Введение в математику

Таким образом, f2(z) = z2 2z 3 è f2( 4) = ( 4)2 2( 4) 3 = 21 6= 0. Поскольку f(z) = (z+4)2f2(z) è z0 = 4 не является корнем f2(z), òî z0 = 4 корень кратности 2.

Теорема 2.4. (основная теорема алгебры) Многочлен степени n имеет ровно n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Теорема 2.5. Любой многочлен f(z) = a0zn + a1zn 1 + : : : + an 1z + an íàä множеством комплексных чисел единственным образом разлагается в произведение множителей первой степени:

f(z) = a0(z c1)(z c2) : : : (z cn);

ãäå c1; c2; : : : ; cn все действительные и комплексные корни этого многочлена, среди которых могут быть одинаковые.

Пример 2.17. Найти все корни многочлена f(z) = z3 5z2 + 9z 45, если один из корней равен 5. Разложить f(z) на множители над множеством комплексных чисел.

Решение. Выполним деление многочлена z3 5z2 + 9z 45 на многочлен z 5:

31

Найдем теперь корни многочлена z2 + 9. Получаем: z2 + 9 = 0, z2 = 9 è

z1 = 3i, z2 = 3i. Таким образом, f(z) = (z 5)(z 3i)(z + 3i):

Заметим, что комплексные числа входят в число корней многочлена с действительными коэффициентами парами.

Теорема 2.6. Если f(z) многочлен с действительными коэффициентами и число c = a+bi его корень, то сопряженное число c = a bi также является

корнем этого многочлена.

Теорема 2.7. Любой многочлен f(x) = a0xn + a1xn 1 + : : : + an 1x + an ñ äåé-

ствительными коэффициентами разлагается над множеством действительных чисел в произведение множителей первой и второй степени:

f(x) = a0(x c1) : : : (x ck)(x2 + p1x + q1) : : : (x2 + plx + ql);

ãäå k + 2l = n.

Пример 2.18. Разложить многочлен f(x) = x3 5x2+17x 13 на множители

над множеством действительных чисел.

Решение. Заметим, что x = 1 является корнем многочлена f(x) (f(1) = 13

5 12 + 17 1 13 = 1 5 + 17 13 = 0). Разделим f(x) на (x 1):

x3 5x2 + 17x 13 = (x 1)(x2 4x + 13):

искомое разложение над множеством действительных чисел.

Напомним, что выделением полного квадрата называют представление квадратного трехчлена в виде:

ax2 + bx + c = a(x x0)2 + d:

32

В основе выделения полного квадрата лежат формулы сокращенного умножения (a b)2 = a2 2ab + b2.

Выполним следующие преобразования квадратного трехчлена:

Пример 2.19. Выделить полные квадраты в следующих выражениях:

1)x2 10x + 15;

2)x2 3x + 1;

3)5x 3 3x2.

Решение.

1)x2 10x + 15 = x2 2 5 x + 52 52 + 15 = (x 5)2 10.

2)x2 + 5x 11 = x2 2 52 x + 52 2 52 2 11 = x + 52 2 694 .

2.6Задачи к главе 2

z1

2.1 Вычислить z1 + z2, z1 z2, z1 z2, z2 , åñëè

1)z1 = 2 + 3i, z2 = 7 + i;

2)z1 = 3 4i, z2 = 5 2i.

33

2.2 Вычислить

1)2i12+ 5i 1;

2 + 9i

2)(1 2i)(11 + 3i) 5i23;

3)3 4i + 27ii + 15;

4)(i 2)(7 + 5i) 3 +1 i.

2.3 Записать в тригонометрической форме следующие числа:

1)1;

2)1 + i;p

3)2 2 3i; p

4)3 + i.

2.4 Найти модули и аргументы комплексных чисел:

2.7 Найти все значения корней и изобразить их на комплексной плоскости p

2.8 Решить уравнения:

34

1)x2 4x + 13 = 0;

2)2x2 + 6x + 5 = 0;

3)x2 + 9 = 0;

4)x2 (5 + 2i)x + 5 + 5i = 0;

5)x2 + 2x + 3 xi i = 0.

2.9 Разделить многочлен f(z) на многочлен g(z), если:

1)f(z) = 3z5 + 4z4 5z3 + 6z2, g(z) = 3z2 + 4z 5;

2)f(z) = 3z4 12z3 2z2 + 15z 5, g(z) = 3z2 5;

3)f(z) = 6z3 + 11z2 4z + 3, g(z) = 3z + 7;

4)f(z) = z3 4z2 + 5z 5, g(z) = z 4;

5)f(z) = z5 + 3z2 + 4z 7, g(z) = z2 + 3z + 1;

6)f(z) = 2z3 9z 27, g(z) = z 3.

