11.2. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Дифференциальным уравнением -го порядка называется уравнение вида
. (11.12)
Интегрирование дифференциальных уравнений -го порядка (в конечном виде) удается произвести только для некоторых частных случаев.
Решение уравнения находится -кратным интегрированием, а именно:
, ,
,
……………………………………………………
,
где
.
Так как ,, … являются постоянными величинами, то общее решение может быть записано так:
.
Пример 15. Решить дифференциальное уравнение
.
Решение. Последовательно интегрируя четыре раза данное уравнение, получим
,
,
,
.
Порядок уравнения вида
можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных данного уравнения, т.е. полагая . Тогда получим уравнение
.
Таким образом, порядок уравнения понижается на единиц.
Пример 16. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Поскольку уравнение не содержит , то полагая, имеем. Получаем дифференциальное уравнение
.
Разделив его на , получим линейное неоднородное уравнение
.
Решая однородное уравнение, получаем
, ,.
Решаем неоднородное уравнение, например, методом вариации постоянных:
, ,,.
Таким образом, решением является
.
Т.к. , имеем
.
Интегрируя, получим общее решение
или
.
Уравнение вида
допускает понижение порядка на единицу, если положить , а за новый аргумент принять сам. В этом случае,, … выразятся черези производные отпопо формулам
, , …
(они выводятся по правилу дифференцирования сложной функции), причем порядок уравнения понизится на единицу.
Пример 17. Найти решение уравнения
.
Решение. Положив и принявза новую независимую переменную, получим. Тогда данное уравнение можно записать в виде
.
Полученное уравнение – с разделяющимися переменными:
или .
Интегрируя, получаем
, .
Т.к. , то приходим к следующему уравнению относительно
.
Находя интеграл, получаем
,
или окончательно
.
11.3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Дифференциальное уравнение
, (11.13)
где коэффициенты ,, …,,- некоторые действительные числа, называетсялинейным однородным уравнением n -го порядка с постоянными коэффициентами.
Общее решение уравнения (11.13) определяется формулой
,
где ,, …,- его линейно независимые частные решения.
Для нахождения частных решений уравнения (11.13) составляют характеристическое уравнение
, (11.14)
которое получается из уравнения (11.13) заменой производных искомой функции соответствующими степенями , сама функция заменяется единицей. Уравнение (11.14) является уравнением-й степени и имееткорней (действительных или комплексных, среди которых могут быть и равные).
Общее решение дифференциального уравнения (11.13) строится в зависимости от характера корней уравнения (11.14):
каждому действительному простому корню в общем решении соответствует слагаемое вида;
каждому действительному корню кратности в общем решении соответствует слагаемое вида;
каждой паре комплексных сопряженных простых корней в общем решении соответствует слагаемое вида;
каждой паре комплексных сопряженных корней кратностив общем решении соответствует слагаемое вида.
Пример 18. Решить уравнение
.
Решение. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Соответствующее ему характеристическое уравнение
имеет действительные корни ,. В соответствии с п.1 общее решение записывается в виде
.
Пример 19. Найти решение уравнения
.
Решение. Характеристическое уравнение
имеет равные корни . В соответствии с п.2 получаем общее решение исходного уравнения в виде
.
Пример 20. Решить уравнение
.
Решение. Имеем:
, ,.
На основании п. 3 получаем общее решение уравнения:
.
Пример 21. Решить уравнение
.
Решение. Здесь характеристическое уравнение
имеет различные действительные корни ,,, поэтому общим решением исходного уравнения в соответствии с п.1 будет
.
Пример 22. Найти решение уравнения
.
Решение. Имеем соответствующее характеристическое уравнение
, ,.
Поэтому согласно п.4 общее решение имеет вид
.
Дифференциальное уравнение
(11.15)
называется линейным неоднородным уравнением с постоянными коэффициентами.
Общее решение уравнения (11.15) определяется формулой
,
где - общее решение соответствующего однородного уравнения (11.13), а- частное решение данного неоднородного уравнения.
В общем случае частное решение уравнения (11.15) может быть найдено с помощью метода вариации постоянных (метода Лагранжа). Если
общее решение однородного уравнения (11.13), то общее решение неоднородного уравнения (11.15) ищут в виде
.
Функции ,, …,находят из решения системы уравнений:
(11.16)
Пример 23. Найти решение задачи Коши
с начальными условиями ,.
Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид
.
Имеем характеристическое уравнение
.
Ему соответствуют корни и. Тогда общее решение однородного уравнения:
.
Применим метод вариации постоянных. Для этого решение данного неоднородного уравнения ищем в виде
.
