Министерство образования и науки Российской Федерации Московский государственный технологический университет «СТАНКИН»

А.В. Боголюбов, О.К. Иванова

Задачи и контрольные вопросы по математике

для студентов 3 семестра

Москва 2007

1.Основные понятия……..…………...……...……………………..6

2.Уравнения 1-го порядка. Графический метод построения интегральных кривых (метод изоклин)…….....……...…...……7

3.Уравнения с разделяющимися переменными………………...10

4.Однородные уравнения…………..…….......….….……………12

5.Линейные уравнения. Уравнения Бернулли…....…...………..13

6.Особые решения. Уравнения Клеро…………....…...………...15

7.Смешанные задачи. Геометрические и физические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений

1-го порядка…………...……….……………………………….16

1.Основные понятия…………………………………...…………19

2.Уравнения, допускающие понижение порядка……...……….21

3.Линейные уравнения……………………...……………………23

4.Однородные линейные уравнения

спостоянными коэффициентами…….…...…...……………...25

5.Неоднородные линейные уравнения

спостоянными коэффициентами………...…………………...28

1.Основные понятия……….……………..………………………33

2.Сведение уравнения n-го порядка к нормальной системе.

Метод исключения……….………………...…………………..35 3. Собственные значения и собственные векторы матрицы.......36

4.Решение однородных линейных систем с постоянными коэффициентами методами линейной алгебры…........………38

1.Основные понятия…………………………...…………………42

2.Классификация точек покоя однородной линейной системы 2-го порядка с постоянными коэффициентами......…..………42

Глава 9 . Ряды и их применение……………........……………………….47

§1. Числовые ряды…………………………………………………….47

1.Сходимость ряда…………...…………….……………………..47

2.Признаки сходимости для рядов

сположительными членами…….………….…………………..51

3.Абсолютная сходимость и условная сходимость.

3

Признак Лейбница….……………...…………………………...58

§2. Функциональные ряды……………………………………………63

1.Область сходимости функционального ряда….....…………...63

2.Равномерная сходимость……………...…..…………………...65

§3. Степенные ряды………………………...………………………....68

1.Область сходимости степенного ряда………...……………....68

2.Разложение функций в ряд Тейлора (Маклорена)…...………71

3.Применение степенных рядов…...………...………………….75

§4. Ряды Фурье………………………...………………………………79

Глава 1 0 . Операционное исчисление………..…………………….……84

§1. Преобразование Лапласа………...………………………………..84

1.Определение и свойства преобразования Лапласа…………...84

2.Восстановление оригинала по изображению……....………....87

§2. Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений и систем линейных уравнений

спостоянными коэффициентами……….....……………………...88

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее пособие предназначается для студентов третьего семестра втузов, изучающих курс общей математики в объеме 270–280 аудиторных часов, что соответствует программам по математике подготовки бакалавров техники и технологий и инженеров-экономистов на дневных факультетах МГТУ «Станкин». Содержит следующие разделы: дифференциальные уравнения и системы, числовые и функциональные ряды, операционное исчисление.

Каждый параграф начинается с краткого теоретического введения, в котором приводятся определения и обозначения математических понятий, математические факты, формулировки теорем и утверждений, а также формулы, необходимые для решения задач. Задачам, предлагаемым для самостоятельного решения, предшествуют подробно разобранные типовые примеры. Начало решений разобранных примеров и задач помечается знаком 3, конец решения – знаком 4.

Наряду с типовыми задачами с целью активного освоения изучаемых понятий и теорем предлагаются контрольные теоретические вопросы и задачи теоретического характера, поэтому настоящее издание может быть использовано при подготовке к экзамену как обзорное.

Задачи расположены обычно в порядке возрастания сложности и сгруппированы парами – задачи с нечетными номерами рекомендуется решать в аудитории на практических занятиях, а задачи с четными номерами предлагаются для самостоятельной работы (домашних заданий). Задачи повышенной сложности в каждом параграфе выделены в отдельную группу. Ко всем контрольным вопросам, а также к задачам, требующим ответа, в частности, задачам вычислительного характера, даны ответы.

