Основы научных исследований в горном деле

∑n (yi − y)2

где yi − значения измеряемой величины; n – число измерений.

Дисперсия характеризует однородность измерений (чем большеσ , тем выше разброс измерений).

Для сравнения (изменчивости) признака различных рядов используют коэффициент вариации v (чем выше v, тем больше изменчивость измерений относительно среднего значения)

истинного значения измеряемой величины yi можно оценить ме-

тодом доверительных интервалов.

Доверительным называется интервал значений yi , в кото-

рый попадает истинное значение y измеряемой величины с заданной вероятностью Р.

Доверительной вероятностью Р (достоверностью) измерений называется вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал. Для определения доверительных интервалов используются следующие формулы [4, 23]:

Определение доверительного интервала по формулам (5.6, 5.7) осуществляется следующим образом:

81

Задаемся требуемой достоверностью результатов измерений (для большинства задач горной науки достаточной является доверительная вероятность Р =0,9 ). Затем определяем верхний предел интеграла (5,7). Этот интеграл, как функция верхнего предела. называется интегральной функцией Лапласа Ф( t ). Надеж-

ность В определяем из равенства В = Ф( t ). Значения надежности

для некоторых значений коэффициента t приведены в таблице

5.1.

Таблица 5.1 – Значения надежности В для некоторых значений t

После определения величины t и с использованием статистических значений y и σ , вычисленных ранее по формулам

(5.2, 5.4), определяем доверительный интервал для истинного значения параметра y.

5.2.4 Отсев грубых ошибок. Наиболее простой способ отсева статистических измерений – «Правило трёх сигм» (разброс случайных величин от их среднего значения не должен превышать 3σ ). Порядок расчета состоит в следующем [23]:

− определяются значения y и σ результатов измерений по ранее приведенным формулам (5.2, 5.4);

Величины, находящиеся за приделами интеграла (ymin − ymax ), исключаются из совокупности измерений и обра-

ботка результатов производится повторно.

5.2.5 Определение минимального количества изменений

(опытов). Необходимое, но достаточное число измерений (опытов) рекомендуется определять в следующей последовательности

[13, 20, 23]:

−задаются требуемой точностью измерений (δ ,% ) (она не должна превышать точности приборов) и необходимой достоверностью (Р) определения измеряемого параметра для исследований в горном деле (например, δ =10 %; Р = 0,9)

−проводятся предварительные замеры (опыты) с их небольшим количеством (n);

−вычисляется среднеквадратичное отключение (σ ) и коэффициент вариации (ν ) по формулам (5.4, 5.5);

−по формуле (5.7) вычисляется или по таблице 5.1 принимается величина t (например, при Р = 0,9;t = 1,65 );

−минимальное число замеров (опытов, наблюдений) определяется на основе математической статистики по формуле

Проверка достаточности (nдост) количества измерений (опытов) производится по методике М.М. Протодъяконова

Пример

Определить необходимое и достаточное количество опытов при следующих исходных данных:

83

1. Определяем среднее значение выборки по формуле

3.Определяем коэффициент вариации по формуле

υ= σy 100% =121,57,3 100% =12,76 % .

4.Необходимое и достаточное количество опытов определяем по формуле (при P = 0,9; y =1,65;δ =10 %)

принимаем n=5 опытов.

5.3 Подбор эмпирических формул

Для нахождения зависимостей между исследуемыми параметрами по экспериментальным данным строят графики. На оси абсцисс откладывают аргумент, а на оси ординат – функцию. Оси графика могут иметь линейную шкалу или логарифмическую в зависимости от диапазона величины и характера зависимости. Для наглядности на одном графике целесообразно располагать несколько кривых, соответствующих различным условиям опытов.

Для правильного построения графика, отражающего реальную связь между изучаемыми факторами необходимо:

а) правильно подобрать масштаб;

84

б) построить кривую по имеющимся на графике точкам с помощью лекал, линеек, угольников с соблюдением того, чтобы точки располагались либо непосредственно на кривой, либо равномерно по обе стороны от неё.

Для отыскания промежуточных точек используется метод интерполяции Лагранжа, а для сглаживания ломаной кривой – метод скользящего окна.

