LAI1

31

полнения следующих неравенств: а) çХ ç£1; б) 1<çХ ç£ 3. Сделать схематический чертеж.

145. При каком значении параметра с функция р(х), заданная равенством:

будет плотностью вероятности непрерывной случайной величины Х ? Найти медиану распределения.

146.Шкала секундомера имеет цену деления 0,2 сек. Отсчет времени по секундомеру делается с ошибкой, возникающей из-за округления показания стрелки секундомера до ближайшего целого деления. Определить вероятность того, что ошибка отсчета не превзойдет по абсолютной величине 0,025 сек. С какой вероятностью можно ожидать, что ошибка отсчета будет находится в пределах от 0,02 до 0,05 секунд ?

147.Стрелок стреляет из лука по мишени, состоящей из трех концентри-

ческих кругов с радиусами 1 3; 1; 3. Расстояние r от центра кругов до точки попадания стрелы в мишень есть непрерывная случайная ве-

центральный круг дает стрелку 4 очка, в среднее кольцо - 3 очка, в крайнее кольцо - 2 очка и вне кругов - 0 очков. Постройте ряд распределения числа очков полученных при одном выстреле.

148. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид равнобедренного треугольника, длина основания которого равна шести. Вершина треугольника находится на оси ординат. Запишите уравнение плотности вероятности. Какое событие более вероятно: А={| Х |<1} или

В={0< Х<2} ?

149. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид треугольника, одна из вершин которого находится на оси ординат, а две другие - на оси абсцисс в точках -1 и +3. Запишите уравнение плотности вероятности. Какое из трех событий: А={-1£ Х<0}; В={0£ Х<1} или С={1£ Х£3} наиболее вероятно, а какое - наименее вероятно ?

150. График плотности вероятности случайной величины Х совпадает для всех х таких, что | х |£ а, с графиком параболы, вершина которой находится в точке (0;a2 ) , а ветви которой направлены вниз. Запишите уравнение плотности вероятности и определите значение параметра а.

34

Определить значение параметра, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

риод времени [0;МТ]. Какова вероятность того, что время безотказной работы прибора будет не меньше чем МТ, но и не больше чем 2МТ ?

164. Испытываются два независимо работающих прибора. Длительности времени безотказной работы приборов подчиняются экспоненциальному распределению с плотно-

стью вероятности: pi (t) = λ i e− λ it , для t³0, где λ 1 = 0,02 , λ 2 = 0,05. Найти ве-

роятность того, что за первые шесть часов работы: а) оба прибора откажут; б) только один прибор откажет; в) хотя бы один прибор откажет; г) ни один прибор не откажет.

165. Время безотказной работы прибора распределено по экспоненциальному закону: p(t) = λ e− λ t , для t³0. Показать, что вероятность безотказной работы прибора в интервале времени длительностью t0 не зависит от времени Т его предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала (Т;Т+t0 ), а зависит только от его длительности t0 .

§ 12. Нормальный закон.

Случайная величина Х, распределенная по нормальному закону с параметрами m и σ (Х N(m;σ)) , имеет плотность вероятности:

Параметр m- это математическое ожидание случайной величины Х, а параметр σ- среднее квадратическое отклонение. Вероятность случайного события {α≤Х<β}, то

есть вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее полуинтервалу [α;β), будет равна:

α

x z2

где Φ (x) = 12π ò e− 2 dx - функция Лапласа.

0

В частности, вероятность того, что значение случайной величины Х отклонится от математического ожидания МХ=m в ту или иную сторону меньше, чем на ε, равна:

Р(|X−m|<ε)=2 Φ (σε ).

Согласно Центральной предельной теореме, как бы ни были распределены независимые случайные величины Х1 , Х 2 ,..., Х n , имеющие одинаковые математические

35

при большом п подчиняется распределению близкому к нормальному с параметрами т и σ n , то есть:

166.Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины Х равно т=3, а среднее квадратическое отклонение σ=2. Написать уравнение плотности вероятности р(х). Чему равна вероятность того, что Х примет: а) отрицательное значение; б) значение, отличающееся от величины т=3, не больше, чем на три единицы?

167.Случайная величина Х распределена по нормальному закону с пара-

метрами т=10 и σ=3. Найти вероятности того, что в результате испытания Х примет значение в интервале: а) (10;13) ; б) (10;16) ; в) (10;19).

168.Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно

равны т=20 и σ=5. Найти вероятности того, что Х примет значения удаленные от математического ожидания не более, чем на: а)σ; б) 2σ;

в) 3σ.