2.10 Определить кратность корня z = z0 для многочлена f(z), если:

1)f(z) = z4 z3 18z2 + 52z 40, z0 = 2;

2)f(z) = z4 + 6z3 + 5z2 24z 36, z0 = 3;

3)f(z) = z3 4z2 + z + 6, z0 = 1;

4)f(z) = z4 7z3 + 10z2 z + 5, z0 = 5.

2.11 Разложить на множители квадратные трехчлены:

1)x2 + 5x + 4;

2)x2 25x + 144;

3)3x2 7x 6;

4)5x + 24 x2;

5)8x2 + 10x + 3;

6)10 + 8x 2x2.

2.12 Выделить полные квадраты в следующих выражениях:

1)x2 + 6x 11;

2)x2 3x + 1;

3)2x2 + 4x 3;

4)6x 3x2;

5)17x2 2x;

35

6)8 + 4x x2;

7)5x2 + 20x 13;

8)x2 + 8x + 5.

2.13 Найти все корни многочлена f(z), если один из них известен:

1)f(z) = z3 + z2 20z 50, z1 = 5;

2)f(z) = z3 + 2z2 19z + 30, z1 = 6;

3)f(z) = z4 + 2z3 + 2z2 + 10z + 25, z1 = 1 + 2i;

4)f(z) = z3 8z2 + 14z 12, z1 = 1 i.

2.14 Разложить многочлен f(z) на множители над множеством комплексных чисел, если:

1)f(z) = z4 81;

2)f(z) = z3 + 8;

3)f(z) = z3 + 4z2 + 9z + 36;

4)f(z) = z3 3z2 + 12z 10.

2.15 Разложить многочлен f(x) на множители над множеством действительных чисел, если:

1)f(x) = x3 6x2 + 11x 6;

2)f(x) = x4 5x2 36.

36

Функции одной действительной переменной

3.1Понятие функции. Способы задания функций

Определение 3.1. Пусть даны два непустых множества X и Y (X; Y R). Правило (закон) f, которое каждому элементу x 2 X сопоставляет один и только один элемент y 2 Y , называется функцией одной действительной переменной, при этом пишут y = f(x), x 2 X или f : X ! Y .

Множество X называется областью определения функции f и обознача- ется D(f). Множество E(f) = fy 2 Y j y = f(x); x 2 Xg называется множеством значений функции f.

При этом x 2 X называют аргументом функции или независимой переменной, а y 2 Y значением функции в точке x или зависимой переменной. Если число a 2 D(f), то говорят, что функция f определена в точке a. Для того, чтобы указать значение функции f в фиксированной точке a, обычно используют одну из следующих записей: f(a), y(a), f(x)jx=a.

Замечание. Множества значений для разных функций находятся разными способами.

Пример 3.1. Найти область определения функции

1

y = p2x x2 + 3.

Решение. Для того, чтобы найти область определения функции необходимо определить все значения переменной x, при которых формула, задаю-

щая функцию, имеет смысл. Чтобы найти область определения функции y =

37

интервалов получим, что решением данного неравенства является множество fx 2 R j 1 < x < 3g. Следовательно, D(f) = ( 1; 3).

Определение 3.2. Графиком функции f(x), определенной на множестве

X R, называется множество точек плоскости, для каждой из которых

абсцисса является значением аргумента, а ордината соответствующим значением функции, т. е. множество точек на координатной плоскости Oxy:

Gf = f(x; y) j y = f(x); x 2 Xg.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналити- ческий, табличный и графический.

Аналитический способ: с помощью одной или нескольких формул устанавливается алгоритм вычисления значений для каждого из значений аргумента.

38

Пример 3.3. 1) V (R) = 4 R3 ;

3

8

<x2 + 1 ïðè x < 0;

2) y =

:x 1 ïðè x 0;

3)f(x) = x3 + cos x.

Аналитический способ является наиболее совершенным, так как к нему можно применять методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию.

Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции:

На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.

Графический способ: функция задается графиком. Преимуществом графического задания функции является его наглядность, недостатком его неточность.

3.2Основные свойства функций

Определение 3.3. Пусть область определения D(f) симметрична относи-

тельно нуля: 8x 2 D(f) x 2 D(f). Функция f(x) называется четной, åñëè

8x 2 D(f) f( x) = f(x) è нечетной, åñëè 8x 2 D(f) f( x) = f(x).

График четной функции симметричен относительно оси Oy, а график нечетной функции относительно начала координат.

Пример 3.5. Исследовать функции на четность, нечетность:

1) y = x4 4jxj;

39

x3

2) y = 2x2 1;

3) y = x 1 1.

Решение.

1)Областью определения функции y = x4 4jxj является множество D(f) = R, которое симметрично относительно нуля. Поскольку

f( x) = ( x)4 4j xj = x4 4jxj = f(x);

функция y = x4 4jxj является четной. График этой функции симметричен относительно оси Oy.

x3

2) Областью определения функции y = 2x2 1 является множество

которое симметрично относительно нуля. Так как

x3

функция y = 2x2 1 является нечетной. График этой функции симметричен относительно начала координат.

40