Масштаб считается правильно подобранным, если удовлетворяется условие [20]

где ∆x,∆y − ошибки в определении x и y; M X , M y − масштабы по

оси абсцисс и ординат.

Например, пусть ∆x =0,05;∆y =0,02. Произвольно принимаем, что M X =1 : 20 , тогда масштаб по оси ординат составит

Ломаная, проведенная через экспериментальные точки графика, называется эмпирической линией регрессии (рисунок 5.2)

1 – экспериментальные точки; 2 – эмпирическая линия регрессии; 3 – теоретическая линия регрессии Рисунок 5.2 – Пример построения экспериментальной

и теоретической регрессий

85

Тип эмпирической формулы устанавливают по виду кривой на графике и наиболее близкой к ней теоретический зависимости, соответствующей физико-химической модели процесса [22].

Характерными точками кривой являются граничные и средние значения.

Пригодность формулы определяют методом выравнивания (уравнение считается пригодным для полученной закономерности, если путем замены переменных в нем кривая преобразуется в прямую или близкую к ней). При обработке экспериментальных данных наиболее часто применяются основные виды уравнений (таблица 5.3).

Таблица 5.3 – Основные виды уравнений и координаты их преобразования в прямую

Наиболее простые виды уравнений приведены на рисунке 5.3

Выбрав наиболее пригодный тип эмпирической формулы, переходят к определению входящих в эту формулу коэффициентов.

86

Рисунок 5.3 − Основные виды уравнений, применяемых при обработке экспериментальных данных

При этом можно пользоваться одним из следующих мето-

дов:

−метод наименьших квадратов;

−метод натянутой нити (метод выбранных точек);

−метод средней (алгебраический).

Наилучшие параметры эмпирических уравнений определяют методом наименьших квадратов, суть которого заключается в

87

том, что сумма квадратов отклонений опытных данных от искомой линии регрессии должна быть минимальной [14, 23].

численная ордината по уравнению, описывающему процесс. Два других метода дают менее точные результаты, но более

простые.

Метод натянутой нити (метод выбранных точек) основан на геометрическом подборе прямой на глаз. Нанеся наблюденные значения на график, подбираем графически прямую ближе всего подходящую к наблюденным точкам. Выбрав две произвольные точки на этой прямой (не обязательно являющиеся наблюденными значениями), определяем их координаты ( x1, y1 ), ( x2 y2 ). Тогда для определения коэффициентов a и b получаем два простых уравнения:

Метод средней (алгебраический) не требует графического изображения экспериментальных данных и состоит в следующем: после того, как проведено выравнивание уравнения, т.е. преобразование его в прямолинейное ( y = a +bx), нормальная система

уравнения выражается в форме:

где n – число уравнений, равное числу фактических пар связи между y и x (число точек в вариационном ряду).

Система нормальных уравнений для криволинейной формы связи ( y = a +bx + cx2 ) записывается в следующем виде:

88

Для определения сумм, входящих в уравнения, составляем таблицу 5.4 (например, для решения системы из двух уравнений.

Таблица 5.4 – Исходные и вычисление значения для решения системы из двух уравнений

1

2

3

∑

Решая уравнения находим коэффициенты a и b и вычисляем среднюю ординату yx по уравнению связи y = a +bx. При этом

расчетная величина yx должна отличаться от фактической очень

незначительно. Соответствие полученной зависимости всему массиву опытных данных проверяется по величине их отклонений от расчетных значений во всем диапазоне измерений.

Ниже приведены примеры подбора эмпирических формул.

Пример 1

На основе экспериментальных данных получить эмпирическое уравнение и оценить её точность.

Имеются следующие экспериментальные данные:

Построим графическое изображение кривой согласно исходным данным:

89

3.Устанавливаем вид кривой и подбираем наиболее приемлемое математические уравнение с учетом физической сущности рассматриваемого явления y = a +bx.

4.Определяем пригодность формулы методом выравнива-

ния (для данного уравнения координаты прямолинейного преобразования: x; y, т.е. уравнение имеет вид прямой y = a +bx).

5.Нормальная система уравнений имеет вид

∑y = an +b∑x

∑yx = a∑x +b∑x2 ,

где n – число уравнений (число точек в вариационном ряду, т.е. n=5)

6. Для решения системы уравнений составляем таблицу:

Вычисленные значения сумм, входящих в уравнение

90