- •12. Кратные интегралы
- •12.1. Двойной интеграл
- •Решение. Непосредственное вычисление данного интеграла было бы затруднительным. Однако простая замена переменных
- •Решение. Применив формулу (12.4), перейдем к полярным координатам:
- •Решение. Область представляет собой фигуру, ограниченную слева параболой, справа прямой. Решая систему уравнений
- •Решение. Данное тело ограничено двумя параболоидами (рис. 12.9). Решая систему уравнений
- •Решение. Уравнение поверхности имеет вид , областьесть круг, ограниченный окружностью. Находим производные
- •Решение. Находим массу и статические моменты:
- •Решение. Момент инерции относительно начала координат равен
- •12.2. Тройной интеграл
- •Решение. Область проецируется на плоскостьв треугольник, ограниченный прямыми,,. По формуле (12.5) имеем
- •Решение. Данное тело ограничено сверху плоскостью , снизу – параболоидом(рис. 12.18). Объем тела находим, используя цилиндрические координаты:
- •Решение. Найдем массу рассматриваемого тела:
- •12.3. Задачи
12. Кратные интегралы
12.1. Двойной интеграл
Двойным интегралом от функции по областиназывается предел интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшего из диаметров всех элементарных областей:
.
При вычислении двойного интеграла в декартовых координатах (тогда двойной интеграл, как правило, записывается в виде ) различают следующие два случая.
Рис. 12.1
Тогда вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двукратного интеграла по формуле
. (12.1)
Здесь внутренний интеграл берется по переменнойпри фиксированном, но произвольном значениина отрезке. В результате получается некоторая функция от, которая затем интегрируется в пределах отдо.
Рис. 12.2
Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле
, (12.2)
причем сначала вычисляется внутренний интеграл , в которомсчитается постоянным.
В более общем случае область интегрирования путем разбиения на части сводится к основным областям.
Пример 1. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной параболойи прямымии(рис. 12.3).
Рис. 12.3
.
Пример 2. Изменить порядок интегрирования в интеграле
.
Рис. 12.4
.
Иногда вычисление двойных интегралов упрощается с помощью замены переменных. Замена переменных в двойном интеграле производится по формуле
, (12.3)
где - область, в которую преобразуется областьпри отображении,;- подынтегральная функция, преобразованная к новым координатам;-якобиан функций ,:
.
Часто используется частный случай замены переменных – полярные координаты. При этом в качестве иберутся координатыи, связанные с декартовыми формулами
, (,).
Формула замены в этом случае переменных принимает вид
, (12.4)
где - область в полярной системе координат, соответствующая областив декартовой системе координат.
Пример 3. Вычислить двойной интеграл , где- область, ограниченная прямыми,,,(рис. 12.5).