Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Saprikina_Analit_geometr

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

2.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Пряма на площині	21

том k (2.5): y +1 = (−1) (x −1) y = − x	x + y = 0 .

Задача5. Скластирівнянняпрямої, щопроходитьчерезточку A(1; 5) і відтинає на осі ординат відрізок b = 7.

Розв'язання. Рівняння шуканої прямої складемо "у відрізках" (2.4):

=1. Точка

A(1; 5) належить прямій, отже

a =

. Маємо

=1 2x + y − 7 = 0.

7 2

Задача 6. Між пунктами А і В проходить автомагістраль. На плані місцевості ці пункти мають координати (–1; 1) і (3; – 2) відповідно. Завод Сзкоординатами(1; 2) утійжесистемікоординатпотрібноз'єднати найкоротшим шосе з магістраллю. Знайти координати входу шосе у магістраль та довжину шосе.

Розв'язання. Найкоротшешосебудерозташованенапрямій, щоперпендикулярнадо автомагістралі АВ (рис. 2.3).

Рівняння АВ складемо за двома точка-

ми A(−1;1) і				B (3; − 2) за формулою (2.6):
	x +1	=	y −1	−3x − 3 = 4 y − 4 AB: 3x +

	3 +1		− 2 −1

Автомагістраль

A C

Лінія шосе

+ 4 y −1 = 0. КоординатиточкиD входушосе

умагістральзнайдемоякточкуперетинупря-

Рис. 2.3

мих АВ і CD. Рівняння CD складемо за точ-

кою C (1; 2) інапрямнимвектором

AB =

= (3; 4):

x −1

y − 2

CD : 4x − 3y + 3 = 0.

3xD + 4 yD −1 = 0,

Точка D(xD ; yD ):

xD = −

, yD =

; D

−

;

4xD − 3yD + 2 = 0

22	Аналітичнагеометрія

Довжину шосе CD знайдемо як відстань від точки C (1; 2) до прямої АВза формулою (2.8):

CD = 3 1+ 4 2 −1 = 2 (од. довжини).

32 + 42

Задача7. ЗнайтиточкуQ, щосиметричнадоточки P (− 5;13) відноснопрямої L: 2x − 3y − 3 = 0.

Розв'язання. Точки Р і Q лежать на перпендикулярі до даної прямої тарівновіддалені віднеї(рис. 2.4).

СкладеморівнянняпрямоїPQ заточ-

(− 5;13)

і напрямним вектором

кою P

(2; − 3):

x + 5

y −13

PQ: 3x +

A(xA; yA )

− 3

+ 2 y −11 = 0.

Точку A(xA; yA ) зна-

йдемо

як

точку

перетину

L і

PQ:

Q (xQ ; yQ )

2xA − 3yA

− 3

= 0,

xA =3, yA =1; A(3;1).

Рис. 2.4

−11 = 0

3xA + 2 yA

За формулами координат середини відрізка

− 5 + xQ

= 3

=11;

13 + yQ

=1 yQ = −11. Отже,

Q (11; −11).

РІВЕНЬ Б

Задача 1. Дано дві вершини трикутника АВС:

A(2; − 3)

і B (5; 1),

рівняннясторониВС: x + 2 y − 7 = 0 імедіаниАМ:

5x − y −13 = 0. Склас-

тирівняннявисоти, якаопущеназвершиниСнасторону АВ. Розв'язання. Зобразимо схематично даний трикутник (рис. 2.5).

Рівняння висоти складемо за точкою С і нормальним вектором

AB = (3; 4). Знайдемо точку С за формулами поділу відрізка ВС навпіл, а координати середини відрізка М як точку перетину АМ і ВС:

Пряма на площині

5xM − yM −13 = 0,

xM = 3, yM = 2;

+ 2 yM − 7 =

M (3; 2). Координати точки C (xC ; yC ):

xC + 5

= 3,

yC +1

= 2

xC =1, yC = 3;

C (1; 3).

Рис. 2.5

Шуканерівняння CD: 3(x −1)+ 4(y − 3)= 0

CD: 3x + 4 y −15 = 0 .

