Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Saprikina_Analit_geometr

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

2.44 Mб

Скачать

☆

1 / 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ Національнийуніверситеткораблебудування

імені адмірала Макарова

Л. Т. Саприкіна, Н. О. Цеберна, І. В. Пєтков

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Навчальнийпосібник

Рекомендовано Методичною радою НУК

Миколаїв2011

УДК 514.12 Рекомендовано Методичною радою НУК

ББК 22.151.5 С 19

Авторськийколектив:

Л.Т. Саприкіна, кандидатфізико-математичнихнаук, доцент; Н.О. Цеберна, викладачкафедривищоїматематики; І.В. Пєтков, викладачкафедривищоїматематики

Рецензент Юрченко Т.А., кандидат фізико-математичних наук, доценткафедривищоїматематики

Саприкіна, Л. Т.

С19 Аналітична геометрія [Текст] : навчальний посібник / Л. Т. Саприкіна, Н. О. Цеберна, І. В. Пєтков. – Миколаїв: ВидавництвоНУК, 2011. – 116 с.

Наведений навчальний матеріал для вивчення та самостійного засвоєння модуля "Аналітична геометрія". Матеріал розбито на сім частин у формі практичних занять, для кожного з яких подано основні теоретичні відомості, задачі трьох рівнів складності для аудиторної та самостійної роботи студентів із розв'язаннями або вказівками й відповідями.

Призначений для студентів денної, заочної та дистанційної форм навчання, а також може бути використаний викладачами при проведенні практичних занять.

УДК 514.12 ББК 22.151.5

Навчальневидання

САПРИКІНА Людмила Тихонівна ЦЕБЕРНА Наталя Олександрівна ПЄТКОВ Ігор Васильович

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Навчальний посібник

(українською мовою)

Редактор Т.Б. Митрофанова

Комп’ютернескладанняіверстання А.Й. Лихіна

Коректор М.О. Паненко

Формат 60× 84/16. Ум. друк. арк. 6,8. Тираж 100 прим. Зам. № 87.

Видавець і виготівник Національний університет кораблебудування, 54025, м. Миколаїв, просп. Героїв Сталінграда, 9

Свідоцтво про внесення суб'єкта видавничої справи до Державного реєстру видавців, виготівників і розповсюджувачів видавничої продукції ДК № 2506 від 25.05.2006 р.

ВСТУП

Перехід на кредитно-модульну систему навчання і курс на змен- шеннякількостілекційно-семінарськихгодиннавантаженнявимагають приділятибільшуувагусамостійнійроботістудентадляоволодінняпрограмним матеріалом. У зв'язку із цим виникає необхідність появи такої навчальної літератури, яка б допомагала студенту засвоювати не тільки основні теоретичні положення дисципліни, а й могла акцентувати його увагу на основних методах та прийомах розв'язання як типових, так інестандартнихзавданьнапрактичнезастосуваннядисципліни.

Данийпосібникзрозділу"Аналітичнагеометрія" розв'язуєсаметаку задачу. Матеріал модуля розбито на сім частин у формі практичних занять. Структура кожного практичного заняття наступна:

І. Короткітеоретичнівідомості(лекційнийматеріал).

ІІ. Завданнядляаудиторноїроботиздетальнимирозв'язаннямитрьох рівнівскладності:

рівень А (обов'язковий) – включає у себе завдання, обов'язкові для виконання всіма студентами згідно з навчальною програмою;

рівень Б (середній) – завдання, що містять елемент складності йпотребуютьвиконанняпевнихалгебраїчнихперетворень;

рівень В (підвищеної складності) – включає у себе завдання, спрямовані на розвиток аналітичного мислення, просторової уяви, творчих здібностей студентів і вміння застосовувати нестандартний підхід.

ІІІ. Завдання для самостійного розв'язання, які містять задачі трьох рівнівскладностізрозв'язаннями, відповідямитавказівкамидоїхвиконання.

