LAI1

2

2008 г.

УДК 519.2

А.И. Луценко Задачи по теории вероятностей. Учебное пособие для студентов специальности «ин-

формационные технологии» факультета математики, механики и компьютерных наук. ЮФУ. Ростов-на-Дону, 2008г. 51с.

Редактор: В.А. Знаменский, кандидат физико-математических наук, доцент РГУ.

Цель пособия - обеспечить проведение практических занятий по теории вероятностей. В пособии приведены необходимые теоретические сведения и формулы, позволяющие решать предлагаемые задачи.

Первая часть пособия, содержащая сто задач, посвящена определению вероятностей случайных событий, их сумм и произведений. Вторая часть, также содержащая сто задач, посвящена случайным величинам, определению их законов распределения и числовых характеристик. Постепенно усложняющиеся модели испытаний, описываемые в условиях задач, позволяют студенту получить понятия и приобрести навыки самостоятельного построения различных моделей и работе с ними в теоретико-ве- роятностном плане.

3

Глава I. Случайные события.

§ 1. Классическое определение вероятности.

Описание комплекса условий и действий при проведении испытания или опыта позволяет точно определить, назвать элементарные исходы w i этого опыта. Если W - множество элементарных исходов опыта, то ½W½ - число элементарных исходов, то

есть число элементов множества W. Классическое определение вероятности применимо только к тем испытаниям, в которых элементарные исходы равновозможны, то есть все элементарные исходы имеют равные шансы на осуществление при проведении испытания. При наличии свойства равновозможности каждому элементарному

А - случайное событие, которое может наступить при проведении испытания или опыта. Элементарные исходы, осуществление которых означает наступление события А, называются благоприятствующими этому событию. Они образуют подмноже-

ство во множестве элементарных исходов W. Число элементарных исходов w i , благоприятствующих событию А, обозначают m, то есть ½А½=m. Вероятность события А определяется как сумма чисел p i по всем элементарным исходам w i , составляющим подмножество А. Следовательно:

P(A)= å pi = mn .

ω i A

То есть, если исходы w i равновозможны, то вероятность события А равна отно-

шению числа элементарных исходов благоприятствующих этому событию к общему числу возможных элементарных исходов.

ПРИМЕР. Брошены две игральных кости. Найти вероятность того, что сумма очков выпавших на верхних гранях костей: а) равна четырем; б) кратна четырем.

Предлагаемое в условии испытание позволяет определить элементарные исходы двумя способами.

Способ первый. Элементарный исход w i - сумма очков, выпавших на верхних

гранях костей. Таких элементарных исходов будет n=11, так как наименьшая сумма очков равна двум, а наибольшая сумма равна двенадцати.

Способ второй. Элементарный исход w i - на первой кости выпало k очков, а на

второй - l очков, где k,l=1,2,3,4,5,6. Таких элементарных исходов будет n=36, так как любое из шести возможных число очков на одной кости может составить пару с любым из шести возможных числом очков на другой кости.

Обозначим: случайное событие А- ²сумма выпавших очков на верхних гранях костей равна четырем ² и случайное событие В-²сумма выпавших очков кратна

четырем ².

При первом способе определения элементарных исходов случайному событию

А будет благоприятствовать один элементарный исход, случайному событию В- три исхода. Но применить здесь классическое определение вероятности нельзя потому, что определенные этим способом элементарные исходы не будут равновозможными.

Так как, например, у элементарного исхода w1 - сумма очков равна двум в три раза

4

меньше шансов на появление при проведении опыта, чем у элементарного исхода ω 3 - сумма очков равна четырем из-за того, что сумму 2 можно получить только одним

способом: 2=1+1, а сумму 4 можно получить тремя способами: 4=1+3=2+2=3+1. При втором способе определения все элементарные исходы - равновозможны.

Например, исходы ω=(3;1), ω =(1;3) и ω =(3;3) - имеют равные шансы на появление. Случайному событию А благоприятствуют три элементарных исхода, m Α =3, а случайному событию В благоприятствуют девять элементарных исходов, m Β =9. Соглас-

но классическому определению вероятности получаем: Р(А)= 336; Р(В)= 936.

1. В урне имеется 15 шаров: 9 черных и 6 белых. Из урны наугад извлекается один шар. Какова вероятность того, что этот шар будет: а) черного цвета, б)белого цвета?

2.На четырех одинаковых карточках написаны буквы А,А,Д,М. Наугад одна за другой берутся все карточки и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что при этом получится слово

ДАМА?

3.На четырех одинаковых карточках написаны буквы А,А,М,М. Наугад одна за другой берутся четыре карточки и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что при этом получится слово

МАМА?

4.На пяти одинаковых карточках написаны буквы А,А,Д,М,М. Наугад одна за другой берутся четыре карточки и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что при этом получится: а) слово МАМА, б) слово ДАМА?

5.Из партии домино взяли одну кость, которая оказалась не дублем. Найти вероятность того, что вторую взятую наудачу кость домино можно приставить к первой.

6.Имеется пять отрезков, длины которых равны соответственно 1, 3, 5, 7 и 9 единицам. Определить вероятность того, что с помощью взятых наудачу трех отрезков из данных пяти можно построить треугольник.