5

Глава 8

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§1. Основные понятия. Уравнения 1-го порядка

1.Основные понятия. (Обыкновенным) дифференциальным уравнением назы-

вается равенство вида

связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y(x) и ее производные y′, y′′, …, y(n) до производной некоторого порядка n включительно.

Наивысший порядок производной (число n для уравнения (1)), входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.

Решением (частным решением) уравнения (1) на интервале I называется всякая функция y = ϕ(x) , при подстановке которой в это уравнение вместе с ее производны-

ми, уравнение обращается в тождество относительно x I . (В более широком смысле функцию, обладающую указанным свойством на любом открытом множестве, в практике также называют решением). Если решение дифференциального уравнения задается неявно уравнением Φ(x, y) = 0 , то последнее равенство называют интегралом (ча-

стным интегралом) уравнения (1).

График всякого решения дифференциального уравнения (или кривая на плоскости xy, заданная его интегралом) называется интегральной кривой этого уравнения.

Пример 1. Показать, что кривая, заданная уравнением y = 3x −sin 2x , является интегральной кривой дифференциального уравнения y′′+ 4 y =12x .

3Имеем y = 3x −sin 2x , y′ = 3 −2cos 2x , y′′ = 4sin 2x . Подставив y′′ и y в данное уравнение, получим 4sin 2x + 4(3x −sin 2x) =12x или 12x =12x , т.е. тождество от-

6

2. Уравнения 1-го порядка. Графический метод построения интегральных кривых (метод изоклин). Дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид:

(используется также запись y |x=x0 = y0 ), где x0 , y0 – заданные числа (начальные значе-

ния). Задача отыскания решения уравнения (2), удовлетворяющего заданному начальному условию (3), называется задачей Коши для этого уравнения. Геометрически задача Коши состоит в отыскании интегральной кривой уравнения (2), проходящей через заданную точку (x0 , y0 ) на плоскости xy.

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши для уравне-

ния (2)). Если функция f (x, y) непрерывна вместе с частной производной ∂∂fy в некото-

рой области D R2 , то для любой точки (x0 , y0 ) D задача Коши для дифференциаль-

ногоуравнения(2) с начальным условием (3) имеетипритом единственноерешение.

Функция y = ϕ(x,C) называется общим решением уравнения (2), если:

1)при любом допустимом значении параметра C она является решением этого уравнения;

2)любое частное решение уравнения (2) (кроме, быть может, отдельных реше-

ний) представимо в виде y = ϕ(x,C0 ) при некотором значении C0 этого параметра (т.е. для любой точки (x0 , y0 ) D (см. теорему) найдется такое значение C0 , что

y0 = ϕ( x0 ,C0 ) ).

Уравнение Φ(x, y,C) = 0 , определяющее общее решение уравнения (2) неявно, называют общим интегралом этого уравнения.

Пример 2. Является ли функция y = Cx2 общим решением дифференциаль-

ного уравнения y′ = 2xy ? Решить задачу Коши для этого уравнения при начальном ус-

ловии y(1) = −2 .

3При любом допустимом значении C ( C ≥ 0 ) данная функция является решением данного уравнения:

т.е. первое условие в определении общего решения выполнено. Второе условие, однако, не выполняется, т. к. при y0 < 0 и x0 ≠ 0 не существует решения уравнения

7

нижней полуплоскости!), в то время как по теореме существования и единственности (условия которой выполняются как для правой полуплоскости D1 ( x > 0 ), так и для ле-

(ветви этих парабол уже целиком заполняют и правую и левую полуплоскости). Для решения задачи Коши, положив x =1 , y = −2 , из уравнения −2 = C 12 найдем C = −2 , и, таким

образом, получимискомоечастноерешение y = −2x2 ( x > 0 ). Ответ: нет; y = −2x2 .4

Решить дифференциальные уравнения:

решением уравнения y′+ y cos x = sin x cos x .

8.12. Является ли функция y = Cx22 общим решением уравнения xy′+2 y = 0 ?