4 Аналітичнагеометрія

Практичне заняття № 1

Лінії на площині та їх рівняння

Короткітеоретичнівідомості

Лініянаплощинізадається:

1) у декартових координатах рівнянням F (x; y)= 0, якому задо-

вольняють координати всіх точок M (x; y) даної лінії та не задовольняють координати будь-якої точки, що їй не належить;

2) у полярній системі координат рівнянням F (ρ ; ϕ )= 0, де ρ і ϕ –

полярнікоординатидовільноїточкиМ: ρ – полярнийрадіус, ϕ – полярний кут;

3) параметрично рівняннями	x = x(t),	де координати довільної
	y = y(t),

точки х і у розглядаються як функції параметра t.

В аналітичній геометрії розв'язуються дві основні задачі.

І. Заданимрівнянням знайтийогогеометричний образ(лінію). ІІ. Залінією, заданою якгеометричне місце точок, щомаютьхарак-

тернудлянихвластивість, знайтирівнянняцієїлінії.

Длярозв'язанняпершоїзадачітребадослідитиданерівняннятазобразитивідповіднийгеометричнийобразузаданійсистемікоординат.

Длярозв'язаннядругоїзадачінеобхідно:

1)наплощинівибратисистемукоординат;

2)взятидовільнуточкуналініїзізміннимикоординатами;

3)записатигеометричнувластивість, характернудлявсіхточоклінії,

увиглядірівності;

4)виразитичереззміннікоординатитапараметрилініївсівеличини, що входять у цю рівність.

Завдання для аудиторної роботи

РІВЕНЬ А

Задача1. Встановити, якілініївизначаютьрівняння: 1) x2 − xy = 0; 2) (x − 3)2 + 2 y2 = 0; 3) (x − 3)2 + (y + 2)2 +1 = 0.

Лінії на площині та їх рівняння	5

Розв'язання
1. x2 − xy = 0 x(x − y)= 0	x = 0 або x − y = 0. Отже, рівняння

визначає лінію, яка складається з прямих x = 0 (осі Оу) та y = x (бісектрисипершогойтретьогокоординатнихкутів).

2.Рівняння (x − 3)2 + 2 y2 = 0 задовольняє тільки одна точка (3; 0).

Уподібних випадках кажуть, що рівняння визначає вироджену лінію.

3.Рівняння (x − 3)2 + (y + 2)2 +1 = 0 невизначаєжодноїточки, оскіль-

кидлябудь-якихзначеньхіумаємо (x − 3)2 + (y + 2)2 +1 > 0 . Уподібних випадках кажуть, що рівняння визначає уявну лінію.

Задача 2. Знайти точки перетину з осями координат ліній: 1) x2 + y2 = 4; 2) (x + 6)2 + (y − 3)2 = 25; 3) x2 + y2 − 6x + 4 y +12 = 0.

Відповідь: 1) (– 2; 0), (2; 0), (0; – 2), (0; 2); 2) (– 10; 0), (– 2; 0), з віс-

сюОулініянеперетинається; 3) лініязосямикоординатнеперетинається.

Задача 3. Скласти рівняння лінії, сума квадратів відстаней кожної

точки якої до точок M1 (− 4; 0)

і M 2 (4; 0) дорівнює 50.

Розв'язання. Візьмемо довільну точку M (x; y), яка належить шу-

каній лінії. Для неї виконується властивість

MM1

2 +

MM2

2 = 50 . Пе-

рейдемодокоординат: (x + 4)2 + y2 + (x − 4)2 +

y2 =

x2 + y2 = 9. Це

рівняння визначає коло з центром у точці O (0; 0) і радіусом R = 3.

Задача 4. Знайти траєкторію точки M (x; y),

яка при своєму русі

залишається вдвічі ближче до осі Оу, ніж до

осі Ох.

