Раскраска
.pdf
Задачи для самостоятельного
1. Можно ли доску размером 10 × 10 покрыть фигурами
вида 
?
2. В каждой клетке квадрата 9 × 9 сидит жук. По команде каждый жук перелетает на одну из соседних по диагонали клеток. Доказать, что по крайней мере 9 клеток после этого окажутся свободными.
3. Можно ли выложить квадрат 8 × 8, используя 15 прямоугольников 1 × 4 и один
уголок вида 
?
4. Можно ли сложить квадрат 6 × 6 с помощью 11 прямоугольников 1 × 3 и одного
уголка вида 
?
Ответы к задачам для самостоятельного решения
1. Шахматная раскраска. Каждая такая фигурка занимает нечётное число чёрных клеток, значит все 25 фигурок тоже занимают нечётное число чёрных клеток.
2.В каждой клетке квадрата 9 × 9 сидит жук.
По команде каждый жук перелетает на одну из соседних по диагонали клеток. Доказать, что по крайней мере 9 клеток после этого окажутся свободными.
3.Раскраска «зеброй». Прямоугольники занимают чётное число чёрных клеток, а уголок – нечётное.
4.Предположим, что квадрат удалось сложить. Раскрасим клетки в три цвета «по диагоналям», причём так, чтобы, две «крайних» клетки уголка оказались одного цвета (синего). Прямоугольники будут занимать ещё 11 синих клеток, значит все фигурки вместе занимают 13 синих клеток, но синих клеток на доске всего 12.
Контактная информация
Создатели: Бондарева Полина и Набиева Зейнаб
Контактные телефоны: 8-905-660-25-23, 8-
930-804-99-36.
Способ раскраски при решении задач
Г. Нижний Новгород
Лицей №180
2013-2014 гг.
Причина выбора темы |
Задачи по теме |
Мы выбрали эту тему, так как, она нас большего всего заинтересовала, и нам захотелось побольше узнать как же правильно оформлять свои записи при решении таких задач на олимпиадах.
Теория
Мы хотим рассказать о разных видах раскрасок. Начнем с вида «Зебра». Она чаще всего используют для задач, где всего два вида данных. Когда раскраску используют в задачах, то как правило пользуются для решения белым и черным цветом или другими противоположными друг для друга цветами.
Бывают такие задачи, для которых характерна
другая раскраска : «в горошек». С помощью данной раскраски можно решать задачи разной сложности. На рисунке каждое данное (разные предметы, используемые в задаче) раскрашивается определенным цветом (цвет можно выбрать любой). На первый взгляд, может показаться, что у этой раскраски нет трудностей, но это не так, когда задается большое количество данных, то такой вид решения задачи будет не оптимальным. По мимо этих видов, существуют еще раскраска «трехцветная» или «по диагоналям», используемая для задач среднего уровня. Смысл этой раскраски заключается в том, что данных обязательно должно быть три. Для данного нужно выбрать цвет и на рисунке
отметить его своим цветом. Для задач не
может использоваться одна и та же раскраска, так как для каждой задачи существует свой способ раскраски, о которых мы рассказали.
1. Можно ли выложить шахматную доску тридцатью двумя доминошками так, чтобы 17 из них были расположены горизонтально, а 15 – вертикально?
Решение: Можно использовать раскраску «зебра». Горизонтальные доминошки занимают нечётное число чёрных клеток (а именно – 17), а вертикальные – чётное.
2. Фигура «верблюд» ходит по шахматной доске ходом типа (1, 3). Можно ли пройти ходом «верблюда» с произвольного поля на соседнее?
Решение: Ход верблюда не меняет цвета клетки, на которой он стоит, поэтому на соседнюю клетку перейти он не сможет.
3. Замок имеет форму правильного треугольника, разделенного на 25 маленьких залов той же формы. В каждой стене между залами проделана дверь. Путник ходит по
замку, не посещая более одного раза ни один из
залов. Найти наибольшее число залов, которое ему удастся посетить.
Решение: 21 зал. Раскрасим треугольник в шахматном порядке. Залов одного цвета (например чёрного) – 15, а другого цвета (белого) – 10. Заметим, что в чёрном зале путник может находиться с самого начала, или
попасть в него из белого, поэтому он побывает
не более, чем в 11 чёрных залах. Таким образом, не менее 4 чёрных залов останутся не посещёнными. Пример, когда путник не посетит ровно четыре зала, строится без труда.
4. Дана доска 12 × 12. В левом нижнем углу стоят 9 шашек, образуя квадрат 3 × 3. За один ход можно выбрать какие-то две шашки и
переставить одну из них симметрично
относительно другой (не выходя при этом за пределы доски). Можно ли за несколько ходов переместить эти шашки так, чтоб они образовали квадрат 3 × 3 в правом нижнем углу?
Решение: Нет
(шахматная раскраска –
шашки остаются на клетках тех же цветов).
5. Из доски 8 × 8 вырезали угловую клетку. Можно ли оставшуюся часть разрезать на прямоугольники
3 × 1?
Решение: трёхцветная раскраска