ЛЕКЦИИ
ПО
Теории вероятностей
1. Вероятность события. Непосредственный подсчет вероятностей
Событие – всякий возможный факт, о котором можно сказать, наступит он или нет при определенном комплексе условий.
Вероятность события есть числовая мера объективной возможности наступления этого события.
В классической
модели вероятность
любого события
есть отношение
числа благоприятствующих
событию исходов
к общему числу
всех равновозможных, единственно
возможных и несовместных исходов
,
то есть
.
(1)
Для любого события
Вероятность события , рассчитанная по формуле (1), называется классической или математической.
Если нарушаются условия, определяющие классическую модель, то пользоваться классической формулой нельзя. В этом случае находят статистическую вероятность или относительную частоту (частость) события:
(2)
где
– число испытаний, проведенных по
отношению к событию
;
– частота наступления события
при этих испытаниях.
При достаточно большом числе испытаний статистическая вероятность как угодно мало отличается от математической. Это свойство статистической вероятности называют устойчивостью частот.
Вычисление вероятности события по формуле (1) называют непосредственным. При этом часто пользуются известными из комбинаторики формулами для перестановок, размещений, сочетаний.
Перестановками из элементов называют совокупности по элементов, отличающиеся друг от друга только порядком элементов. Число перестановок рассчитывают по формуле
(3)
Размещениями из элементов по называют совокупности по элементов, отличающиеся одна от другой либо порядком элементов, либо хотя бы одним элементом. Число размещений рассчитывают по формуле
(4)
Сочетаниями из элементов по называют совокупности по элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Число сочетаний рассчитывают по формуле
. (5)
Известно, что
2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Вероятность наступления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий, то есть
. (6)
Следствие. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу событий, равна единице, то есть
,
(7)
где
– полная группа событий.
Событие, состоящее
в ненаступлении события
,
называется противоположным
и обозначается
.
События
и
образуют полную группу событий,
следовательно,
. (8)
Итак, при определении вероятности наступления одного из нескольких несовместных событий применяется теорема сложения вероятностей.
Если же требуется рассчитать вероятность совместного наступления двух или нескольких событий, то используется теорема умножения вероятностей для зависимых, либо для независимых событий.
Теорема умножения вероятностей
Вероятность совместного наступления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже произошло, то есть
. (9)
Если события
и
независимые , то вероятность их совместного
наступления равна произведению их
вероятностей, то есть
(10)
Теорема умножения вероятностей справедлива для любого конечного числа событий, а именно:
а) для зависимых событий:
(11)
б) для независимых событий:
(12)