7.Брошены две игральных кости. Найти вероятности следующих событий: а) сумма выпавших очков равна семи; б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность - четырем; в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем.

8.Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти веро-

5

ятность того, что наудачу извлеченный кубик имеет окрашенных граней: а) одну, б) две, в) три.

9. В коробке шесть одинаковых, занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем или в убывающем порядке.

10.Брошено три монеты. Найти вероятность того, что: а) выпадут два герба; б) выпадут не менее, чем два герба.

11.Брошены две игральных кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших на двух костях очков будет не менее девяти? Какова вероятность выпадения одного очка по крайней мере на одной из костей?

12.В ящике десять одинаковых деталей, помеченных номерами 1, 2, 3, ..., 10. Наудачу извлечены шесть деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажутся: а) деталь №1; б) детали №1 и №2.

13.В коробке имеется 15 теннисных мячей, среди которых 10 - новых. Теннисист наудачу берет три мяча. Найти вероятность того, что: а) взятые мячи окажутся новыми; б) взятые мячи окажутся старыми; в) среди взятых мячей будут два новых.

14. В ящике находится 100 деталей, из них 10 - бракованных. Наудачу извлечены четыре детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей: а) нет бракованных; б) нет годных; в) количества бракованных и годных деталей одинаковы.

15. В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу отобраны m деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно k стандартных, (k≤m).

16.В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.

17.На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу кинескопов окажутся три кинескопа Львовского завода.

6

18.В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.

19.В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенное изделие.

20.Из последовательности чисел 1,2,3,...,n наудачу выбираются два числа. Какова вероятность того, что одно из них будет меньше k, а дру-

гое - больше k, где 1<k<n?

21.Из колоды карт взяли пять штук, среди которых оказались три картинки. Извлеченные карты перемешали и затем, последовательно открыв их, разложили в ряд. Определите вероятность того, что эти три картинки будут лежать рядом.

22.Семь книг по экономике и три по математике наудачу расставляют на книжной полке. Определите вероятность того, что книги по математике будут стоять рядом.

23.Два лица А и В и еще восемь студентов стоят в очереди в библиотеке. Определите вероятность того, что А и В отделены друг от друга тремя студентами.

24.Четыре лица наудачу рассаживаются за круглым столом. Определите вероятность того, что два определенных лица А и В будут сидеть: а) напротив друг друга; б) рядом.

25.Имеется восемь лунок, в каждую из которых может попасть только один из разбрасываемых наудачу пяти шаров. Определите вероятность того, что во второй и в восьмой лунках будут шары.

§ 2. Вероятности суммы и произведения событий.

Для любых двух случайных событий А и В справедливо: Р(АÈВ) = Р(А) + Р(В) - Р(АÇВ);

Р(АÇВ) = Р(А) Р( Β A ).

Если случайные события А и В н е с о в м е с т н ы е , то Р(АÈВ) = Р(А) + Р(В). Если случайные события А и В н е з а в и с и м ы е, то Р(АÇВ) = Р(А) Р(В). Формулы вероятностей суммы и произведения событий обобщаются на любое конечное число случайных событий. В частности:

7

Р(АÈВÈС) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АÇВ) - Р(АÇС) - Р(ВÇС) + Р(АÇВÇС); Р(АÇВÇС) = Р(А) Р( Β A ) Р(C A Ç B ).

Вероятность некоторого случайного события D может быть вычислена с помощью этих формул, если ввести более простые события, например: А1 , А 2 , В1 , В 2 , веро-

ятности которых или даны в условии задачи, или легко определяются. Событие D с помощью алгебраических операций над множествами представляется в виде комби-

нации введенных событий. Пусть: D = (A1 ÇB 2 ) È (A 2 ÇB1 ) . Тогда: Р(D) = Р((A1 ÇB 2 ) È (A 2 ÇB1 )). Решая вопрос о совместности или несовместности случайных событий-слагаемых, записываем чему равна вероятность суммы (A1 ÇB 2 ) и (A 2 ÇB 1 ). Определяя зависимыми или независимыми будут события сомножители, записываем чему равны вероятности произведений. Например, если (A1 ÇB 2 ) и (A 2 ÇB1 ) - несовместные,. А пары A 1 , B 2 и A 2 ,B 1 - зависимые события, получим:

P(D) = P (A1 ÇB 2 ) +Р(A 2 ÇB1 ) = Р(А1 ) Р( Β 2 A 1 ) + Р(А 2 ) Р( Β 1 A 2 ).

ПРИМЕР. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлены десять учебников по экономике и пять - по математике. Библиотекарь наудачу берет три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников будет по математике.

Способ первый. Очевидно, что случайное событие D - ни один из взятых учебников не будет по математике. Тогда D È D =U - достоверное событие. Р( D È D ) =Р(U )=1. События D и D - несовместные, следовательно: P(D) + P( D ) = 1. С помощью клас-

= 1 - Р( D ) = 1 - 24 91 = 6791 .

