Лекция № 10: «корреляционно-регрессионный анализ» Тема: Продолжение 2 вопроса: Понятие о корреляции, виды корреляционных связей. Задачи корреляционного анализа

По направлению связь может быть:

1. прямая – с увеличением x увеличивается y;

2. обратная – с увеличением x уменьшается y;

3. знакопеременная (параболическая).

В статистике для установления аналитической формы связи и ее направления строятся графики – корреляционные поля. Для этого в прямоугольной системе координат на оси Ох приводят значения факторного признака (x), на оси Oy – результативного (y). По расположению точек на графике определяется линия, отражающая направление и форму связи между факторами (точки не соединяются).

Наиболее простым примером корреляционно-регрессионного анализа является определение зависимости одного фактора от другого (между двумя признаками x и y). Это называется парной корреляцией. Установить влияние нескольких факторных признаков x₁, x₂, x₃ и т.д. на величину y позволяет множественная корреляция.

3. Парная линейная корреляция

3.1. Определение параметров парного линейного корреляционного уравнения и их интерпретация

Простейшей системой корреляционной связи является линейная связь между двумя признаками – парная линейная корреляция.

Практическое значение ее заключается в том, что есть системы, в которых среди всех факторов, влияющих на результативный признак, выделяется один важнейший фактор, который в основном определяет вариацию результативного признака. Измерение парных корреляций составляет необходимый этап в изучении сложных, многофакторных связей. Есть такие системы связей, при изучении которых следует предпочесть парную корреляцию. Внимание к линейным связям объясняется ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связей для выполнения расчетов преобразуются в линейную форму.

Уравнение парной линейной корреляционной связи называется уравнением парной регрессии и имеет вид:

где – теоретическое значение результативного признака, представляющее среднее значение результативного признакау при определённом значении факторного признака х;

a – свободный член уравнения (параметр уравнения не имеющий экономического смысла);

b – коэффициент регрессии, который выражает количественную зависимость между факторами и показывает среднее изменение результативного признака при изменении факторного на единицу.

Построение корреляционно-регрессионных моделей, какими бы сложными они не были, само по себе не вскрывает полностью всех причинно-следственных связей. Основой их адекватности является предварительный качественный анализ, основанный на учёте специфики и особенностей исследуемых социально-экономических явлений и процессов.

Методику проведения парной линейной корреляции рассмотрим на примере зависимости прибыли от реализации 1-го центнера зерна от себестоимости 1-го центнера зерна в хозяйствах Орловской области. Для этого построим таблицу.

Таблица – Зависимость между прибылью от реализации 1-го центнера зерна и себестоимостью 1-го центнера зерна в хозяйствах Орловской области

№ хозяйства	Себестоимость 1 ц. зерна, руб.	Прибыль от реализации 1 ц. зерна, руб.	Расчетные величины
									·100%
1	154,20	166,27	23777,6	27645,7 27645,7	25638,8	148,51	7,20	51,78	4,33	4898,60
2	156,28	123,23								4611,77
3	175,25	113,92								2395,12
4	175,68	105,86								2353,22
5	189,62	151,56								1195,08
6	190,54	150,80								1132,32
7	192,43	154,17								1008,70
8	210,34	110,84								191,82
9	228,83	79,76								21,53
10	231,55	85,84								54,17
11	239,01	79,24								219,63
12	246,56	94,03								500,42
13	249,58	22,09								644,65
14	267,41	31,34								1867,97
15	268,30	75,20								1945,69
16	275,34	35,51								2616,32
17	285,85	121,48								3801,96
18	298,58	35,06								5533,87
Итого	4035,35	1736,20								34992,85
Ср.значение	224,19	96,46								1944,05

1. С точки зрения экономической теории между изучаемыми факторами существует взаимосвязь, т.к. снижение себестоимости 1-го центнера зерна должно приводить к росту прибыли от реализации 1-го центнера зерновых культур. В нашем примере х– факторный признак (себестоимость 1-го центнера зерна, руб.);у– результативный признак (прибыль от реализации 1-го центнера зерна, руб.).

2. Для установления направления и аналитической формы связи, используя ранжированный ряд распределения хозяйств по факторному признаку, изобразим взаимосвязь между факторами графически. Для этого построим поле корреляции (рисунок 1).

Рисунок 1 – Зависимость прибыли от реализации 1-го центнера зерна от себестоимости 1-го центнера зерна в хозяйствах Орловской области

3. Анализ данных ранжированного ряда и расположение точек на поле графика свидетельствует о наличии между факторным и результативным признаком прямой линейной зависимости, которая математически выражается уравнением прямой линии:

.

Для определения параметров a и b используется способ наименьших квадратов, основное требование которого заключается в том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических значений (y_i) от теоретических значений () равна (стремится к)min.

Параметры уравнения регрессии (a и b) определяются путем решения системы нормальных уравнений:

В нашем случае система нормальных уравнений примет вид:

Параметры уравнения а и b можно рассчитать по формулам:

Можно также воспользоваться готовыми формулами, вытекающими из уравнений данной системы:

или

Определите:

Таким образом, линейное уравнение регрессии имеет вид:

В данной совокупности коэффициент регрессии показывает, что при увеличении себестоимости 1-го центнера зерна на 1руб. в среднем прибыль от реализации 1-го центнера зерна снижается на ………руб.

Ценность уравнения регрессии состоит в том, что оно позволяет, во-первых, количественно увязать между собой ключевые показатели развития предприятия в условиях рынка, во-вторых, использовать результаты расчета в управленческом учете и бизнес-плане.

4. Найдем коэффициент эластичности. Он показывает, насколько процентов в среднем по совокупности изменяется результативный признак от своей средней величины при изменении факторного на 1 % от своего среднего значения.

, (3),

Рассчитаем и.

Таким образом, в среднем по совокупности прибыль от реализации 1-го центнера зерна уменьшится на …% при увеличении себестоимости 1-го центнера зерна на … % от своего среднего значения.

5. Рассчитаем теоретические значения прибыли от реализации 1-го центнера зерна для каждого хозяйства, подставляя в уравнение регрессии конкретные значения факторного признака х. Выровненные уровни по уравнению регрессии:

руб.

Расчётные значения прибыли от реализации 1-го центнера зерна приведены в таблице 1, причём должно соблюдаться следующее тождество: .