Системы счисления

"Все есть число", - говорили пифагорийцы, подчеркивая важную роль чисел в практической деятельности.

Известно много способов представления чисел. В любом случае число изображается группой символов (словом) некоторого алфавита. Будем называть такие символы цифрами, символические изображения чисел – кодами, а правила получения кодов – системами счисления.

Система счисления – это способ записи чисел цифровыми знаками.

Можно выделить несколько групп систем счисления:

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

АНАТОМИЧЕСКОГО ПРОИСХОЖДЕНИЯ АЛФАВИТНЫЕ ПРОЧИЕ МАШИННЫЕ

Десятичная Славянская Римская Двоичная

Пятеричная Древнеармянская Вавилонская Восьмеричная

Двенадцатеричная Древнегрузинская Шестнадцатеричная

Двадцатеричная Древнегреческая

(ионическая)

Десятичная система счисления является наиболее распространенной. Исторически она сложилась и развивалась в Индии. Европейцы заимствовали индийскую систему счисления у арабов, назвав её арабской. Возникновение и развитие десятичной системы счисления явилось одним из важнейших достижений человеческой мысли (наряду с появлением письменности). Но в разные исторические периоды многие народы использовали другие системы счисления.

Пятеричная система счисления была распространена в Китае и Африке. У ацтеков и майя, создавших на Американском континенте высочайшую культуру, в том числе и математическую, была принята двадцатеричная система. В Древнем Вавилоне существовала шестидесятеричная система. Отголоски использования этой системы дошли до наших дней, например, 1 час = 60 минутам. В Древнем Риме появилась система счисления, названная римской, используемая в настоящее время в литературе (нумерация глав), в декоративных целях, например на циферблате часов.

Перед математиками и конструкторами в 50-х гг. встала проблема отыскания таких систем счисления, которые отвечали бы требованиям, как разработчиков ЭВМ, так и создателей программного обеспечения. Одним из итогов этих исследований стало изменение представлений о системах счисления и о методах вычислений. Специалисты выделили так называемую "машинную" группу систем счисления и разработали способы преобразования чисел этой группы. Официально рождение двоичной арифметики связано с именем великого немецкого ученого Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой рассматривал правила выполнения арифметических действий с двоичными числами.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

Непозиционной называется такая система счисления, в которой значение каждой цифры не зависит от её положения (места, позиции) в коде числа. Такой системой является римская система счисления. В ней цифры обозначаются буквами латинского алфавита, а для записи промежуточного числа используют правило: меньшие знаки, поставленные справа от большего, прибавляются к его значению, а меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. Например, IV (4 = 5 – 1), VI (6 = 5+1).

Позиционной называется такая система счисления, в которой значение цифры зависит от её места (позиции) в коде числа. Основные достоинства любой позиционной системы счисления – простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любого числа. Она удобна и для механического представления числа, например, на счетах. Позиционной является десятичная система счисления. Так в числе 55 правая цифра 5 обозначает пять единиц, а левая – пять десятков. Особую роль в десятичной системе счисления играет число десять и его степени: 10,100,1000,…Так как 1000 = 10³, 100 = 10², 10 = 10¹, то число 1985 можно записать: 1985 = 110³+ 910²+ 810¹ + 510⁰. Число 10 называют основанием системы счисления.

Основанием (базисом) позиционной системы счисления называется количество символов (цифр), используемых для изображения числа в данной системе счисления. Наименование системы счисления соответствует её основанию (десятичная, двоичная и т.д.).

Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания. Например: 555,55₁₀ = 510² + 510¹ + 510⁰ + 510^-1 + 510^-2

Вобщем виде:

a_i – любая цифра из основания системы

i – занимаемая позиция (разряд)

n – количество цифр в числе.

Записать число X в p-ичной системе счисления – это значит записать его в виде:

X = a_npⁿ + a_n-1p^n-1 + … + a₀p⁰ +a_n-1p^-1 + …+ a_mp^-m, где каждый из коэффициентов-цифр a_i может быть 0,1,2,…,p-1, причем старшая цифра a_n ненулевая.

Взяв основание равным 2, получаем систему всего с двумя цифрами 0 и 1. В этом случае:

X₂ = a_n2ⁿ +a_n-12^n-1 + … + a₀2⁰

Например: X = 12² + 02¹ + 12⁰ или X = 101

Основные свойства позиционной системы:

- количество различных цифр равно основанию системы счисления;

- наибольшее значение цифры всегда на единицу меньше основания системы счисления;

- значение цифры вычисляется умножением на основание системы счисления в степени, соответствующей занимаемой позиции.

Основание	Название	Алфавит
n = 2	Двоичная	0,1
n = 3	Троичная	0,1,2
n = 8	Восьмеричная	0,1,2,3,4,5,6,7
n = 16	Шестнадцатеричная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F