Решение

минИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ

ДЕПАРТАМЕНТ КАДРОВОЙ ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ

ФГОУ ВПО

ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Статистика и экономический анализ деятельности предприятий»

индивидуальное задание по дисциплине

ЭКОНОМЕТРИКА №1

Выполнил: студент 2 курса группы Ф-201 Жуликов М.О.

Проверил: к.э.н. Медолазов Андрей Сергеевич.

ОРЕЛ – 2012г.

Задание:

По исходным данным, характеризующим территории региона за 199х год необходимо¹:

1. Построить поле корреляции.

2. Для характеристики зависимости у от х:

а) построить линейное уравнение парной регрессии у от х;

б) оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и коэффициента детерминации;

в) оценить качество линейного уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации;

г) дать оценку силы связи с помощью среднего коэффициента эластичности;

д) оценить статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера;

е) оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

3) Проверить результаты, полученные в п.2 с помощью ППП Exel.

4) Рассчитать параметры показательной парной регрессии. Проверить результаты с помощью ППП Exel. Оценить статистическую надежность указанной модели с помощью F-критерия Фишера.

5. Обосновано выбрать лучшую модель и рассчитать по ней прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза при уровне значимости γ = 0,05.

Решение:

Для нашего примера

Результативный признак (у) – урожайность озимой пшеницы, ц/га

Факторный признак (х) – доза внесения органических удобрений, ц/га

Таблица 1.1. – Исходные данные для анализа

№ региона	Доза внесения удобрений, ц/га х	Урожайность озимой пшеницы, ц/га у
1	115	202
2	98	209
3	105	204
4	109	169
5	102	214
6	116	195
7	97	174
8	92	200
9	112	194
10	110	198
11	104	199
12	100	189
13	95	209
14	98	196
15	107	201
16	106	204

1. Построим поле корреляции, для чего отложим на плоскости в прямоугольной системе координат точки (x_i y_i) (рис.1.1).

Рис. 1.1. Поле корреляции

Расположение точек на графике не позволяет точно определить тип уравнения регрессии. Для выявления типа зависимости воспользуемся экспериментальным методом.

2. Для расчета параметров линейной регрессии построим расчетную таблицу (табл.1.2)

Таблица 1.2. – Расчетные значения

№	х	у	xy	х2	у2		·100%, (Ai, %)
1	115	202	23230	13225	40804	195,255	3,339	45,493	118,266	4,233
2	98	209	20482	9604	43681	198,471	5,038	188,922	37,516	1,343
3	105	204	21420	11025	41616	197,147	3,359	76,473	0,766	0,027
4	109	169	18421	11881	28561	196,390	16,207	689,331	23,766	0,851
5	102	214	21828	10404	45796	197,715	7,610	351,371	4,516	0,162
6	116	195	22620	13456	38025	195,066	0,034	0,065	141,016	5,047
7	97	174	16878	9409	30276	198,660	14,173	451,780	50,766	1,817
8	92	200	18400	8464	40000	199,606	0,197	22,514	147,016	5,262
9	112	194	21728	12544	37636	195,823	0,940	1,575	62,016	2,220
10	110	198	21780	12100	39204	196,201	0,909	7,534	34,516	1,235
11	104	199	20696	10816	39601	197,336	0,836	14,024	0,016	0,001
12	100	189	18900	10000	35721	198,093	4,811	39,126	17,016	0,609
13	95	209	19855	9025	43681	199,039	4,766	188,922	83,266	2,980
14	98	196	19208	9604	38416	198,471	1,261	0,555	37,516	1,343
15	107	201	21507	11449	40401	196,769	2,105	33,004	8,266	0,296
16	106	204	21624	11236	41616	196,958	3,452	76,473	3,516	0,126
Итого	1666	3157	328577	174242	625035	3157,000	69,036	2187,163	769,75	27,550
Ср.зн	104,125	197,3125	20536,0625	10890,125	39064,687	х	4,315
σ	6,936	11,692
σ2	48,109	136,698

2а. Построим линейное уравнение парной регрессии у по х. Используя данные таблицы 2, имеем:

β==

a = =

Тогда линейное уравнение парной регрессии имеет вид:

Полученное уравнение показывает, что с увеличением дозы внесения органических уравнений на l ц/га урожайность озимой пшеницы падает в среднем на 0,189 ц/га.

Рис. 1.2. Зависимость между дозой внесения органических удобрений и урожайностью озимой пшеницы (линейная регрессия).

Подставляя в полученное уравнение регрессии значения x_i из исходных данных определяем теоретические (выровненные) значения результативного признака (табл.1.2).

2б. При линейной корреляции между х и у исчисляют парный линейный коэффициент корреляции r. Он принимает значения в интервале –1 £ r £ 1. Знак коэффициента корреляции показывает направление связи: «+» – связь прямая, «–» – связь обратная. Абсолютная величина характеризует степень тесноты связи.

Учитывая:

,

оценим тесноту линейной связи с помощью линейного коэффициента парной корреляции

Связь между факторами обратная. В соответствии со шкалой Чеддока теснота характеризуется как слабая.

Изменение результативного признака у обусловлено вариацией факторного признака х. Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака характеризует коэффициент детерминации D. Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента корреляции.

R²=r_ху²·100%

Следовательно, вариация урожайности картофеля на 1,3 % объясняется вариацией дозы внесения удобрений, а остальные 98,70% вариации урожайности обусловлены изменением других, не учтенных в модели факторов.

== 69,036/16=4,315

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 4,315%. Это значение не превышает допустимый предел, следовательно качество построенной модели высокое. Это, а также небольшое значение коэффициента детерминации говорит о том, что линейный тип модели не достаточно хорошо отражает представленные эмпирические данные.