(0; y)

Розв'язання. Виходячизумови, длябудь-

M (x; y)

якоїзточок M (x; y) даноїлінії(рис. 1.1) має-

мо

= 2

. Перейдемо до координат:

O A(x; 0)

y2 = 2 x2

y2 − 4x2 = 0

(y + 2x)×

× (y − 2x)= 0 . Траєкторією є пряма y = − 2x

y = −2x

y = 2x

або y = 2x .

Рис. 1.1

6	Аналітичнагеометрія

Задача 5. Знайти рівняння геометричного місця точок, рівновіддаленихвідосіОхіточки F (0; 2), тапобудуватилініюзаодержанимрівнянням.

Розв'язання. За умовою для будь-якої точки M (x; y) лінії викону-

ється рівність	FM = AM
y
F (0; 2)
C (0;1)	M (x; y)
C (0;1)	A(x; 0)
O	A(x; 0)	x
Рис. 1.2

x2 + (y − 2)2 = y2	y =	x2
			+1. Це рів-
		4

няння параболи з віссю Оу і верши-

ною C (0; 1) (рис. 1.2).

Задача 6. Встановити, які лінії визначаються в полярних координатах наступними рівняннями: 1) ρ = 3 ;

2) ϕ = − π4 , та побудувати їх.

Відповідь:

1)коло з центром у полюсі та радіусом R = 3;

2)промінь, який виходить з полюса і нахилений до полярної осі під

кутом ϕ = − π4 .

Задача 7. Записати в полярних координатах рівняння лінії x2 + y2 = ax (a > 0) та побудувати її.

Розв'язання. За формулами переходу до полярних координат

x = ρ cos ϕ	, y = ρ sin ϕ		одержимо рівняння ρ 2 = aρ cos ϕ ρ = a cos ϕ .
y		M (ρ; ϕ)	При ϕ = 0 значення ρ = a, отжеточка A(a; 0)
		M (ρ; ϕ)	належить лінії. Для будь-якої точки M (ρ ; ϕ )
	ρ		належить лінії. Для будь-якої точки M (ρ ; ϕ )
O	ϕ	A	x, ρ рівняння ρ = a cos ϕ має місце тоді й тільки
O	a		x, ρ рівняння ρ = a cos ϕ має місце тоді й тільки
	C	; 0	тоді, коли OMA = 90°. Геометричне місце
	2		тоді, коли OMA = 90°. Геометричне місце
			вершин прямого кута, який спирається на
Рис. 1.3			відрізок OA = a, є коло, побудоване на ОА як
Рис. 1.3			на діаметрі (рис. 1.3).
			на діаметрі (рис. 1.3).

Рис. 1.4

Лінії на площині та їх рівняння

Задача 8. Побудувати лінію ρ = a(1+ cos ϕ ), a > 0.

Розв'язання. Знайдемо область допустимих значень (ОДЗ) поляр-

ного кута для лінії				ρ ≥ 0	1+ cos ϕ		≥ 0 0 ≤	ϕ ≤ 2π . У силу парності
cos ϕ	можна побудувати точки лінії для проміжку 0 ≤ ϕ								≤ π . Для цього
складемотаблицюзкроком ∆ ϕ						= π (длябільшоїточностіпобудовикрок
можна зменшувати).						6

ϕ	0		π	π	π	2π	5π	π
			6	3	2	3	6
ρ	2a	≈						0
			1,86a	1,5a a 0,5a			≈ 0,14a
Для − π		≤	ϕ ≤ 0 відобразимо лінію си-
метричновідноснополярноїосі. Одержана								a
лініяназиваєтьсякардіоїдою(рис. 1.4).									ϕ
Задача 9. Навколо точки Ообертаєть-								O
									2a ρ

сяпроміньзісталоюкутовоюшвидкістю ω . Уздовж променя рухається точка М зі сталоюшвидкістю v.

СкластивполярнихкоординатахрівняннятраєкторіїрухуточкиМ, якщовпочатковий момент промінь збігається з полярною віссю, а точка М – з полюсом О.

