-
Дискретная двумерная случайная величина (продолжение).
Для двумерной дискретной случайной величины вводится функция распределения по формуле и означает геометрически попадание случайной точки в левый нижний квадрант, ограниченный горизонтальной и вертикальной прямыми, проходящими через точку плоскости . Визуально график функции распределения представляет собой «угловую лестницу с разновысокими ступенями, переходящую в плато, общей высотой 1».
Свойства аналогичны свойствам обычной функции распределения дискретной случайной величины.
Свойства
-
.
-
неубывающая функция по каждому аргументу, т.е. , если и , если .
-
(хотя бы один из аргументов равен «»).
-
Если один из аргументов равен «», то становится функцией распределения для второй составляющей: , т.к. . Аналогично . Здесь и − функции распределения составляющих и двумерной случайной величины .
-
, т.к. событие − достоверное.
-
Непрерывная двумерная случайная величина
Задается функцией распределения , которая является непрерывной и имеющей вторую смешанную производную почти всюду. Эта производная обозначается и называется плотностью вероятности двумерной случайной величины. (Обратите внимание, что эта функция вводится только для непрерывных случайных величин.) График плотности вероятности − поверхность в пространстве: «гора или горы, переходящие вдали от начала координат в равнину».
Свойства
-
.
-
Вероятность попадания случайной величины в область :
.
-
.
-
.
-
, т.к. ,
, т.к. .
Дифференцируя предыдущие равенства по и , получим
-
,
или , ,
где и − плотности вероятностей составляющих и двумерной случайной величины .
§ 11. Условные законы распределения
Для дискретных величин были введены условные вероятности по формулам
и .
Для непрерывных величин аналогично вводятся плотности для условных законов распределения
и .
Числовые характеристики составляющих и двумерной случайной величины можно найти по формулам
,
,
,
.
Аналогичные характеристики можно ввести и для условных распределений, например, условные математические ожидания
, .
Условное математическое ожидание будет функцией от :
, (1)
и наоборот, условное математическое ожидание будет функцией от:
. (2)
Функции (1) и (2) называются функциями регрессии: (1) − на , а (2) − на . Графики этих функций называются линиями регрессии или кривыми регрессии.
§ 12. Зависимые и независимые случайные величины
Определение. Случайные величины и называются независимыми, если условные законы любой из них совпадают с безусловными:
для дискретных случайных величин
, т.е. ,
для непрерывных
, т.е. .
Таким образом, плотность вероятности совместного распределения системы равна произведению плотностей распределения составляющих. Это условие является не только необходимым, но и достаточным для непрерывных случайных величин. Точнее, имеет место следующая теорема.
Теорема (критерий независимости случайных величин). Для того, чтобы случайные величины и были независимыми необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы была равна произведению функций распределения составляющих:
.
Кроме того, для непрерывных величин это условие равносильно следующему
.
(Доказательство см. в [1].)
Для независимых случайных величин , т.е. функция регрессии , , т.е. функция регрессии , а значит, линии регрессии −прямые, параллельные координатным осям.
Пример. Задана плотность вероятности совместного распределения системы
Найдем
.
.
Мы видим, что , т.е. случайные величины и являются независимыми.