МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МАГНИТОГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Г.И. НОСОВА

Л.А. ИЗОСОВА

А.В. ИЗОСОВ

Л.А. ГРАЧЁВА

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЯДОВ

Утверждено Редакционно – издательским советом университета

в качестве учебного пособия

МАГНИТОГОРСК

2009

УДК 517.5

Изосова Л.А., Изосов А.В., Грачёва Л.А.

Элементы теории рядов. Учебн. пособие. –

Магнитогорск: МГТУ, 2009. – 111 с.

Рассмотрены основные признаки сходимости числовых поло- жительных и знакопеременных рядов .В разделе функцио- нальных рядов изложены условия сходимости и равномерной сходимости. Продемонстрированы основные прмложения сте -пенных рядов. В разделе: ряды Фурье представлены критерии разложимости функции в тригонометричкские ряды и приложения рядов Фурье. Приведено большое количество примеров, иллюстрирующих излагаемый материал, способству- ющих более глубокому его усвоению.

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ.

§ 1 Понятие числового ряда.

Пусть задана некоторая числовая последовательность . Формальная сумма элементов этой последователь –ности:

(1) называется числовым рядом. Число называетсяобщим элементом (общим членом) ряда, - егопорядковым но- мером.

Для каждого натурального числа элементов заданной последовательности можно составить конечную сумму

, (2)

которая называется частичной суммой раяда (1). Частичные суммы сами образуют числовую последовательность, которую можно исследовать на сходимость.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует конечный предел частич- ных сумм (2), то он называется суммой ряда (1), т.е.

(3) и при этом ряд (1) называется сходящимся. Если предел (3) не существует или бесконечнвй, то ряд (1) называется рас -ходящимся.

Рассмотрим несколько примеров применения определения сходимости ряда при исследовании рядов на сходимость.

1. . Для данного рядаи

. Следовательно, по определению, данный ряд расходится.

2. . Для данного ряда частичные суммы с чётными номерами, а частичные суммы с нечётными номерами. Так как сходящаяся последовательность не может иметь двух раз -личных пределов, то в данном случае последовательность частичных сумм не имеет предела и, следовательно, ряд расходится.

3. . Этот ряд представляет собой сумму геометрической прогрессии, для которой. Сумма геометрической прогрессии вычисляется по формуле, известной из школьного курса математики:

. В нашем случае

. . Получили конечный предел, поэтому, по определению, ряд сходится.

4. .

Общий член этого ряда можем записать в виде суммы элементарных дробей:

.

Отсюда получаем: , или, приравнивая коэффициенты при одинаковых степеняхв левой и правой частях равенства, получаем:. Сле –довательно,и.

Тогда частичная сумма данного ряда:

Тогда сумма ряда - конечное число и ряд сходится.

Так как сходимость ряда, по определению, эквивалентна сходимости последовательности частичных сумм, то для этой последовательности можно применить критерий Коши, кото -рый определяет необходимое и достаточное условие сходи –мости: последовательность сходится тогда и только тог -да, когда для любого числасуществует номер, начиная с которого (т.е. для всех) и для любого натурального числавыполняется неравенс- тво. Так как разность, стоящая под знаком модуля представляет собой разность двух конечных сумм вида (3) элементов ряда (1), то получаем необжодимый и достаточный признак сходимости ряда (1):

ТЕОРЕМА (критерий Коши для ряда) Для того чтобы ряд

сходился необходимо и достаточно, чтобы для любого нашелся номертакой, что для всехи любого натурального числавыполнялось неравенство:

. (4)

Обычно, при исследования рядов на сходимость, этим при- знаком не пользуются. Однако он имеет важные следствия.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Сумма элементов ряда (1) вида:

(5) называется - мостатком ряда (1).

Так как в неравенстве (4) число принимает любые натуральные значения, то получаем первое следствие критерия Коши.

СЛЕДСТВИЕ 1. Последовательность остатков ряда является бесконечно малой последовательностью.

СЛЕДСТВИЕ 2.. (Необходимый признак сходимости ряда)

Если ряд (1) сходится, то общий член этого ряда стремится к нулю, т.е..

Этот признак является необходимым, но не достаточным для сходимости ряда. В самом деле, рассмотрим так назы- ваемый гармонический ряд . Предел общего члена этого ряда,Однако сумма этого ряда бесконечна.

Докажем это, используя критерий Коши. Возьмём . Если бы ряд сходился, то, для заданного ,можно было бы найти номер такой, что для всех натуральныхвыполнялось бы неравенство:. Однако, придля всехполучаем следующее неравенство:

причём это неравенство выполняется для всех , т.е. не-равенство (4) из условия Коши не выполняется и ряд рас -ходится.

Необходимый признак сходимости чаще используется в другом виде:

Если , то ряд (1) расходится.

Например, ряд расходится, так как

СЛЕДСТВИЕ 3. Если сходится ряд (1), то сходится и ряд(2), и наоборот, из сходимости ряда (2) следу- ет сходимость ряда (1). Другими словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа первых слагаемых или добавление конечного числа слагаемых.

В самом деле, при отбрасывании или добавлении конеч -ного числа слагаемых в ряде (1) частичные суммы получен- ных рядов уменьшаются или увеличиваются на конечное число и, в резкльтате, предел остаётся конечным.

В заключение параграфа приведём ещё алгебраические свойства сходящихся рядов:

1. Если сходится ряд и его сумма равна, то сходится и ряди его сумма равна.

2. Если идва сходящихся ряда, то

сходятся и ряды и суммы их равны, соот- ветственно.