Введение в математику

Пример 3.18. Построить области, удовлетворяющие неравенствам: x 1,

x < y 2 x2.

Решение. Из неравенств x 1, x < y 2 x2 определим кривые, ограничи- вающие данную область. Итак, границами являются: прямые x = 1, y = x и парабола y = 2 x2. Поскольку неравенства x 1, y 2 x2 не строгие, то

линии, соответствующие данным границам, изображаем сплошными линиями. Т. к. неравенство x < y строгое, прямую y = x изображаем пунктиром. Затем

выделяем область, удовлетворяющую всем неравенствам.

Пример 3.19. Построить фигуру, ограниченную кривыми: y = log2 x, y = ex,

y = 2, x = 0, y = 0.

Решение. Сначала строим все кривые, ограничивающие данную фигуру, а затем выделяем искомую область.

61

3.7Числовые последовательности и их пределы

Определение 3.8. Числовой последовательностью a1; a2; : : : ; an; : : : íà-

зывается функция

an = f(n);

заданная на множестве натуральных чисел.

Кратко последовательность обозначается fang. При этом, число a1 первый член последовательности, a2 второй член последовательности, : : :, an n й или общий член последовательности.

Чаще всего последовательность задается формулой общего члена, по которой можно определить любой член последовательности по номеру n.

Пример 3.20. Найти первый, третий, k й, (n + 2) й член последовательности, если

62

Пример 3.21. Зная несколько первых членов последовательности fang, íàïè-

Определение 3.9. Последовательность fang называется ограниченной сверху, если существует число M такое, что для любого n 2 N справедливо неравенство an M.

Пример 3.22. Последовательность yn = n1 ограничена сверху, поскольку для любого n 2 N справедливо неравенство n1 1.

Определение 3.10. Последовательность fang называется ограниченной снизу, если существует число m такое, что для любого n 2 N справедливо неравенство an m.

Пример 3.23. Последовательность an = n2 + 1 ограничена снизу, поскольку для любого n 2 N справедливо неравенство n2 + 1 2.

Определение 3.11. Последовательность fang называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, т .е. существует число C > 0 такое, что для любого n 2 N справедливо неравенство janj C.

число, не превосходящее x. Например, [ 0; 2] = 1 и [2; 5] = 2.

Пример 3.25. Последовательность xn = ( 3)n не ограничена, поскольку для любого числа M > 0 можно найти номер n, что jxnj = 3n > M. В данном случае достаточно взять n = [log3 M] + 1.

63

Определение 3.12. Последовательность fang называется возрастающей

(строго возрастающей), если для любого n 2 N справедливо неравенство

an an+1 (an < an+1).

Определение 3.13. Последовательность fang называется убывающей (строго убывающей), если для любого n 2 N справедливо неравенство an an+1 (an > an+1).

Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными, а строго возрастающие и строго убывающие строго монотонными.

Пример 3.26. Последовательность an = n2 + 1 строго возрастающая, т. к.

an = n2 + 1 < (n + 1)2 + 1 = n2 + 2n + 2 = an+1. Последовательность yn = n1

1 1

строго убывающая, т. к. yn = n > n + 1 = yn+1.

Определение 3.14. Конечное число b называют пределом последователь-

ности fang и обозначают b = lim an, если для любого сколь угодно малого

n!1

положительного числа " можно указать натуральное число n0(") такое, что

ïðè âñåõ n > n0 выполняется неравенство jan bj < "; ò. å.

b = lim an () 8" > 0 9n0(") : 8n > n0 =) jan bj < ":

n!1

Последовательность, для которой точка b является пределом, называют схо-

дящейся к этой точке. Последовательность, не имеющая предела, называется

расходящейся.

Пример 3.27. Доказать, что lim n + 1 = 1.

n!1 n

Решение. По определению, число 1 является пределом последовательности

n0 = 1" + 1.

64

Выясним геометрический смысл определения предела после-

Поэтому определение предела последовательности геометрически можно сформулировать так: число b называется пределом последовательности fang,

если для любой " окрестности точки b найдется натуральное число n0, ÷òî âñå значения fang, для которых n > n0, попадут в " окрестность точки b.

Ясно, что чем меньше ", тем больше число n0, но в любом случае внутри " окрестности точки b находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее может быть лишь конечное их число.

ограниченной сверху. По теореме Вейерштрасса эта последовательность имеет предел, который обозначается буквой e:

lim 1 + 1 n = e:

n!1 n

65

Число e иррациональное, как и число . Его приближенное значение равно e = 2; 72.

Определение 3.15. Последовательность fang называется бесконечно малой (б. м.), если для любого сколь угодно малого положительного числа "

можно подобрать такой номер n0("), ÷òî äëÿ âñåõ n > n0 выполняется нера- венство janj < ".