8.13.Является ли равенство y′(−1) = 2 начальным условием для уравнения y′= f ( x, y) ?

8.14.Является ли равенство y(1) =1 начальным условием для уравнения y′= x2 − y2 ?

8.15. Найти функцию, принадлежащую семейству y = 2 +C cos x и удовлетворяющую условию y(0) = −1.

8.16. Найти кривую семейства y =1 +xCx , проходящую через точку

(–1, 1).

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям (решить задачи Коши):

tg α = f (x, y) определяет направление касательной к проходящей через эту точку инте-

гральной кривой (α – угол наклона касательной). Точку, вместе с проходящим через нее небольшим отрезком прямой с соответствующим углом наклона α, называют линейным элементом. Совокупность линейных элементов образует поле направлений (графически поле направлений изображают, естественно, с помощью конечного числа линейных элементов, выбрав в множестве G совокупность достаточно часто расположенных точек). Поле направлений позволяет приближенно строить интегральные кривые, как такие линии, направление касательных к которым в каждой точке совпадает с направлением поля в этой точке.

8

Для построения поля направлений целесообразно выбирать точки в множестве G не случайно, а выделять сразу все точки, в которых направление поля одинаково. Множество всех точек плоскости, в которых направление поля, определяемое уравнением (2), одно и то же, называется изоклиной. Всякая изоклина задается уравнением f (x, y) = k , где k – некоторое число, и обычно является некоторой кривой. Построив

несколько изоклин для различных значений k и указав в точках каждой изоклины соответствующее направление поля, определяемое равенством tg α = k , получим поле на-

правлений. Этот способ построения поля направлений, а затем и интегральных кривых, носит название «метод изоклин».

Пример 3. Для уравнения y′ = y + 2 − x2 найти изоклину, проходящую через точку (−1, 0) , и выяснить направление поля в ее точках.

3Уравнение семейства изоклин имеет вид y + 2 − x2 = k .

Положив x = −1, y = 0 , найдем k =1, и, следовательно, уравнение искомой изоклины y + 2 − x2 =1, т.е. изоклиной является парабола y = x2 −1. Поскольку k =1, то направление поля в точках изоклины образует угол α = arctg1 = 45° с осью x. Ответ:

y= x2 −1; α = 45°.4

8.19.Составить уравнение касательной к интегральной кривой уравнения y′= xy2 + x3 в точке (–1, 1).

через точку (–2, 1).

8.22. Построить изоклину уравнения (x − y) y′ = x , проходящую через точку (1, –1).

Методом изоклин построить приближенно семейство интегральных кривых следующих дифференциальных уравнений:

интегралом дифференциального уравнения (4x + 2 y −3) y′ = 2x + y +1.

8.26. Показать, что функция y = x∫exxdx является общим решением уравнения xy′− y = xex .

9

3. Уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравне-

то путем деления на g( y) и умножения на dx (при g( y) ≠ 0 ) уравнение (4) приводится к виду gdy( y) = f (x)dx (этот переход называется разделением переменных). Интегрируя

обе части этого равенства (левую часть по y, а правую по x), получаем общий интеграл данного уравнения в виде G( y) = F(x) +C , откуда, если это возможно, выражаем об-

щее решение. Кроме этого, если какое-либо число y0 – корень функции g( y) , т.е. g( y0 ) = 0 , то, очевидно, функция y = y0 также является решением уравнения (4).

Замечание. Дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной (уравнение (2)), может быть задано в дифференциалах:

(переход от (2) к (6) и обратно осуществляется с помощью (5)). Поскольку в уравнении

(6) переменные x и y равноправны, то решениями этого уравнения наряду с функциями вида y = ϕ(x) называются функции x = ψ( y) , обращающие его в тождество относи-

тельно y на некотором интервале. Уравнение (6) является уравнением с разделяющимися переменными, если M (x, y) = M1( x)M2 ( y) и N (x, y) = N 1( x)N2 ( y) (переменные разделяются путем деления на N 1(x)M2 ( y) ); в этом случае среди прочих решений оно

может иметь решения вида x = x0 , если N1(x0 ) = 0 , и y = y0 , если M2 ( y0 ) = 0 . Пример 4. Решить уравнение

(2 y2 +1) y′ = 2xy .

3Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными (ср. с (4) при f (x) = 2x , g( y) = 2 y2y+1). Полагая y′ = dydx , разделяем переменные:

иинтегрируем:

∫(2 y + 1y)dy = ∫2xdx y2 + ln | y |= x2 +C (общий интеграл уравнения);

кроме того, при разделении переменных потеряно решение y = 0 , которое не может быть получено из общего интеграла ни при каком значении C. Таким образом, все решения данного уравнения задаются неявно общим интегралом y2 +ln | y |= x2 +C , C R, (вы-

Пример 5. Найти частное решение уравнения y′+ y = 0 , удовлетворяющее начальному условию y(0) = 3 .

3Найдем сначала общее решение. Разделяем переменные:

10

dydx = −y dyy = −dx .

При интегрировании произвольную постоянную для удобства потенцирования целесообразно представить в логарифмической форме:

Тогда

ln | y |= ln e−x + ln C1 ln | y |= ln C1e−x | y |= C1e−x y = ±C1e−x .

Решение y = 0 , которое теряется при разделении переменных, не входит в полученное общее решение, т. к. параметр ±C1 может иметь любые значения, кроме 0. Введем новый параметр C, принимающий также и нулевое значение. Тогда функция y = Ce−x будет общим решением, включающим и решение y = 0 .

Для нахождения частного решения, положив в общем решении x = 0 , y = 3, из уравнения 3 = Ce0 найдем C = 3 , и, следовательно, y = 3e−x .4

Решить дифференциальные уравнения:

11

4. Однородные уравнения. Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется однородным, если оно приводится к виду

(или к виду y′ = f (x, y) , где функция f (x, y) является однородной 0-го порядка, т.е. удовлетворяет условию f (λx,λy) = f (x, y) тождественно относительно x, y и λ > 0 ).

С помощью подстановки y = u x (при этом y′ = u′x + u ), где u = u(x) – новая

неизвестная функция, однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка приводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно функции u(x) . Най-

дя все решения этого уравнения и подставив в них u = xy , получим все решения данного

уравнения.

Замечание. Уравнение (6) является однородным, если функции M (x, y) и N (x, y)

M (λx,λy) = (λx)2 + 2(λy)2 = λ2 (x2 + 2 y2 ) = λ2 M ( x, y) , также и N (λx,λy) = λ2 N ( x, y) (или по другому – приведя уравнение к виду (2), разрешенному относительно производной:

разделяющимися переменными

x dudx =1 +uu2 .

Разделяем переменные:

и интегрируем:

ln(1 + u2 ) = 2 ln | x | +ln C

(произвольная постоянная для удобства потенцирования представлена в логарифмической форме). Отсюда

1 + u2 = Cx2 .

Возвращаясь к функции y ( u = xy ), получим общий интеграл: x2 + y2 = Cx4 , C > 0 ,

12

откуда можно выразить общее решение y = ±x Cx2 −1. Кроме этого, исходное уравнение имеет решение x = 0 , которое теряется при разрешении его относительно y′. От-

вет: y = ±x Cx2 −1 ( C > 0 ); x = 0 .4

Решить дифференциальные уравнения:

8.62. Найти функцию ϕ(t) , такую, чтобы общее решение уравнения xϕ( x y) = xy′− y имело вид y = lnxCx (C ≠ 0 ).

5. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли. Дифференциальное уравнение

1-го порядка называется линейным, если оно приводится к виду

Выберем функцию v(x) так, чтобы выражение в скобке обратилось в нуль, т.е. найдем любое ненулевое решение уравнения с разделяющимися переменными v′ = −a(x)v .

Подставляя эту функцию вместо v в уравнение (9), получаем уравнение с разделяющимися переменными относительно функции u(x) :

u′v(x) = b(x) .