Розв'язання. Будемо вважати, що промінь обертається проти руху

годинникової стрілки. За час t

він обертається на кут ϕ

= ω t, а точ-

ка

M (ρ ; ϕ )

пройде вздовж променя відстань

ρ = OM = vt .

Виключимо t із цих рівнянь:

t = ω

ρ =

ϕ . Позначимо

= a, a > 0 та

одержимо рівняння траєкторії ρ = aϕ . Ця лінія

називається спіраллю Архімеда (рис. 1.5).

Рис. 1.5

Задача 10. Звести параметричні рівняння

лінійдовигляду F (x; y)= 0:

x =

x = 2cos t −1,

[0; 2π ].

t (− ∞ ; + ∞ ); 2)

y = 2sin t + 3,

y = t

8	Аналітичнагеометрія

Відповідь: 1) y = 4x2 – парабола з центром у початку координат і віссю симетрії Оу; 2) (x +1)2 + (y − 3)2 = 4 – коло з центром у точці (−1; 3) і радіусом R = 2.

РІВЕНЬ Б

Задача 1. Встановити, які лінії визначають рівняння: 1) y = x −1;

2) x = y ; 3) y2 + 5y + 4 = 0; 4) x2 y − 7xy + 20 y = 0.

Розв'язання

1. y =	x −1		x −1,	якщоx ≥ 1,		. Отже, дане рівняння визначає ла-
		=	− x +	1, якщоx <	1

манулінію(рис. 1.6,а).

y, якщо y ≥ 0,

2.x = y = . Лінію зображено на рис. 1.6,б.

− y, якщо y < 0

3.y2 + 5 y + 4 = 0 (y + 4)(y +1)= 0. Маємо пару прямих: y + 4 = 0

іy +1 = 0, паралельну осі Ох.

4) x2 y − 7xy + 20 y = 0 y(x2 − 7 x + 20)= 0 y = 0 , x2 − 7x + 20 ≠

≠ 0. Дане рівняння визначає вісь Ох.

y
y =1 − x
		y = x −1
O	1	x
а

y
	x = y
O	x
	x = −y
б

Рис. 1.6

Лінії на площині та їх рівняння							9
	Задача 2. Через початок координат проведено пучок хорд ко-
ла (x − 8)2 + y2 = 64 . Скластирівняннягеометричногомісцясерединцих
хорд.		Нехай точка M (x; y) – се-
	Розв'язання.	Нехай точка M (x; y) – се-		y		A(2x; 2 y)
рединадовільноїхордиОА(рис. 1.7). Коорди-						A(2x; 2 y)
рединадовільноїхордиОА(рис. 1.7). Коорди-
нати точки A(2x; 2 y) задовольняють рівнян-					M (x; y)
ня даного кола			(2x − 8)2 + (2 y)2 = 64	O C1	(4; 0)	C2 (8; 0)	x
	(x − 4)2 + y2 = 64 .		Отже, шукане геомет-	O C1	(4; 0)	C2 (8; 0)	x
	(x − 4)2 + y2 = 64 .		Отже, шукане геомет-
ричне місце точок є коло з центром C1 (4; 0)
і радіусом R = 4.					Рис. 1.7
	Задача 3. Скласти рівняння лемніскати				Рис. 1.7
Бернулліякгеометричногомісцяточок, добутоквідстанейякихвіддвох
заданих точок F1 (− a; 0) і F2 (a; 0) є величина стала й дорівнює квадра-
ту відстаней точок F1 і F2 від початку координат.
	Розв'язання. Для довільної точки M (x; y) лемніскати виконується
рівність F1M F2M = a2. Перейдемо до координат:					(x + a)2 + y2 ×
× (x − a)2 + y2 = a2			(x + a)2(x − a)2 + y2 (x − a)2 + (x + a)2 y2 + y4= а4
	(x2 + y2 )2 = 2a2 (x2 − y2 ) – шуканерівняння.
	Задача 4. Записати рівняння ліній уполярнихкоординатах та побу-
дувати їх: 1) y = x; 2) (x2 + y2 )2 = 2a2 (x2 − y2 ).
	Розв'язання
	1. y = x – рівняння бісектриси першого та третього координатних
кутів. За формулами переходу до полярних координат одержимо:

ρ sin ϕ	= ρ cos ϕ tgϕ =1 – полярнерівнянняданоїбісектриси.
	(x2 + y2 )2 =		2 − y2 ) – декартове рівняння лемніскати Бер-

2.		2a2 (x

нуллі. Їїполярнерівняння ρ 4 = 2a2ρ 2 (cos2 ϕ − sin 2 ϕ ) ρ = a 2acos 2ϕ .

10								Аналітичнагеометрія

ЗнайдемоОДЗполярногокута: cos 2ϕ ≥ 0 −									π	≤	2ϕ	≤		π	−	π	≤ ϕ ≤	π	,
ЗнайдемоОДЗполярногокута: cos 2ϕ ≥ 0 −									2	≤	2ϕ	≤		2	−	4	≤ ϕ ≤	4	,
									2					2		4		4
період T = π					. Побудуємолініюнапроміжку 0 ≤					ϕ	≤	π	.
період T = π					. Побудуємолініюнапроміжку 0 ≤					ϕ	≤	4	.
												4
		ϕ	2ϕ			2 cos 2ϕ		ρ
		ϕ	2ϕ			2 cos 2ϕ		ρ

	0		0			2	≈	1,4a
		π		π		≈ 1,72	≈	1,3a
12			6			≈ 1,72	≈	1,3a
12			6
		π		π		1		a
		6		3		1		a
		6		3
		π		π		0		0
4			2			0		0
4			2

Ураховуючи парність і періодичність cos 2ϕ , одержуємо всю лемніскату Бернуллі (рис. 1.8).

πЗадача 5. Які лінії визначаються

вполярних координатах наступними4

рівняннями: 1) ρ cos ϕ = 4; 2) ρ sin ϕ = 4.

Розв'язання. Спроектуємо точ-

ку M (ρ ; ϕ ) лінії ρ cos ϕ = 4 на полярну

−

вісь. Із трикутника ОАМ випливає, що

OA = ρ cos ϕ = 4. Отже, дане рівняння

Рис. 1.8

визначаєпряму, перпендикулярнудопо-

лярноїосі, якавідтинаєнанійвідрізокОА

ρsin ϕ = 4

довжиною 4 (рис. 1.9).

Рівняння ρ sin ϕ = 4 визначаєпряму,

розташовану у верхній півплощині, пара-

лельнуполярнійосі, яказнаходитьсявіднеї

на відстані ОВдовжиною 4 (див. рис. 1.9).

Задача 6. Записати рівняння лінії

ρcos ϕ = 4

ρ 2 sin 2ϕ = 2a2 у декартових координатах

Рис. 1.9

та побудуватиїї.

1 / 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.12.2018185.86 Кб3s1.doc
#
15.02.20158.14 Mб91s90mec7.pdf
#
15.02.20154.55 Mб18SADT.pdf
#
14.02.2015603.14 Кб285SANDCASTLE_Iris_Murdoch_1.doc
#
15.02.20151.03 Mб9Saprikina.pdf
#
15.02.20152.44 Mб29Saprikina_Analit_geometr.pdf
#
14.02.2015495.62 Кб8schod.doc
#
15.02.2015109.33 Кб64Schritte 2 - Lernwortschatz.pdf
#
14.02.2015759.3 Кб6Shlahter_Holnov_Is-vo_dominirovat.doc
#
14.02.201547.79 Кб13shtamp_2_2.docx
#
12.03.201627.84 Mб190Shustikova_T_v__Kulakova_V_a_-_Russky_Yazyk_-_Moy_Drug_bazovy_Uroven_-_2011.pdf