Иначе говоря, последовательность fang называется бесконечно малой

Определение 3.16. Последовательность fang называется положительной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа M найдется такой номер n0, ÷òî äëÿ âñåõ n > n0 выполняется неравенство an > M

(пишут lim an = +1).

n!1

Определение 3.17. Последовательность fang называется отрицательной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого по модулю отрицательного числа M найдется такой номер n0, ÷òî äëÿ âñåõ n > n0 выпол-

няется неравенство an < M (пишут lim an = 1).

n!1

Определение 3.18. Последовательность fang называется бесконечно большой (б. б.), если последовательность fjanjg является положительной бес-

конечно большой (пишут lim an = 1).

n!1

В отличие от последовательностей, которые сходятся к конечному пределу, последовательности, которые имеют бесконечный предел (так же, как и последовательности, не имеющие ни конечного, ни бесконечного предела) называются

расходящимися.

66

Пример 3.29. Последовательность fn3g является бесконечно большой.

Решение. Рассмотрим любое сколь угодно большое число M и потребуем чтобы p

a2n = 1, члены с нечетными номерами a2n 1 = 1. Расстояние между соседни-

ми членами последовательности равно 2. Для " = 12 получаем, что либо чле- ны последовательности с четными номерами, либо члены последовательности с

нечетными номерами не могут лежать в " окрестности любого числа b. Т. к. длина интервала (b "; b + ") будет равна 1 при " = 12.

3.8Задачи к главе 3

3.1 Найти области определений функций:

5)y = 4 x2 5x + 6 + ln(x + 5);

6)y = sin 2x;

7)y = arccos(x + 2);

8)y = log4x 1(x2 + 16);

1

9) y = 5x 3 ;

7

10) y = 1 4x+2 .

x 1

3.2 Найти f(1), f(3), f(t + 1), если f(x) = x2 + 2.

67

3.3 В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 5. Написать выражение для площади S этого треугольника как функцию его высоты

h.

3.4 Исследовать функции на четность, нечетность:

1)y = x2 x;

2)y = 2x x3;

3)y = cos x + 3x sin x;

4)y = x 5 x;

5)y = 3 log2(x + 3);

1 x

6)y = 2x;

2

2 x

7) y = log3 2 + x;

x2 3

8) y = x + 1 .

3.5 Исследовать функции на периодичность и указать период функции в слу- чае ее периодичности:

1)y = sin 2x;

2)y = tg x3 ;

3)y = sin x + cos 3x;

4)y = cos(x2);

5)y = x + cos x;

6)y = sin 4x 1.

3.6 Даны функции f(x) и g(x). Найти сложные функции f(g(x)), g(f(x)), f(f(x)), g(g(x)), если:

p

1) f(x) = 32x, g(x) = 3 x + 1; 2) f(x) = sin x, g(x) = 5x2 8x.

3.7 Для функции y = f(x) найти обратную функцию f 1(x), åñëè:

1)y = 5x 2;

2)y = 72x + 1;

3)y = arctg (x 3); p

4)y = 7x 4;

68

5)y = 2 + log35x;

6)y = 4 sin(x + 2).

3.8 Разложить рациональные дроби на сумму простейших дробей: x 4

1)(x 2)(x 3); 1

2)(x + 1)(x 2); x2 + 2

3)(x + 1)2(x 1); x2

4)(x + 2)2(x + 1);

4 x2

5) x3 + 4x;

4x 1

6)(x2 + 3)(x 1); x3 + 2

7)x3 5x2 + 6x; x4 5x + 2

8)x3 ;+ 1

18

9)(x2 + 2)(x 4)2 ; x4

10)(x2 1)(x + 2); x3

11)(x 1)(x2 + 3x + 2);

3.9 Построить графики функций:

1)y = 2x 4;

2)y = 3 x;

3)y = 4 x2;

69

4)y = x2 4x + 3;

5)y = 2x2 + x 1;

6)y = (x + 1)2;

7)y = 3x 1;

1 x

8)y = 2 ;

9)y = log4(x + 2);

10)y = 2 log1 x;

3

11)y = sin 2x;

12)y = 3 cos x;

13)y = 1 sin x;

14)y = 2 + cos x2;

15)y = + arctg x;

16)y = arccos (x 1);

17)y = jx + 2j;

18)y = j3 xj;

19)y = jx2 3x 4j;

20)y = j1 4x 5x2j.

3.10 Построить области, удовлетворяющие неравенствам:

1)x 4, x1 < y px;

2)x2 < y x, x 2;

3)0 < x 1, 2x 1 y 5 x;

4)4 x 2 , sin 2x y 1.

3.11 Построить фигуры, ограниченные кривыми:

1)y = x2 + 4x 3, y = x 3;

2)y = jx2 1j, y = 0, x = 2;

3)y = arccos x, y = 0, x = 0;

4)xy = 4, x = 4, y = 4, x = 0, y = 0.

3.12 Найти первый, второй и (n+1) й члены последовательности, если общий член последовательности задан формулой:

70