13

Находим общее решение этого уравнения u = u(x) +C , после чего, перемножая найденные функции v(x) и u(x) +C , получаем общее решение исходного уравнения (8):

y = v(x)(u(x) +C) .

Пример 7. Решить уравнение

xy′ = cos x − y .

3Данное уравнение является линейным:

Подставляя v(x) в уравнение (*), получим:

ux′ = cosx x или dudx = cos x .

Общее решение этого уравнения:

u = sin x +C .

Перемножая теперь u и v, получаем общее решение исходного уравнения:

y = sin x +C .4 x

Аналогично линейному уравнению (с помощью подстановки y = u v ) решается

уравнение Бернулли:

y′+ a(x) y = b(x) yα , где α ≠ 0 , α ≠1

(при α = 0 это уравнение является линейным, а при α =1 – уравнением с разделяющимися переменными). Уравнение Бернулли можно свести к линейному с помощью подстановки z = y1−α . Заметим, что при α > 0 у уравнения Бернулли есть решение y = 0 .

14

Задачи повышенной сложности

Решить дифференциальные уравнения:

6. Особые решения. Уравнения Клеро. Решение или интеграл дифференциального уравнения F(x, y, y′) = 0 называется особым, если через любую точку соответ-

ствующей (особой) интегральной кривой проходит, кроме нее, еще и другая касающаяся ее интегральная кривая. Для уравнения y′ = f (x, y) , в частности, в каждой точке

особой интегральной кривой нарушается единственность решения задачи Коши. Если однопараметрическое семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, определяемое уравнением Φ(x, y,C) = 0 , имеет огибающую, то она является особой ин-

тегральной кривой, уравнения которой (явное или неявное) получаются путем исключения (если это возможно) параметра C из системы

(где Φ′C ( x, y,C) = ∂Φ∂C – частная производная по C функции Φ(x, y,C) ), либо путем ре-

шения этой системы относительно x и y (параметрические уравнения с параметром C). Пример 8. Решить уравнение y′ = 33 y2 .

3Данное уравнение – с разделяющимися переменными. Поэтому dydx = 33 y2 33dyy2 = dx 3 y = x +C

и y = (x +C)3 – его общее решение (т.е. семейство интегральных кривых состоит из кубических парабол). Имеется, однако, решение y = 0 , которое не может быть получе-

но из общего решения ни при каком значении C. Это решение в данном случае является особым, т. к. в каждой ее точке ось x (особая интегральная кривая) касается одной из парабол, входящих в семейство. Причина нарушения единственности решения задачи

Коши в точках оси x – нарушение непрерывности частной производной ∂∂fy = 32y в этих

точках (см. п. 2). Заметим, что решение y = 0 может быть получено в результате нахождения огибающей полученного семейства парабол, т.е. путем исключения параметра C из системы y = (x +C)3 , 0 = 3(x +C)2 . Ответ: y = (x +C)3 ; y = 0 .4

Примером дифференциального уравнения 1-го порядка, имеющим особые ре-

шения, является уравнение Клеро:

y = xy′+ϕ( y′) .

15

Его «общее» решение (уравнение однопараметрического семейства интегральных кривых) получается путем замены в нем y′ на символ C, т.е. имеет вид

Особая интегральная кривая, определяемая этой системой, является огибающей семейства прямых (11), т.е. это семейство состоит из ее касательных.

Пример 9. Решить уравнение

4 y + y′2 = 4( x +1) y′.

3Выражая отсюда y:

y = (x +1) y′− y4′2 или y = xy′+ y′− y4′2 ,

получаем, что данное уравнение есть уравнение Клеро. Следовательно, его общее решение имеет вид

y = Cx +C −C42 .

Для нахождения особого решения продифференцируем обе части этого равенства по C: 0 = x +1 −C2

и составим систему

Исключая отсюда C (из второго уравнения выражаем C = 2(x +1) и подставляем в пер-

Найти особое решение данного дифференциального уравнения, если известноуравнениеегооднопараметрическогосемействаинтегральныхкривых:

7. Смешанные задачи. Геометрические и физические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка.