169. Производятся измерения диаметра вала. Случайные ошибки измерений не имеют систематических отклонений, а их среднее квадратическое отклонение равно 10 мм. Найти вероятность того, что измерение диаметра вала будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.

170. Производятся взвешивания порций пороха для снаряжения охотничьих патронов. Случайные ошибки веса полученных порций не имеют систематических отклонений, а среднее квадратическое отклонение веса порции пороха от нормы равно 0,15 мг. Определить вероятность того, что вес наудачу взятой порции будет отличаться от нормы в ту, или иную сторону не более, чем на 0,21 мг. Какой должна быть величина среднего квадратического отклонения взвешенных порций от номинала, чтобы с уверенностью не меньшей, чем 0,9876 можно было утверждать, что веса приготовленных порций пороха отличаются от нормы по абсолютной величине не более, чем на 0,21 мг?

171. Станок-автомат изготовляет детали. Деталь считается годной, если абсолютная величина отклонения ее размера от номинала не превыша-

36

ет 0,7 мм. Считая, что размер детали есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением σ=0,4 мм, найти среднее число годных деталей среди ста изготовленных.

172. Случайное отклонение точки разрыва снаряда от некоторой точечной цели подчиняется нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ=5 м и математическим ожиданием т=0. Цель считается пораженной, если отклонение точки разрыва снаряда от цели не превышает 4,21 м. Орудие произвело один выстрел. Какова вероятность того, что цель будет поражена? Какова вероятность того, что цель будет поражена, если орудие произведет три выстрела? Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы с уверенностью не меньшей, чем 0,9973 ожидать, что цель будет поражена?

173. Случайные ошибки измерения некоторой величины подчинены нормальному закону с математическим ожиданием т=0 и средним квадратическим отклонением σ=20 мм. Найти вероятность того, что при трех независимых измерениях ошибка хотя бы одного измерения не превзойдет по абсолютной величине 4 мм. Какова вероятность того, что все три независимых измерения будут сделаны с ошибками по абсолютной величине меньшими, чем 4 мм?

174.Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием т=20 и средним квадратическим отклонением σ=5. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадают в результате одного наблюдения значения величины Х.

175.Станок-автомат штампует детали, номинальный размер которых должен быть равен 30 мм. Известно, что отклонение размера от номинала имеет дисперсию равную 2. Проведены контрольные измерения 3200 деталей. Найти вероятность того, что среднее арифметическое результатов измерений примет значение в промежутке (29,95;30,075).

176.Все ошибки измерений некоторой величины - независимые и одинаково распределенные случайные величины, имеющие дисперсию равную 5. Сколько нужно произвести измерений, чтобы с уверенностью не меньшей, чем 0,9973 можно было ожидать, что отклонение среднего арифметического результатов измерений от измеряемой величины не превысит по абсолютной величине 0,01?

177.В результате контрольного замера длины магнитной ленты в 900 кассетах установлено, что средняя длина ленты в кассете на 1,2 метра

37

меньше, чем установлено стандартом для данного типа кассет. Можно ли это отклонение средней длины ленты от нормы объяснить случайностью, если среднее квадратическое отклонение длины ленты в кассете равно 8 метров?

178. Производится выборочное обследование изготовленной партии электролампочек для определения гарантированного среднего времени их горения. Каков должен быть объем выборки, чтобы с уверенностью, не меньшей 0,9876, можно было утверждать, что средняя продолжительность горения лампочки в изготовленной партии отклоняется от среднего времени горения полученного в результате эксперимента не более, чем на 10 час., если среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампочки равно 80 час.?

179. Станок-автомат изготовляет шарики для шарикоподшипников. Шарик признается годным, если абсолютная величина отклонения диаметра шарика от номинального размера не превышает 0,7 мм. Считая, что случайная величина Х - диаметр шарика распределена нормально со средним квадратическим отклонением σ =0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди изготовленных ста штук?

180. Известно, что длина окружности грудной клетки мужчины есть случайная величина Х, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием МХ=104 см и средним квадратическим отклонением σ=4,8 см. Швейное производство планирует организовать изготовление мужских костюмов. Размер костюма - случайная величина Y, каждое значение которой определяется путем округления до ближайшего четного числа половины длины окружности грудной клетки. В каких долях от общего объема производства костюмов необходимо изготовлять костюмы каждого размера, чтобы предлагаемый ассортимент размеров готовых костюмов соответствовал спросу покупателей?

