Квадратурная формула Симпсона (формула парабол)

При выводе двух предыдущих квадратурных формул мы приближали график подынтегральной функции f(x)на каждом из отрезков разбиения прямой линией: либо касательной в формуле центральных прямоугольников, либо хордой в формуле трапеций. Очередным по сложности шагом является выбор приближения графика функции f(x)в виде параболы — графика некоторого квадратного трёхчлена Pi(x). Его вид, конечно, будет зависеть от отрезка, на котором мы выбираем приближение.

Выберем, например, такой квадратный трёхчлен Pi(x), чтобы его значения в точках и совпадали со значениями функции f(x)в этих же точках:

(3)

Напомним, что через мы обозначали середину отрезка, то естьФункцию можно записать в виде

действительно, раскрыв скобки, получим некоторый квадратный трёхчлен. Подберём числа a,b,c так, чтобы выполнялись равенства (3).

Положим hi=xi-xi-1 , тогда и. Подставим x=xi-1 в выражение для Pi(x ) и получим:

то есть

Подстановка даёт

откуда

Наконец, подставим x=xi и получим

откуда

Вычислим теперь интеграл от интерполяционной функции Pi(x), для чего сделаем в нём заменуt=x-xi-1:

Осталось просуммировать эти величины по всем отрезкам разбиения. При этом получаем квадратурную формулу, которая называется формулой Симпсона, или формулой парабол:

Нетрудно видеть, что это в точности та же "комбинированная" квадратурная формула (5.2), которую мы получили выше из формул центральных прямоугольников и трапеций.

Замечание При вычислении очередного слагаемого

требуется вычислить только два (а не три) новых значения функции f(x) , а именно, значения f(x_i) и f(x). Значение f(x) использовалось на предыдущем шаге и было тогда уже вычислено.

Если при применении формулы Симпсона взять все отрезки разбиения одинаковой длины h_i=, то формула Симпсона получает вид

(4)

Раскрыв скобки и объединив одинаковые слагаемые, можно легко привести эту формулу к виду

Действительно, слагаемые с целыми номерами (кроме f(x₀)=f(a) и f(x_n)=f(b) ) входят по одному разу в каждое их двух соседних слагаемых в сумме (4), так что для них получается сумма с коэффициентом 2.

Оценка ошибки формулы Симпсона, то есть величины, такова. Предположим, что функцияf(x) имеет на отрезке непрерывную четвёртую производнуюf⁽⁴⁾(x), причём

при всех. Тогда при выборе постоянного шагаh_i=, имеет место неравенство

Таким образом, формула Симпсона — это квадратурная формула четвёртого порядка точности. Это означает, что при уменьшении шага вдвое ошибкауменьшится примерно враз, а при уменьшении шага в 10 раз ошибка уменьшится примерно враз.

Квадратурные формулы более высокого порядка точности

Дальнейшее повышение порядка точности формул, подобных квадратурным формулам центральных прямоугольников, трапеций, парабол, можно получить, применяя на отрезках разбиения интерполяцию функции f(x) многочленами более высокой степени (ниже мы использовали линейные функции, то есть многочлены степени 1, и квадратные трёхчлены — многочлены степени 2).

Например, если использовать кубическое интерполирование, то есть приближать функцию f(x) многочленами степени 3, то получится формула, называемая кквадратурной формулой (три восьмых):

, ,,

то есть точки иделят отрезок разбиенияна три равных части. Число в названии формулы связано с тем, что если положить h_i=, постоянным и ввести обозначение, то формула получает вид

Если же использовать для интерполяции многочлены шестой степени P_i(x) и заменять интеграл от f(x) на каждом из отрезков на интеграл отP_i(x), то получится квадратурная формула, называемая формулой Уэддля:

где h_i=x_i-x_i-1 и f_ij=f(x_i-1+j Таким образом, при применении формулы Уэддля на каждом очередном отрезке нужно вычислить 6 новых значений функции , а значениевычислять заново не нужно, оно было уже вычислено на предыдущем шаге.

Для ошибки формулы Уэддля с постоянным шагомh_i=, имеется такая оценка:

где ипри всех. При этом предполагается, что восьмая производная f(8)(x) непрерывна на отрезке.

Таким образом, формула Уэддля является квадраткрной формулой шестого порядка точности. На практике формулы более высокого порядка точности, чем формула Уэддля, не используются. Формула " " используется редко. Если не устраивает формула Симпсона, то сразу переходят к формуле Уэддля.