Задача 2. Трикутник АВС заданий вершинами

A(1; − 2), B(4; 0),

C(3;1). СкластирівняннябісектрисивнутрішньогокутаАтрикутника.

Розв'язання. Зобразимо схематично трикутникАВС(рис. 2.6). Шуканерівняння бісектриси складемо за точкою А та на-

прямним вектором c , який знайдемо як суму ортів векторів AB і AC : AB =

AB °

= (3; 2)

AB° =

;

AC =

AC °

Рис. 2.6

= (2; 3)

AC° =

;

. Для зручності за напрямний

Звідси c = AB° + AC° =

вектор бісектриси візьмемо

a =

13 c = (1;1). Шукане рівняння

AD:

x −1

y + 2

x − y − 3 = 0.

Аналітичнагеометрія

Задача 3. Скільки прямих можна провести через точку C (7; − 2)

так, щобїхнявідстаньдоточки A(4; − 6) дорівнювала5? Скластирівнян-

няпрямих.

Розв'язання. Шукані прямі знайдемо за рівнянням з кутовим коефі-

цієнтом (2.7): y = kx + b (kx − y + b = 0). Відстань від точки A(4; − 6) до

шуканих прямих d = 4k + 6 + b = 5 . Точка C (7; − 2) лежить на шуканій

k 2 +1

прямій, отже

7k + 2 + b = 0

b = −7k − 2.

Тоді

4 − 3k = 5

k 2 +1

(4 − 3k )2 = 25(k 2 +1)

(4k + 3)2 = 0

k1 = k2 = k = − 3 ;

b =

. Отже,

можна провести тільки одну пряму, що задовольняє умові задачі:

3x + 4 y −13 = 0 .

Задача 4. Світловий промінь падає на поверхню води. Показник за-

ломлення води µ= 4. Кут падіння α

= π

. Прийнявши точку падіння за

початок координат, а нормаль у ній до поверхні води – за вісь ординат,

знайтирівнянняпроменівпадінняізаломлення.

Розв'язання. Рівняння променя падіння L1

складемо за точ-

кою O (0; 0) і кутовим коефіцієнтом

− α

= ctgα

= ctg

= tg

Промінь

(рис. 2.7);

L1: y = 3 x. Для рівняння проме-

падіння

π −α

ня заломлення

кутовий

коефіцієнт

− β

L2 : y = ctgβ x.

За за-

= tg

= ctgβ ;

Промінь

заломлення β

sin α = µ,

коном

заломлення

світла

де

Рис. 2.7

sin β

Пряма на площині	25

µ=	4	– показник заломлення світла.			Тоді маємо	sin β =	sin α	=
	3
						µ
= 3		ctgβ = 1 − sin 2 β =	55 L : y =		55 x.
8		sin β	3	2	3

РІВЕНЬ В Задача 1. Скласти рівняння сторін трикутника, знаючи одну його

вершину B (2; 6), рівняннявисотиx − 7 y +15 = 0 ібісектриси x − 2 y − 5 = 0,

щопроведенізоднієївершини.

Розв'язання. Зобразимосхематичноданийтрикутник(рис. 2.8). ТочкаВненалежитьжоднійіззаданихпрямих(перевіритисамостійно).

За точкою та нормальним векто-	B

ром BC:

x − 2

y − 6

BC: 7x + y − 20 = 0.

− 7

Рівняння АВ складемо за двома

точками

B (2; 6) і

A(xA ; yA ):

− 7 y

+15 = 0,

xA =13, yA = 4, A(13; 4);

− 5 = 0,

xA − 2 yA

AB:

x − 2

y − 6

AB: 2x +11y − 70 = 0 .

− 2

Q C

Рис. 2.8

Відомо, щобісектрисакутамаєтакувластивість: длябудь-якоїточки однієїстороникутаточка, симетричнаїйвідноснобісектрисикута, нале-

жить до іншої його сторони. Точку Q (8; − 6) знайдемо як точку, симетричнудоточкиВвідноснобісектрисиAD (див. задачу7 рівняА). Рівняння АС складемо за точками А і Q, отже AC: 2x − y − 22 = 0.

Задача2. СкластирівняннясторониВСтрикутника, якщоданоодну з його вершин A(1; 3) та рівняння двох медіан x − 2 y +1 = 0 і y −1 = 0.