§13 Двумерная случайная величина.

Случайная величина Z=(X,Y) называется двумерной случайной величиной, если ее

возможными значениями являются пары чисел (x i ,y k ), i,k=1,2,3,... .Каждое свое возможное значение (x i ,y k ) случайная величина Z принимает с вероятностью Р(Z=(x i ,y k ))=р ik . Законом распределения дискретной случайной величины Z называют

перечень ее возможных значений и соответствующих вероятностей. Закон распределения двумерной случайной величины задают в виде таблицы распределения:

38

Так как возможные значения (x i ,y k ) двумерной случайной величины Z, являясь случайными событиями, образуют полную группу событий, то сумма вероятностей р

ik всех возможных значений случайной величины Z равна единице, т.е. ån åm pik = 1.

i= 1 k = 1

Случайные величины X и Y, принимающие свои возможные значения x i и y k , соот-

ются компонентами двумерной случайной величины Z. Наборы вероятностей { pi } ,

i=1,2,...,n, и { p k } , k=1,2,...,m, называются частными распределениями компонент X

и Y.

Математическим ожиданием двумерной случайной величины Z называется матри-

Центральным моментом μ jl двумерной случайной величины Z называется величина μ jl = M [( X - M X ) j (Y - M Y ) l ] . Рассматриваются центральные моменты μ jl , у которых j+l=2. Это - дисперсии компонент μ 20 = DX; μ 02 = DY и ковариационный момент μ 11 = M [( X - M X )(Y - M Y )] = cov(X;Y). Симметричная матрица å порядка

2´2, составленная из этих центральных моментов, называется ковариационной матрицей:

белого, красного и черного цветов. Наудачу с возвращением извлекаются три шара. Пусть Х - число появившихся шаров белого, а Y - число

39

появившихся шаров красного цвета. Построить таблицу распределения двумерной случайной величины Z=(X;Y). Найти частные распределения компонент Х и Y.

182. В урне находятся по три шара белого, красного и черного цветов. Наудачу без возвращения извлекаются три шара. Пусть Х - число появившихся шаров белого, а Y - число появившихся шаров красного цвета. Построить таблицу распределения двумерной случайной величины Z=(X;Y). Найти частные распределения компонент Х и Y.

183. В урне имеется три шара: черный, красный и белый. Из урны по одном шару, каждый раз после фиксирования цвета возвращая извлеченный шар обратно, произведено пять извлечений. Построить таблицу распределения двумерной случайной величины Z=(X;Y), где Х - число появившихся черных, а Y - число появившихся белых шаров. Определить частные распределения компонент Х и Y и их числовые характеристики. Найти значение коэффициента линейной корреляции между этими компонентами. Определить вероятность того, что черный и белый шары появятся не менее чем по два раза каждый.

184. Два стрелка производят по два выстрела, причем каждый стреляет по своей мишени. Построить таблицу распределения случайной величины Z=(X;Y), где Х- число попаданий первого, а Y- число попаданий второго стрелка, если вероятности попаданий при каждом выстреле у них одинаковы и равны р. а)Определить частные распределения компонент Х и Y и их числовые характеристики. Показать, что случайные величины Х и Y - независимые.

б) Чему равна вероятность того, что у стрелков будет равное число попаданий?

в) Построить ряд распределения случайной величины X+Y.

185. Однотипные детали в зависимости от точности изготовления различаются по форме на круглые и овальные, а по весу - на легкие и тяжелые. Вероятности того, что взятая наудачу деталь окажется круглой и легкой, овальной и легкой, круглой и тяжелой, овальной и тяжелой, - соответственно равны α, β, γ, δ; (α+β+γ+δ=1). Наудачу взята одна деталь. Найти математические ожидания и дисперсии Х - числа круглых и Y - числа легких деталей, а также коэффициент линейной корреляции между числом круглых и числом легких деталей, если α=0,40; β=0,05; γ=0,10.

40

а)Найти математические ожидания и дисперсии компонент; б)построить ковариационную матрицу и определить значение коэффициента линейной корреляции.

Определить математические ожидания компонент, построить ковариационную матрицу и вычислить значение коэффициента линейной корреляции.

188. Случайная величина Х распределена по биномиальному закону с параметрами п=2 и р, т. е. ХΒ2 ( p) , а случайная величина Y - линейная

функция Х : Y = 2X − 1.

Построить таблицу распределения вероятностей двумерной случайной величины Z=(X,Y) и определить ее числовые характеристики.

189. В результате проверки качества изделие может быть отнесено к I