16

Задача из геометрии о нахождении уравнения линии y = y(x) по заданному

свойству ее касательной или нормали сводится к решению дифференциального уравнения первого порядка, полученного в результате аналитической записи этого свойства в

терминахкоординатточки касания( x и y ) иуглового коэффициента( y′ или − y1′).

Пример 10. Найти уравнение линии, проходящей через точку (0, 2), если поверхность, образованная при вращении этой линии вокруг оси x (зеркало прожектора), отражает все лучи, выходящие из начала координат O, параллельно оси x (в положительном направлении).

3Пусть y = y(x) – уравнение искомой линии, M (x, y) – произвольная точка на ней, MA – нормаль в этой точке, A – точка пересечения нормали с осью x . Тогда, ввиду закона отражения из оптики, линия определяется свойством ее нормали: угол OMA между прямой OM и нормалью (угол падения) равен углу OAM между прямой x и нормалью (угол отражения), что эквивалентно равнобедренности треугольника AMO . Выразим равенство OA = OM через x , y и y′. Уравнениенормалив точке M имеетвид:

Y − y = − y1′( X − x)

(здесь X и Y – текущие координаты нормали). Полагая в этом уравнении YA = 0 , находим X A = x + yy′. Таким образом, OA =| x + yy′| . Поскольку OM = x2 + y2 , то получаем равенство | x + yy′|= x2 + y2 , представляющее собой дифференциальное уравнение 1-го порядка, которому удовлетворяет искомая функция y = y(x) . Уравнение при-

т.е. является однородным. Решая его (с помощью подстановки y = ux ), найдем общий интеграл:

y2 = C2 + 2Cx .

Таким образом, зеркало прожектора, отражающее лучи из точечного источника параллельным пучком, необходимо выполнять в форме параболоида вращения.

Для выделения линии, проходящей через данную точку, используем начальное условие y(0) = 2 , откуда C = 2 , и, следовательно, y = 2 1 + x – уравнениеискомойлинии.4

17

8.93. Найти и построить линию, проходящую через точку (12 , −1) и

обладающую следующим свойством: абсцисса точки пересечения касательной в произвольной точке линии с осью x равна квадрату абсциссы точки касания.

8.94. Найти и построить линию, проходящую через точку ( 5, 1) и

обладающую следующим свойством: отрезок нормали к ней в произвольной точке M, заключенный между осями координат, делится точкой M пополам.

8.95.Найти уравнение линии, проходящей через точку (1, 2) и обладающей следующим свойством: произведение абсциссы произвольной точки M линии на абсциссу точки A пересечения нормали MA с осью x равно удвоенному квадрату расстояния от начала координат до точки M.

8.96.Найти уравнение линии, проходящей через точку (12 ,7 4) , если

площадь трапеции, образованной касательной к ней в произвольной точке первой четверти, положительными полуосями координат и ординатой точки касания постоянна и равна 32 .

При составлении дифференциальных уравнений 1-го порядка в задачах физического характера либо используются соответствующие физические законы, связывающие производную процесса как скорость его протекания с самим процессом и независимой переменной (обычно временем) (примером служит второй закон Ньютона

dtd (mv) = F(t, v) для прямолинейного и dtd (Iω) = M (t, ω) для вращательного движения

соответственно), либо применяется метод дифференциалов, согласно которому приближенные соотношения между малыми приращениями переменных величин, полученные при отбрасывании бесконечно малых высших порядков, заменяются точными соотношениями между их дифференциалами.

Пример 11. В помещении цеха вместимостью 10800 м3 воздух содержит 0,12% углекислоты. Вентиляторы доставляют свежий воздух, содержащий 0,04% углекислоты, со скоростью 1500 м3/мин. Предполагая, что углекислота распределяется по помещению равномерно в каждый момент времени, найти процентное содержание углекислоты через 10 мин после начала работы вентиляторов.