Розв'язання. Зобразимосхематичноданийтрикутник(рис. 2.9). ВершинаА не належить жодній із заданих медіан.

26 Аналітичнагеометрія

Точка M (xM ; yM ):

xM − 2 yM +1 = 0,

M (1;1). Координати точ-

yM −1 = 0

ки D (xD ; yD ) знайдемозаформуламиподі-

лу відрізка АD у заданому відношенні λ =

3xM − xA

= 2

xD =

yD =

3yM − yA

, D (1; 0).

Рис. 2.9

+ x

= 2,

Для точок B (x

) і

C (x

B (5; 1) ,

; y

yB + yC = 0,

− 2 y

+1 = 0,

yB −1 = 0,

C (− 3; −1).

Рівняння ВС складемо за двома точками x − 4 y −1 = 0.

Завдання для самостійного розв'язання

РІВЕНЬ А

Задача1. Сила P прикладенадопочаткукоординат, їїпроекціївздовж

yосей Ох і Оу відповідно дорівнюють 5 і – 2 (рис. 2.10). Знайти рівняння прямої, вздовж

	1			якоїнапрямленасила.
−1 0	1	5	x	Задача2. Обчислитиплощутрикутника,
−1 0			x	який відтинається прямою 3x − 4 y −12 = 0
−1	P			який відтинається прямою 3x − 4 y −12 = 0
	P			відкоординатного кута.
−2				відкоординатного кута.
				Задача 3. Дано дві суміжні вершини
	Рис. 2.10			A(− 3; −1) і B (2; 2) паралелограма ABCD

Пряма на площині	27

і точка Q (3; 0) перетину його діагоналей. Скласти рівняння сторін, що проходять через вершину С.

Задача4. ТрикутникАВСзаданийвершинами A(3; 3), B (1; 2), C (1; 3). Скластирівняннямедіаниівисоти, щопроведенізвершиниВ.

Задача 5. Дві сторони квадрата належать прямим L1: 5x −12 у − − 65 = 0 і L2: 5x −12 y + 26 = 0 . Обчислитийогоплощу.

Задача6. Проміньсвітла, напрямленийвздовжпрямої L1: y = 23 x − 4 ,

дійшов до осі абсцис і відбився від неї. Визначити точку перетину променя з віссю та рівняння відбитого променя L2.

РІВЕНЬ Б Задача 1. Скласти рівняння сторін трикутника, знаючи одну його

вершину C (4; −1), а також рівняння висоти 2x − 3y +12 = 0 і медіани

2x + 3y = 0, проведенихзоднієївершини.

Задача2. Скластирівняннясторінтрикутника, якщоданооднуз його вершин B (− 4; − 5) та рівняння двох висот: 5x + 3y − 4 = 0 і 3x + 8y +

+13 = 0 .

Задача3. Урівнобічномупрямокутному трикутникудановершину гострого кута A(5; 7) та рівняння протилежного катета 6x + 4 y − 9 = 0. Скластирівняннядвохіншихсторінтрикутника.

РІВЕНЬ В

Задача 1. Знайти рівняння траєкторії точки M (x; y), яка рухається

так, що сума відстаней її від прямих y = 2x і y = − 2x залишається ста-

лоюітакою, щодорівнює 5 .

Задача 2. Через точку M (1; −1) провести пряму L так, щоб середина її відрізка між паралельними прямими L1: x + 2 y −1 = 0 і L2: x + + 2 y − 3 = 0 належала прямій L3: x − y −1 = 0.

28 Аналітичнагеометрія

Практичне заняття № 3

Пряма та площина

Короткітеоретичнівідомості

Площина у просторі

Довільнаплощинавідноснодекартовихпрямокутнихкоординатвизначається рівнянням першого степеня відносно координат x, y, z, тобто рівняннямвигляду

Ax + By + Cz + D = 0,

(3.1)

деA, B, C недорівнюютьнулюодночасно. Навпаки, кожнетакерівняння визначає площину. Рівняння (3.1) називаєтьсязагальнимрівнянням пло-

щини.

