полученные значения функции f(i) на длину соответствующего участка xi = xi–xi–1 и просуммировать , то получим
, (9.1)
которая называется интегральной суммой функции f(x) на отрезке [a,b].
Обозначим через x =max xi.
Если предел последовательности интегральных сумм
. (9.2)
существует, т.е. конечен и не зависит от способа разбиения отрезка [a,b] и от выбора точек i на соответствующих участках, то этот предел называется
Определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a,b] и обозначают
. (9.3)
Здесь число a называется нижним пределом, число b называется верхним пределом интеграла.
Функция f(x) называетсяинтегрируемойна отрезке [a,b], если для этой функции на указанном отрезке существует предел интегральных сумм, т.е. определенный интеграл.Необходимое условие интегрируемости: если функцияf(x)интегрируема на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке.Достаточное условие интегрируемости: если функцияf(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке.
9.2. Свойства определенного интеграла
1. .
2. .
3. .
4. Если функция f(x) – четная, то ,
если функция f(x) – нечетная, то .
9.3. Формула Ньютона-Лейбница
Теорема (формула Ньютона-Лейбница). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то имеет место следующая формула:
. (9.4)
Пример 1. Вычислить интегралы
а) , б).
Решение.
а) ,
б) .
9.4. Метод замены переменной в определенных интегралах
Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а функция x=(t) дифференцируема на отрезке [t1,t2], где a=(t1) и b=(t2), то имеет место формула:
. (9.5)
Пример 2. Вычислить интегралы
а) , б).
Решение. а) Сделаем замену . Тогдаиdx = 2tdt/(1+t2). Поскольку при x=0 t=0 и при x=ln2 t=1, то получим
.
б) Сделаем тригонометрическую подстановку x=4sint. Тогда
.
Заметим, что при использовании метода замены переменной необходимо проверять выполнение всех перечисленных в теореме условий. Если эти условия нарушаются, то может быть получен неверный результат.
9.5. Метод интегрирования по частям в определенных интегралах
Теорема. Если функции u=u(x) и v=v(x) непрерывны вместе со своими производными на отрезке [a,b], то имеет место формула:
. (9.6)
Пример 3. Вычислить интегралы
а) , б).
Решение. а) Воспользуемся формулой (9.6) интегрирования по частям, для этого положим u=x, dv=e–xdx, откуда du=dx, v=–e–x. Тогда
.
б) Применяя формулу интегрирования по частям, получим
.