3Пусть x = x(t) – процентное содержание углекислоты через t мин после начала

работы вентиляторов, x + x – в момент времени t + t . За малый промежуток времени t вместе со свежим воздухом в помещение поступило 1500 t 0,04% углекислоты и приблизительно (с точностью до o( t) ) 1500 t x% углекислоты удалено вместе с воздухомпомещения(воздухиз помещения цеха удаляетсястойжескоростью). Такимобразом

x ≈1500 t 0,04 −1500 t x . 10800

Заменяя приращения x и t дифференциалами, получаем дифференциальное уравнение 1-го порядка (с разделяющимися переменными)

36dx = 5(0,04 − x)dt .

18

Его общее решение x = 0,04 +Ce−365 t . Используя начальное условие x(0) = 0,12 , находим C = 0,08 и, следовательно, зависимость процентного содержания углекислоты в воздухе цеха от времени имеет вид:

x = 0,04(1 + 2e−365 t ) .

Отсюда при t =10 получаем x ≈ 0,06% .4

8.97.Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости (момент сил трения), пропорционально угловой скорости вращения. Начав вращение со скоростью 5 об/c, по истечении двух минут диск вращается со скоростью 3 об/c. Через какое время от начала движения его угловая скорость уменьшится до 1 об/c?

8.98.Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей его среды (закон Ньютона). Через какое время температура тела, нагретого до 100°C, понизится до 25°C, если температура помещения равна 20°C и за первые 10 мин тело охладилось до 60°C?

8.99.В дне котла, имеющего форму полушара радиусом R = 43 см, образовалась пробоина площадью S = 0,2 см2. Через какое время вода, наполняющая котел, вытечет из него? (По закону Торричелли вода вытекает

из сосуда через малое отверстие со скоростью v = 0,6 2gh , где h – высота

уровня воды над отверстием, g = 9,81 м/c2 – ускорение свободного падения). 8.100. Пуля, двигаясь со скоростью v0 = 400 м/с, пробивает стену толщиной h = 20 см и вылетает, имея скорость v1 =100 м/с. Полагая силу сопротивления стены пропорциональной квадрату скорости движения пу-

ли, найти время прохождения пули через стену.

§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков

1. Основные понятия. Дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид:

числа (начальные значения).

Задача отыскания решения уравнения (1), удовлетворяющего заданным начальным условиям (2), называется задачей Коши для этого уравнения.

19

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши для уравне-

ния (1)). Если функция f ( x, y, y′, …, y(n−1) ) непрерывна вместе с частными производными ∂∂fy , ∂∂yf′,…, ∂y∂(nf−1) в некоторой области D Rn+1 , то для любой точки

(x0 , y0 , y0′, …, y0(n−1) ) D задача Коши для дифференциального уравнения (1) с начальными условиями (2) имеет и притом единственное решение.

Функция y = ϕ(x,C1,C2 , …,Cn ) называется общим решением уравнения (1), если: 1) при любых допустимых значениях параметров C1,C2 , …,Cn она является ре-

шением этого уравнения; 2) любое его частное решение (кроме, быть может, отдельных решений) пред-

ставимо в виде y = ϕ(x,C1,C2 , …,Cn ) при некоторых значениях параметров (т.е. для любой точки (x0 , y0 , y0′, …, y0(n−1) ) D (см. теорему) найдутся такие значения параметровC1,C2 , …,Cn , что функция y = ϕ(x,C1,C2 , …,Cn ) будет удовлетворять начальным условиям (2)).

Уравнение Φ(x, y,C1, …,Cn ) = 0 , определяющее общее решение уравнения (1) неявно, называют общим интегралом этого уравнения.

Пример 1. Показать, что функция y = C1ex +C2e−x является общим решением уравнения y′′− y = 0 . Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 0 , y′(0) =1.

3Проверим выполнение условий из определения общего решения.

1)Число произвольных постоянных в данной функции равно 2, что совпадает с порядком уравнения.

