2. Элементы функциональных рядов.

§ 1. Определение функционального ряда

Задание функционального ряда от некоторой переменной состоит в задании последовательности функций от этой переменной, являющимися членами функционального ряда. Другими словами, каждому натуральному числупо определённому закону ставится в соответствие некоторая функция. Множество этих функций, заданных на одном и том же множестве, которое являетсяобластью опре -деления этих функций: , называетсяфункциональной последовательностью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Выражение

(1)

называется функциональным рядом относительно перемен- ной .

Придавая в выражении (1) переменной различные фик- сированные числовые значения, будем получать числовые ря- ды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество всех значений переменных , при которых ряд окахывается сходящимся, называетсяоб- ластью сходимости функционального ряда.

ПРИМЕРЫ:

1. .

Данный ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем , который сходится при. Поэтому область сходимости данного ряда:.

2. .

Это обобщённый гпрмонический ряд, который сходится при . Поэтому множествопредставляет собой область

сходимости данного ряда.

Если некоторое число входит в область сходимостифункционального ряда, то есть смысл говорить о сумме функционального ряда в данной точке.

Частичной суммой ряда (1) в точке называется сумма вида:

, (2) а суммой ряда в данной точке называется предел частичных сумм: .

Таким образом, сумма функционального ряда (1) - это функция переменной , область определения которой совпа-

дает с областью сзодимости данного ряда.

Критерий Коши сходимости функционального ряда: Для того чтобы функциональный ряд (1) был сходящимся в области , необходимо и достаточно, чтобы для любогои любогоможно было бы найти номертакой, что для всехи для всех натуральныхвыполнялось бы неравенство:

. (3)

В частности, для остатка сходящегося в области ряда (1) из этого критерия приследует оценка:

, (4) в случае, если .

Сходящийся в области функциональный ряд называетсяравномерно сходящимся в данной области, если для любого

существует, не зависящий от , номер, та -кой, что для всехдля остатка ряда (1)

(5)

выполняется оценка для всех.

Для равномерной сходимости ряда (1) также имеет место критерий Коши, только в условии критерия номер не зависит оти неравенство (3) выполняется для всех.

Замечание. Равномерная сходимость функционального ряда равносильна равномерной сходимости его частичных сумм.

Проверка выполнения критерия Коши затруднительна даже для числовых рядов. Эффективный способ проверки равномер- ной сходимости функционального ряда представляет собой признак Вейерштрасса.

ТЕОРЕМА 1. (признак Вейерштрасса равномерной схо – димости). Если положительный числовой ряд сходит –ся и для всех членов функционального ряда(1) имеет место оценка:

для всех и всех, (6) то ряд (1) сходится равномерно в области. При этом ряд (1) называетсямажорируемым в области .

В самом деле, учитывая условия (6) и сходимость ряда

, получаем:

для и всех.

Это означает, что выполнен критерий Коши равномерной схо- димости и ряд (1) является равномерно сходящимся в об -ласти ..

ПРИМЕР. Проверить равномерную сходимость на отрезке ряда, используя признак Вейерштрасса.

Для всех и всехдля элементов данного ряда выполняется неравенство:

.

Исследуем ряд на сходимость по признаку Даламбера

Данный ряд сходится. Следовательн исходный ряд сходится равномерно.

ТЕОРЕМА 2. Пусть все члены функционального ряда (1)

определены и непрерывны на промежутке и сос- тавленный из них функциональный ряд равномерно сходится. Тогда сумма данного ряда - функция, непрерывная на том же промежутке.

Из непрерывности членов функционального ряда следует непрерывность каждой из её частичных сумм:

.

По условию, эта последовательность равномерно сходится на промежутке . Следовательно, сумма ряда - функ- циятакже непрерывна на этом промежутке.

Без доказательства приведём ещё две теоремы.

ТЕОРЕМА 3 (о почленном интегрировании рядов). Если функциональный ряд сходится равномерно на некотором промежуткеи его сум- ма равна, то для любого промежуткафункциональный ряд (относительно) из интегралов

также сходится равномерно на том же промежутке и его сумма равна (т.е. равномерно сходящиеся функци- ональные ряды можно почленно интегрировать).

ПРИМЕР. Рассмотрим функциональный ряд:

Данный ряд представляет собой геометрическую прогрессию, которая равномерно сходится при . Его сумма

.

После интегрирования получаем:

. (7)

ТЕОРЕМА 4 (о почленном дифференцировании рядов). Пусть ряд (1) сходится на промежутке, имеет суммуи его члены име- ют на этом промежутке непрерывные производные, причём составленный из этих производных ряд

(8)

равномерно сходится и его сумма равна .

Тогда ряд (1) также равномерно сходится на том же про- межутке и его производная его суммы равна сумме ряда (8):

, т.е. равномерно сходящиеся функциональные ряды можно почленно дифференцировать.

ПРИМЕР. Вспомним известное разложение в ряд функции:

, который, очевидно, сходится равномерно при . Тогда, применяя теорему, получим:

.