№1. Свойства рациональных чисел.

 Упорядоченность. Для любых рациональных чисел исуществует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёхотношений: «», «» или «». Это правило называетсяправилом упорядочения и формулируется следующим образом: два положительных числа исвязаны тем же отношением, что и два целых числаи; два неположительных числаисвязаны тем же отношением, что и два неотрицательных числаи; если же вдругнеотрицательно, а— отрицательно, то.

Суммирование дробей

 Операция сложения. Для любых рациональных чисел исуществует так называемоеправило суммирования, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число . При этом само числоназываетсясуммой чисел ии обозначается, а процесс отыскания такого числа называетсясуммированием. Правило суммирования имеет следующий вид: .

 Операция умножения. Для любых рациональных чисел исуществует так называемоеправило умножения, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число . При этом само числоназываетсяпроизведением чисел ии обозначается, а процесс отыскания такого числа также называетсяумножением. Правило умножения имеет следующий вид: .

 Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел ,иеслименьшеименьше, томеньше, а еслиравноиравно, торавно.

 Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.

 Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.

 Наличие нуля. Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.

 Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.

 Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.

 Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.

 Наличие единицы. Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.

 Наличие обратных чисел. Любое ненулевое рациональное число имеет обратное рациональное число, умножение на которое даёт 1.

 Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:

 Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число.

 Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножать на одно и то же положительное рациональное число.

 Аксиома Архимеда. Каково бы ни было рациональное число , можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт.

№2. Модуль действительного числа.

Определение. Модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число: | х | = х; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: I х | = - х.

Короче это записывают так:

№3.

2. Геометрический смысл модуля действительного числа

Вернемся к множеству R действительных чисел и его геометрической модели — числовой прямой. Отметим на прямой две точки а и b (два действительных числа а и b), обозначим через (a, b) расстояние между точками а и b ( — буква греческого алфавита «ро»). Это расстояние равно b - а, если b > а (рис. 101), оно равно а - b, если а > b (рис. 102), наконец, оно равно нулю, если а = b. 

Все три случая охватываются одной формулой: 

б) Уравнение | х + 3,2 | = 2 перепишем в виде | х - (— 3,2) | = 2 и далее (х, - 3,2) = 2. На координатной прямой есть две точки, которые удалены от точки - 3,2 на расстояние, равное 2. Это — точки - 5,2 и - 1,2 (рис. 104). Значит, уравнение имеет два корня: -5,2 и - 1,2. 

№4. МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 

Объединение множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел называется множеством действительных (или вещественных) чисел.  Множество действительных чисел обозначается символом R.  Очевидно, .  

Действительные числа изображаются на числовой оси Ох точками (рис.).    При этом каждому  действительному числу соответствует определенная точка числовой оси и каждой точке оси  соответствует определенное действительное число.   

Поэтому вместо слов «действительное число»  можно говорить «точка».  

№5. Числовые промежутки.

Вид  промежутка	Геометрические изображения	Обозначение	Запись  с помощью неравенств
Интервал		(a; b)
Отрезок		[a; b]
Полуинтер- вал		(a; b]
Полуинтер- вал		[a; b)
Луч
Луч
Открытый луч
Открытый луч

№6. Числовая функция.

Пусть задано числовое множество Если каждому числупоставлено в соответствие единственное числоy, то говорят, что на множестве D задана числоваяфункция: 

y = f (x),

Множество D называется областью определения функции и обозначается D (f (x)). Множество, состоящее из всех элементов f (x), где называетсяобластью значений функции и обозначается E (f (x)).

Число x часто называют аргументом функции или независимой переменной, а число y – зависимой переменной или, собственно, функцией переменной x. Число соответствующее значениюназываютзначением функции в точке и обозначаютили

Для того чтобы задать функцию f, нужно указать:

1) ее область определения D (f (x));

2) указать правило f, по которому каждому значению ставится в соответствие некоторое значениеy = f (x).

№7. Обратная функция,

Обратная функция

 

 

Если поменять ролями аргумент и функцию, то  x  станет функцией от  y. В этом случае говорят о новой функции, называемой обратной функцией.Предположим, мы имеем функцию:

 

v = u ² ,

 

где  u - аргумент, a  v - функция. Если поменять их ролями, то мы получим  u  как функцию  v :

Если обозначить аргумент в обеих функциях через  x , а функцию – через   y,  то мы имеем две функции:

каждая из которых является обратной по отношению к другой.

 

П р и м е р ы .  Эти функции являются обратными друг к другу:

                        

1)  sin x  и  Arcsin x,  так как, если  y = sin x,  то   x = Arcsin y;

2)  cos x  и  Arccos x,  так как, если  y = cos x,  то  x = Arccos y;

3)  tan x  и  Arctan x,  так как, если  y = tan x,  то   x = Arctan y;

4)  e^x  и  ln x,  так как, если  y = e^x ,  то  x = ln y.

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

• аркси́нус (обозначение: arcsin)

• аркко́синус (обозначение: arccos)

• аркта́нгенс (обозначение: arctg; в иностранной литературе arctan)

• арккота́нгенс (обозначение: arcctg; в иностранной литературе arccotan)

• арксе́канс (обозначение: arcsec)

• арккосе́канс (обозначение: arccosec; в иностранной литературе arccsc)

№8. Основные элементарные функции. Элементарные функции

1. постоянная ;

2. степенная,задано;

3. показательная;

4. логарифмическая;

5. тригонометрические ;

6. обратные тригонометрические;

 

Стоит отметить, что обратные тригонометрические функции являются многозначными (бесконечно значимыми), при действиях с ними используются так называемые главные значения.

№9. Комплексные числа 

 записываются в виде:  a+ bi. Здесь  a и  b – действительные числа, а  i – мнимая единица, т.e.  i ² = –1. Число  a называетсяабсциссой, a  b – ординатой комплексного числа  a+ bi. Два комплексных числа  a+ bi и  a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Действительные числа можно изобразить точками прямой линии, как показано на рисунке, где точка A изображает число 4, а точка B число -5. Эти же числа можно изображать также отрезками OA, OB, учитывая не только их длину, но и направление.

Каждая точка M числовой прямой изображает некоторое действительное число (рациональное, если отрезок OM соизмерим с единицей длины, и иррациональное если несоизмерим). Таким образом, на числовой прямой не остается места для комплексных чисел.

Но комплексные числа можно изображать на числовой плоскости. Для этого мы выбираем на плоскости прямоугольную систему координат, с одинаковым масштабом на обеих осях.

Комплексное число a + b·iизображается точкой M, у которой абсцисса x равна абсциссеaкомплексного числа, а ордината y равна ординатеb комплексного числа.

№10.