2)При любых значениях C1 и C2 эта функция является решением уравнения:

y = C1ex +C2e−x y′ = C1ex −C2e−x y′′ = C1ex +C2e−x ;

подставляя y′′ и y в уравнение, получим тождество:

C1ex + C2e−x − (C1ex + C2e−x ) = 0 0 = 0 x R. 3) Каковы бы ни были начальные значения x0 , y0 , y0′ , система уравнений

{y0 = C1ex0 +C2e−x0 , y0′ = C1ex0 −C2e−x0

имеет, притом единственное решение относительно C1 и C2 , т. к. ее определитель

Поскольку все условия определения общего решения выполнены, то данная функция является общим решением данного уравнения.

Для нахождения частного решения после подстановки начальных значений x = 0 , y = 0 и y′ =1 в общее решение и его производную получим систему

{0 = C1 +C2 ,

1 = C1 −C2 ,

откуда C1 = 12 , C2 = − 12 и, следовательно, искомое частное решение y = ex −2e−x .4

20

тем n-кратного интегрирования (при каждом интегрировании порядок уравнения по-

решение последнего уравнения, то, решая уравнение с разделяющимися переменными

21

Пример 3. Найти частное решение уравнения y′y′′ = y2 , удовлетворяющее начальным условиям y(0) = y′(0) = −1 .

3Уравнение 2-го порядка и не содержит x. Положим y′ = p( y) ; тогда y′′ = p dpdy

и уравнение принимает вид p2 dpdy = y2 . Это уравнение с разделяющимися переменны-

ми. Разделяя переменные и интегрируя, найдем его общий интеграл p3 = y3 +C1 . Используя начальные значения y = −1, y′ = p = −1 (при x = 0 ), получим C1 = 0 . Следовательно, y′ = y . Решая это уравнение с разделяющимися переменными, найдем его общее решение y = C2ex , а из условия y(0) = −1 следует C2 = −1 . Итак, искомое частное решение есть y = −ex .4

Решить дифференциальные уравнения:

Задачи повышенной сложности

Решить дифференциальные уравнения:

22

8.137. Тело, находящееся от центра Земли на расстоянии H, падает на Землю из состояния покоя под действием силы притяжения с ускорением, обратно пропорциональным квадрату его расстояния от центра Земли (закон Ньютона). Радиус Земли равен R, ускорение на поверхности равно g. Пренебрегая сопротивлением атмосферы, определить, через сколько времени оно упадет на Землю.

8.138. Тело массой m движется прямолинейно под действием постоянной силы F. Найти скорость движения тела и пройденный им путь как функции времени, если в начальный момент они оба равны нулю, а сопротивление среды пропорционально квадрату скорости с коэффициентом пропорциональности k.

3. Линейные уравнения. Линейным дифференциальным уравнением n-го поряд-

ка называется уравнение вида

где коэффициенты a1( x), a2 ( x), …, an ( x) , а также правая часть b(x) предполагаются

непрерывными функциями на некотором интервале I. Все решения этого уравнения определены на интервале I.

Если b(x) = 0 x I , то уравнение (3) имеет вид

и называется однородным; в противном случае уравнение (3) называется неоднородным. Множество решений однородного линейного дифференциального уравнения

(о.л.д.у.) обладает следующими свойствами:

1) если y1(x) и y2 (x) – какие-нибудь два решения уравнения (4), то их сумма y1 + y2 также есть решение этого уравнения;

2) если y(x) – какое-нибудь решение уравнения (4) и C – любое число, то их произведение Cy также есть решение этого уравнения.

Совокупность (система) из m функций y1( x), y2 ( x), …, ym ( x) называется линейно зависимой на интервале I, если существуют числа α1, α2 ,…, αm , не все равные нулю

и такие, что

α1 y1 + α2 y2 +…+ αm ym = 0 x I ;

если же это равенство возможно только в случае α1 = α2 =…= αm = 0 , то система на-

23

Если хотя бы в одной точке x0 I имеем W (x0 ) ≠ 0 , то система функций линейно неза-

висима на I.

Всякая система из n линейно независимых решений о.л.д.у. n-го порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения. Справедлива

Теорема (о структуре общего решения о.л.д.у.). Если y1, y2 , …, yn – какая-

нибудь фундаментальная система решений уравнения (4), то его общее решение имеет вид:

y = C1 y1 +C2 y2 + … +Cn yn ,