Вектор n = (A; B; C) єперпендикуляромдоплощини(3.1). Віннази-

вається нормальним вектором цієї площини.

Основні способи задання площини і відповідні їм види рівнянь 1. Рівняння площини за точкою і нормальним вектором. Якщо

площина проходить через точку M0 (x0 ; y0 ; z0 ) та перпендикулярна до вектора n = {A; B; C}, то її рівняння має вигляд

A(x − x0 )+ B(y − y0 )+ C(z − z0 ) = 0 .							(3.2)
2. Рівняння площини у "відрізках":
	x	+	y	+	z	= 1,	(3.3)
	a		b
					c

де a, b, c – відрізки, які відтинає площина на координатних осях Ox, Oy, Oz відповідно.

Відстань від точки M 0 (x0 ; y0 ; z0 ) до площини						Ax + By + Cz +
+ D = 0
d =	Ax0	+ By0	+ Cz0	+ D	.	(3.4)
d =					.	(3.4)

A2 + B2 + C2

Пряма та площина	29

Кут α між площинами

+ D2 = 0:

cos α = n1 n2 = ± n1 n2

A1x + B1 y + C1z + D1= 0 і A2 x + B2 y + C2 z +

A1A2 + B1B2 + C1C2

(3.5)

A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22

Умова перпендикулярності двох площин:

n1 n2 A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.

Умова паралельності двох площин:

	\|\|		A1	=	B1	=	C1	.
n		n

1		2	A2		B2		C2

Пряма у просторі

Пряма, що проходить через точку M0 (x0 ; y0 ; z0 ) паралельно век-

тору a = {l; m; p }, визначається параметричними рівняннями прямої

	x = x0 + lt,
	y = y0 + mt,	(3.6)
	y = y0 + mt,	(3.6)
	z = z0 + pt,
	z = z0 + pt,

або канонічними рівняннями прямої

x − x0	=	y − y0	=	z − z0	.	(3.7)
l		m
				p

Вектор a = (l; m; p) називається напрямним вектором прямої.

Пряма може бути також задана рівняннями двох площин

A1x + B1 y + C1z + D1	= 0,	(3.8)
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0,		(3.8)
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0,

30	Аналітичнагеометрія

якіперетинаютьсяпоційпрямій. Система(3.8) визначаєзагальнірівнян-

ня прямої. Напрямний вектор a = (l; m; p) прямої можна знайти за формулою

(3.9)

акоординатидеякоїточки M0 (x0 ; y0 ; z0 ), якалежитьнаційпрямій, мож-

на знайти як розв'язок системи (3.8).

Зауваження: Якщо вважати, що t – час, то рівняння (3.6) визначають прямолінійний та рівномірний рух точки M (x; y; z) зі швидкістю

v =

у напрямку вектора

= (l; m; p).

Кут α між прямими

x − x1

y − y1

z − z1

x − x2

y − y2

z − z2

cos α = a1 a2 =

l1l2 + m1m2 + p1 p2

(3.10)

a1 a2

+ m2

+ p2

+ m2

+ p2

Умова перпендикулярності двох прямих:

a1 a2 l1l2 + m1m2 + p1 p2 = 0.

Умова паралельності двох прямих:

	\|\|			l1	=	m1	=	p1	.
a		a	2

1				l2		m2		p2

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.12.2018185.86 Кб3s1.doc
#
15.02.20158.14 Mб92s90mec7.pdf
#
15.02.20154.55 Mб18SADT.pdf
#
14.02.2015603.14 Кб285SANDCASTLE_Iris_Murdoch_1.doc
#
15.02.20151.03 Mб9Saprikina.pdf
#
15.02.20152.44 Mб29Saprikina_Analit_geometr.pdf
#
14.02.2015495.62 Кб8schod.doc
#
15.02.2015109.33 Кб64Schritte 2 - Lernwortschatz.pdf
#
14.02.2015759.3 Кб6Shlahter_Holnov_Is-vo_dominirovat.doc
#
14.02.201547.79 Кб13shtamp_2_2.docx
#
12.03.201627.84 Mб190Shustikova_T_v__Kulakova_V_a_-_Russky_Yazyk_-_Moy_Drug_bazovy_Uroven_-_2011.pdf