2г) Для оценки силы связи признаков у и х найдем средний коэффициент эластичности:

.=

Таким образом, в среднем на 0,1% по совокупности изменится урожайность картофеля от своей средней величины при изменении дозы внесения удобрений на 1% от своего среднего значения.

2д) Для оценки статистической надежности результатов используем F-критерий Фишера.

Выдвигаем нулевую гипотезу Но о статистической незначимости полученного уравнения регрессии.

F_факт = _{= ·} (n-2)

Сравним фактическое значение критерия Фишера с табличным. Для этого выпишем значения критерия Фишера из таблицы «Значения F-критерия Фишера при уровне значимости a=0.05» (приложение 1).

В нашем примере k₁=1; k=16-1-1=14.

Таким образом. F_табл.=4,6 при =0,05.

Т.к. F_факт.< F_табл., то при заданном уровне вероятности =0,05 следует принять нулевую гипотезу о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

2е) Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н_о о статистически незначимом отличии показателей регрессии от нуля ==r_ух =0.

Вероятностная оценка параметров корреляции производится по общим правилам проверки статистических гипотез, разработанным математической статистикой, в частности путем сравнения оцениваемой величины со средней случайной ошибкой оценки:

; ;

Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t-статистики принимаем или отвергаем гипотезу Но.

Если t_табл  t_факт, то Но отклоняется, т.е. , , r не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора x. Если t_табл  t_факт, то гипотеза Но не отклоняется и признается случайная природа формирования , , r.

; ;

t_табл при уровне значимости =0,05 и числе степеней свободы равных 16-2=14 равно 2,1448 (приложение 2).

< t_табл, < t_табл, < t_табл,

следовательно нулевая гипотеза о несущественности коэффициентов корреляции и регрессии принимается , т. е. r,  и  статистически незначимы.

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку ∆ для каждого показателя:

∆ = t_табл m_=2,1448∙217,011=98,613

∆ = t_табл m_=2,1448∙(-0,189)=0,945

Доверительные интервалы:

Для параметра : (118,399; 315,624)

Для параметра : (-1,134; 0,756)

Анализ верхних и нижних границ доверительных интервалов приводит к выводу, что с вероятностью p = 1–γ = 0,95 параметры  и  находятся в указанных пределах, причем параметр  являются статистически незначимым, т.к. в границы доверительного интервала попадает ноль.

3. Проверим результаты, полученные в п.2 с помощью ППП Exel.

3а) Результат вычислений функции ЛИНЕЙН для рассматриваемого примера представлен на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Результат вычисления функции ЛИНЕЙН

3б) Проведем анализ исходных данных рассматриваемого примера с помощью инструмента анализа Регрессия (рис. 1.9).

Рис. 1.9. Результаты применения инструмента Регрессия

Сравнивая полученные вручную и с помощью ППП Exel данные, убеждаемся в правильности выполненных действий.

4. Построению показательной модели у=∙^х (29) предшествует процедура линеаризации переменных.

Данная функция нелинейна относительно параметров, но линейна по переменным. В нелинейных регрессиях относительно параметров процедура линеаризации производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

ln y = ln+x∙ln (30)

Введем обозначения

У= ln y , С= ln , В= ln

Тогда уравнение (30) запишется в виде:

У= С+ В∙ x. (31)

Для нахождения параметров полученной линейной модели (31) воспользуемся вспомогательными расчетами (табл. 1.4)

№	х	Y	У∙х	х2	Y2		·%,
1	115	5,308	610,451	13225	28,178	5,273	0,665	0,001	118,266	0,0001002	0,00064
2	98	5,342	523,549	9604	28,541	5,289	1,005	0,003	37,516	0,0000318	0,00352
3	105	5,318	558,403	11025	28,282	5,282	0,676	0,001	0,766	0,0000006	0,00123
4	109	5,130	559,159	11881	26,316	5,279	2,897	0,022	23,766	0,0000201	0,02344
5	102	5,366	547,330	10404	28,794	5,285	1,510	0,007	4,516	0,0000038	0,00688
6	116	5,273	611,668	13456	27,805	5,272	0,018	0,000	141,016	0,0001195	0,00010
7	97	5,159	500,428	9409	26,616	5,290	2,530	0,017	50,766	0,0000430	0,01536
8	92	5,298	487,445	8464	28,072	5,294	0,078	0,000	147,016	0,0001246	0,00023
9	112	5,268	590,000	12544	27,750	5,276	0,150	0,000	62,016	0,0000526	0,00023
10	110	5,288	581,709	12100	27,966	5,278	0,202	0,000	34,516	0,0000293	0,00003
11	104	5,293	550,504	10816	28,019	5,283	0,192	0,000	0,016	0,0000000	0,00011
12	100	5,242	524,175	10000	27,476	5,287	0,859	0,002	17,016	0,0000144	0,00170
13	95	5,342	507,522	9025	28,541	5,291	0,953	0,003	83,266	0,0000706	0,00352
14	98	5,278	517,255	9604	27,858	5,289	0,199	0,000	37,516	0,0000318	0,00002
15	107	5,303	567,454	11449	28,125	5,280	0,433	0,001	8,266	0,0000070	0,00041
16	106	5,318	563,721	11236	28,282	5,281	0,693	0,001	3,516	0,0000030	0,00123
Σ	1666	84,528	8800,771	174242	446,620	84,528	13,060	0,058	769,75	0,0006524	0,05867
Ср.зн	104,125	5,283	550,048	10890,125	27,914	х	0,816
σ	6,936	0,061
σ2	48,109	0,004