3. Формула полной вероятности. Формула байеса
Вероятность
наступления события
с одним из событий
,
,...,
,
образующих полную группу событий, равна
сумме произведений вероятностей каждого
из событий
на соответствующую условную вероятность
события
,
то есть
(13)
Эта формула
называется формулой
полной вероятности.
События
называют гипотезами. Предположим, что
событие
уже наступило. Требуется определить
вероятность того, что событие
наступило при осуществлении, например,
гипотезы
,
то есть найти
.
Эта вероятность вычисляется по формуле
Байеса (по
формуле гипотез):
.
(14)
4. Повторные испытания. Формула бернулли. Асимптотические формулы (пуассона и муавра – лапласа)
При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и то же испытание повторяется многократно. Например, стрелок, не сходя с места, каждый раз тщательно прицеливаясь, производит несколько выстрелов по мишени, или контролер берет наудачу несколько деталей. В результате этих повторных испытаний некоторое событие может наступить k раз, а может вообще не наступить.
Испытания называются независимыми относительно события , если вероятность наступления события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний. Будем рассматривать только такие испытания, в которых событие A имеет одну и ту же вероятность.
Пусть проводится
независимых испытаний, в каждом из
которых событие A
может наступить с вероятностью
одинаковой при каждом испытании, или
не наступить (событие
)
с вероятностью q = 1 – p.
Тогда вероятность того, что событие
наступит
раз, можно найти по формуле Бернулли:
. (15)
Вероятности
изменяются с изменением
,
а именно: с возрастанием
от 0 до
вероятности
вначале растут до некоторого момента,
а затем начинают убывать. Частота
наступления события
,
которой соответствует наибольшая
вероятность
,
называется наивероятнейшей
частотой и
обозначается
,
то есть
Решая эти неравенства относительно , получаем
(16)
При достаточно большом числе испытаний = .
Если по отношению
к событию
проводится большое число испытаний, то
вычисление вероятности
по формуле Бернулли становится громоздким.
В этом случае для вычисления
применяются асимптотические (приближенные)
формулы. Одна из таких формул вытекает
из теоремы
Муавра – Лапласа.
,
где
(17)
Значения функции
табулированы (см. прил. 1). Следует помнить,
что функция
четная, то есть
.
Если число независимых испытаний , проводимых по отношению к событию , неограниченно возрастает, а вероятность при каждом испытании неограниченно убывает ( 0), то есть событие – маловероятное, при этом – величина небольшая, то вероятность , вычисленная по формуле (17), получается с большой погрешностью. В этом случае применяется другая асимптотическая формула, вытекающая из теоремы Пуассона:
где
(18)
Обычно эту формулу
применяют, когда
100,
a
10.
Функция Пуассона табулирована при
различных значениях
и
(см. прил. 3).