- •Теории вероятностей
- •1. Вероятность события. Непосредственный подсчет вероятностей
- •2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •Теорема умножения вероятностей
- •3. Формула полной вероятности. Формула байеса
- •4. Повторные испытания. Формула бернулли. Асимптотические формулы (пуассона и муавра – лапласа)
- •5. Случайные величины. Способы их задания
- •6. Числовые характеристики случайной величины
- •7. Равномерное распределение
- •8. Показательное распределение
- •9. Нормальное распределение
- •Математической статистике
- •1. Вариационный ряд. Статистические распределения. Эмпирическая функция распределения. Графическое представление статистических распределений
- •2. Выборочные характеристики статистических распределений
- •3. Точечные и интервальные оценки параметров распределения
- •4. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности
- •5. Парная линейная корреляционная зависимость. Парный линейный коэффициент корреляции, проверка его значимости. Линейное уравнение регрессии
- •6. Простейшие случаи парной нелинейной корреляционной зависимости. Корреляционное отношение. Нелинейное уравнение регрессии
- •7. Множественный корреляционно-регрессионный анализ
5. Случайные величины. Способы их задания
Случайная величина – это переменная величина, которая принимает различные значения в зависимости от случайных обстоятельств с определенными вероятностями для каждого значения. Случайные величины бывают дискретные и непрерывные.
Случайная величина X считается заданной, если известен закон ее распределения, под которым понимают определенное соотношение между значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями ( ).
Закон распределения может быть задан:
а) таблично, с указанием всех значений случайной величины и соответствующих им вероятностей, причем сумма всех вероятностей равна единице, то есть
;
б) аналитически, с помощью интегральной функции (функции распределения вероятностей) и/или дифференциальной функции (плотности распределения вероятностей) ;
в) графически, в виде графиков интегральной (для дискретной и непрерывной случайных величин) и/или дифференциальной (для непрерывной случайной величины) функций или в виде полигона (для дискретной случайной величины).
Интегральная функция может быть выражена через дифференциальную:
. (19)
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал ( ) рассчитывается по одной из следующих формул:
; (20)
. (21)
6. Числовые характеристики случайной величины
Основными числовыми характеристиками случайной величины X являются математическое ожидание , дисперсия D(X), среднее квадратическое отклонение .
Математическое ожидание случайной величины – это среднее значение случайной величины, взвешенное по вероятностям.
Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле:
, так как ,то есть .
Для непрерывной случайной величины:
. (23)
Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, то есть
D(X)= .
Преобразуем это выражение, используя свойства математического ожидания, получим D(X) = , то есть дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата случайной величины без квадрата ее математического ожидания. Итак:
D(X) = – для дискретной случайной величины; (24)
D(X) = – для непрерывной случайной величины; (25)
D(X) = – для любой случайной величины. (26)
Средним квадратическим отклонением случайной величины называют арифметическое значение квадратного корня из ее дисперсии, то есть
.
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение характеризуют вариацию (колеблемость) значений случайной величины около ее среднего значения. Так, показывает, на сколько в среднем отклоняются значения случайной величины от ее математического ожидания.
Обобщением основных числовых характеристик случайной величины является понятие моментов случайной величины.
Начальным моментом k-го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины : .
Начальный момент дискретной случайной величины: .
Начальный момент непрерывной случайной величины: .
Центральным моментом k-го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины : .
Центральный момент дискретной случайной величины: .
Центральный момент непрерывной случайной вел-ны: .
Начальный момент первого порядка представляет собой математическое ожидание, а центральный момент второго порядка – дисперсию случайной величины.
Нормированный центральный момент третьего порядка служит характеристикой «скошенности» или асимметрии распределения (коэффициент асимметрии):
.
Нормированный центральный момент четвертого порядка служит характеристикой «островершинности» или «плосковершинности» распределения (коэффициент эксцесса):
.
Величины А и Е характеризуют степень отличия функции распределения от функции распределения стандартного нормального распределения, для которого коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю: . Левосторонняя асимметрия: , правосторонняя асимметрия: . Если , то кривая плотности распределения имеет более плоскую вершину, чем кривая плотности нормального распределения.
Пусть - абсолютно непрерывное распределение. Число есть квантиль уровня распределения , если .
Введем понятие различных операций над случайными величинами.
Пусть имеются две случайные величины X и Y, заданные следующими законами распределения:
xi |
x1 |
x2 |
… |
xi |
… |
xn |
|
yj |
y1 |
y2 |
… |
yj |
… |
yk |
|
pi |
p1 |
p2 |
… |
рi |
… |
pn |
; |
p’j |
p’1 |
p’2 |
… |
р’j |
… |
p’k |
; |
причем
Случайной величиной называют такую случайную величину, возможные значения которой равны - й степени значений случайной величины X, а соответствующие вероятности не изменяются. Закон распределения случайной величины Z будет иметь вид:
|
|
|
… |
|
… |
|
|
pi |
p1 |
p2 |
… |
рi |
… |
pn |
, |
Суммой (разностью, произведением) случайных величин X и Y называют случайную величину Z , возможные значения которой равны соответственно сумме (разности, произведению) каждого значения случайной величины X с каждым значением случайной величины Y, а соответствующие вероятности перемножаются.
Например, закон распределения случайной величины Z = X + Y имеет вид:
zi |
|
|
… |
|
|
… |
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
|
… |
|
… |
|
; |
причем