Для определения функций ,записываем систему уравнений (11.16):
Решая ее (т.к. решение ищем в окрестности точки , то), получаем
, .
Интегрируя, находим
, .
Записываем полученное общее решение данного неоднородного уравнения
.
Используя начальные условия, определяем константы и. Т.к.
,
то . Т.к.
,
то . Таким образом, решением задачи Коши является
.
В простейших случаях частное решение может быть найдено с помощью метода неопределенных коэффициентов. Этот метод применим только в том случае, если правая часть уравнения (11.15) имеет специальный вид. Укажем возможные случаи и соответствующие им виды частных решений:
, где - полином от, который может, в частности, быть заданным постоянным числом, отличным от нуля. Тогда частное решение неоднородного уравнения (11.15) можно найти в виде, где- полином той же степени, что и, но с неопределенными коэффициентами, а- число корней характеристического уравнения, равных нулю.
, где - полином от. Тогда частное решение следует искать в виде, где- полином той же степени, что и, а- число корней характеристического уравнения, равных.
, где и- полиномы от. (Эти полиномы, в частности, могут быть постоянными числами, и один из них – тождественным нулем). Пусть- наивысшая из степеней полиномови. Тогда частное решение следует искать в виде
,
где , - полиномы степени с неопределенными коэффициентами,- число корней характеристического уравнения, равных.
, где ,, …,- функции вида, рассмотренного в п.п. 1-3. Если,, …,- частные решения, соответствующие функциям,, …,,
то является частным решением уравнения (11.15).
Пример 24. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Характеристическое уравнение, соответствующее однородному уравнению имеет вид
.
Его корнями являются . Им соответствует общее решение
.
Согласно п.1 частное решение ищем в виде
,
где и- неизвестные коэффициенты. Дифференцируядважды и подставляя,,, находим
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства:
: ;
: ,
находим ,. Итак, частное решение данного уравнения имеет вид, а его общее решение
.
Пример 25. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
.
Решая отвечающее ему характеристическое уравнение
,
получаем корни ,. Следовательно,
.
Перейдем к отысканию частного решения исходного уравнения. Здесь правая часть имеет вид, т.е. соответствует п. 2 с,. Т.к. числоне является корнем характеристического уравнения, тоk =0 . Следовательно, частное решениенужно искать в виде
,
где ,и- некоторые неизвестные коэффициенты. Для их отыскания воспользуемся тем, чтодолжно быть решением исходного уравнения. Найдем и :
,
;
теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:
.
Сокращая обе части полученного равенства на и группируя члены при одинаковых степенях, в результате получим
.
Это равенство тождественно выполняется только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равны между собой. Итак, для отыскания коэффициентов,иимеем следующую систему уравнений:
: ;
: ;
: .
Решая эту систему, найдем ,,. Таким образом, получаем искомое частное решение
.
Теперь можно записать общее решение исходного уравнения:
.
Пример 26. Найти решение уравнения
,
удовлетворяющего краевым условиям ,.
Решение. Характеристическое уравнение
имеет корни ,, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения
.
Частное решение , согласно п.3 следует искать в виде
,
т.к. ,;является простым корнем характеристического уравнения, поэтому; кроме того,. Итак, дифференцируядважды и подставляя производные в исходное уравнение, получим
.
Приведя подобные, получим
;
Приравнивая коэффициенты при ив правой и левой частях полученного равенства, имеем
: ,
: ,
т.е. ,. Следовательно, частное решение исходного уравнения имеет вид
,
а общее решение исходного уравнения
.
Постоянные инайдем, используя краевые условия. Имеем
.
и, далее,
,
,
,
.
Таким образом,
,
,
откуда получим систему уравнений
решая которую, находим , . Таким образом, решение исходного уравнения, удовлетворяющее поставленным краевым условиям имеет вид
.
Пример 27. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Находим сначала . Характеристическое уравнение
имеет корни ,, поэтому
.
Переходим к нахождению . Здесь правая частьисходного уравнения представляет собой сумму функцийи. Согласно п.4 будем искать частные решения,для каждой из функций в отдельности.
Функция соответствует п.1 прии. Значит
.
Дифференцируя, находим
, ,
подставляя ив левую часть исходного уравнения и приравнивая полученное выражение к, получим
,
откуда
: ,
: ,
или ,. Таким образом,
.
Функция соответствует п.3 при,,. Поэтому частное решение ищем в виде
.
Дифференцируя, находим
.
Подставляя ив левую часть исходного уравнения и приравнивая полученное выражение к, имеем
или
,
откуда
: ,
: ,
т.е. , . Следовательно,
.
Итак, общее решение исходного уравнения запишется следующим образом:
.