Способ второй. Пусть случайное событие А- один из трех учебников - по математике, случайное событие В - два из трех взятых учебников - по математике и случайное событие С - три взятых учебника - по математике. Тогда случайное событие D можно представить в виде суммы трех введенных событий : D = А È В È С. Сле-

8

26. Два стрелка стреляют по одной мишени. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для стрелков равны, соответственно, p1 =0,7 и p 2 =0,8 . Найти вероятность того, что при одном залпе в мишени будет: а) одно попадание; б) не менее одного попадания

27.Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта равна 0,8. Найти вероятность того, что среди трех проверенных изделий окажется два изделия высшего сорта.

28.Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор равна 0,95, а второй - 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только один сигнализатор; б) хотя бы один сигнализатор.

29.Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно равна 0,9. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий: а) только одно окажется стандартным; б) все три изделия окажутся стандартными.

30.В первой урне находятся три белых, пять красных и семь синих шаров. Во второй урне - два белых, четыре красных и девять синих шаров. Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что извлеченные шары будут одного цвета.

31.Проводятся те же извлечения из двух урн, составы которых описаны в предыдущей задаче. Пусть случайное событие А - извлеченные шары одного цвета, случайное событие В - извлеченные шары разного цвета, случайное событие С - среди цветов извлеченных шаров есть синий цвет. Что означают следующие случайные события:

C A , AC , A Ç C,C B , B C , B Ç C ? Найдите эти вероятности.

32. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Не применяя классическое определение вероятности, определите вероятность того, что: а)

9

студент знает все три предложенные ему экзаменатором вопроса; б) студент не знает второй из предложенных ему вопросов; в) студент не знает один из предложенных ему вопросов.

33.В урне имеется пять шаров с номерами от 1 до 5. Наудачу по одному без возвращения извлекают три шара. Найти вероятности следующих случайных событий: а) последовательно появятся шары с номерами 1,4,5; б) извлеченные шары будут иметь номера 1, 4 и 5.

34.В мешочке находятся девяносто одинаковых бочонков игры «ЛОТО» с номерами от 1 до 90. Наудачу извлекают по одному три бочонка. Найти вероятности случайного события А- последовательно появились бочонки с номерами 1,2,3 и случайного события В - последовательно появились бочонки с номерами 11,22,33, если бочонки извлекаются: а) без возвращения; б) с возвращением каждый раз бочонка в мешочек после фиксирования его номера.

35.Вероятности того, что нужные для сборки детали находятся в первом, втором, третьем, четвертом ящике соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Каковы вероятности того, что нужные детали содержатся: а) не более, чем в трех ящиках; б) не менее, чем в двух ящиках?

36.Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,8. Какое максимальное число выстрелов может произвести стрелок, чтобы с вероятностью не меньшей, чем 0,4 можно было ожидать, что у него не будет ни одного промаха?

37.Какова вероятность того, что наудачу взятое натуральное число не делится: а) ни на два, ни на три; б) на два или на три?

38.Сколько натуральных чисел нужно взять наудачу, чтобы с уверенностью не меньшей, чем 0,9 можно было утверждать, что среди них есть хотя бы одно четное?

39.Стрелок имеет пять патронов и стреляет до первого попадания, или пока у него не кончатся патроны. Определить вероятность того, что: а) будет сделано четыре промаха; б) будет сделано пять промахов; в) будут израсходованы все патроны, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.

40.Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что он дозвонится не более, чем за три набора номера телефона.

10

41.Из урны, содержащей три белых и четыре черных шара, извлекают шары по одному до тех пор пока не появится шар белого цвета. Определить вероятность того, что было произведено четыре извлечения, если шары извлекались: а) без возвращения; б) с возвращением.

42.Из колоды карт наудачу по одной извлекают карты, каждый раз возвращая их назад, до тех пор пока не появится карта бубновой масти. Определить вероятность того, что: а) придется сделать четвертое извлечение; б) будет сделано четыре извлечения.

43.Баскетболист попадает мячом в корзину при одном броске с вероятностью 0,6. Мяч бросается до первого попадания в корзину, но баскетболисту разрешается сделать не более пяти бросков. Найти вероятность того, что: а) все разрешенные попытки будут сделаны;, б) баскетболист попадет мячом в корзину.

44.Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у кого раньше появится герб. Определите вероятности выигрыша для каждого из игроков.

45.Игрок А, ведущий игру, играет поочередно с игроками В и С. Игра прекращается сразу после первого проигрыша партии игроком А или после того, как он выиграет у игроков В и С по две партии. Определите вероятности выигрыша игры для каждого из игроков, если вероятность выигрыша одной партии для игрока А равна 0,75.

46.Устройство содержит три последовательно включенных элемента, работающих независимо друг от друга. Вероятности отказов первого,

второго и третьего элементов соответственно равны: p1 = 01,; p2 = 015,; p 3 = 02,. . Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

47. Устройство содержит три параллельно включенных элемента,. Работающих независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны: p1 = 01,; p2 = 015, ; p

3 = 02,. . Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказало не менее двух элементов.

48. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если самолет сбрасывает на него последовательно четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны 0,3; 0,4; 0,5; 0,6.