1.7. Контрольные вопросы и упражнения

1. Вставьте обозначения числовых множеств:

• множество натуральных чисел;

• множество целых чисел;

• множество рациональных чисел;

• множество действительных чисел.

2. Вставьте пропущенный знак  или : 117 ___ N; 22,4 ___ Z; 4/3___Q;

___ Q; ___R;  ___ Z.

3. Принадлежит ли множеству корней уравнения

x² - 5х + 6 = 0 число х = -3?

3. Какими способами можно задать множество?

4. Запишите множество действительных корней уравне­ния 3х + 4 = 0. Как записать ответ, если требуется найти множество целых корней этого уравнения?

5. Что такое подмножество данного множества? Какой символ используется для записи «множество А является подмножеством множества В»? Запишите его: А ____ В.

6. Вставьте пропущенный символ  или  :

1 ___ {1,2,3}; {1} ____ {1,2,3};

 ___ {1,2,3}; {2,3} ____ {1,2,3}.

3. Вставьте пропущенные знаки операций на множествах:

{а,b,с} ____ {d,b,e} = {b};

{a,b,с} ____ {с, d} = {а,b,с,d};

{а,b,с} ____ {a,d} = {b,c}.

3. Что такое булеан множества X?

4. Является ли булеаном множества {а,b,с} система под­множеств {а}, {b}, {с} ?

5. Является ли разбиением множества {а,b,с} система подмножеств {a,b},{b,с},{а,с} ?

6. Нарисуйте диаграммы Эйлера для левой и правой час­тей за­кона де Моргана. Сравните их.

7. Запишите законы алгебры множеств. Запомните их названия.

8. Вставьте пропущенный знак = или : {3,5} _____ {5,3}; (3,5) _____ (5,3).

9. Нарисуйте график декартова произведения X  Y, где X = {1,5}, Y = {2,3}. Совпадает ли он с графиком У  X?

10. Дайте определение бинарного отношения на множестве.

11. Обведите кружком номер правильного ответа. Обла­стью определения бинарного отношения R называется множество

а) {(х, у)| (х, у)  R};

б) {х| (х, у)  R};

в) {у| (х, у)  R}.

3. Какими способами можно задать бинарное отношение?

4. Какое отношение является рефлексивным?

5. Какой особенностью обладает матрица рефлек­сив­ного отношения? А матрица симметричного отноше­ния?

6. Закончите фразу: Отношение, облада­ю­щее свойствами рефлек­сивно­сти, симметрич­ности, тран­зи­тив­нос­ти, называется отношением

_________________________________________.

3. Запись [х] используется для обозначения __________________________________________.

2. Математическая логика

2.1.Алгебра логики

2.1.1. Логические высказывания

Под логическим высказываниемпонимается повествовательное предло­жение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или лож­но, но не то и другое вместе.

Примеры:

1. Волга впадает в Каспийское море.

2. Два больше трёх.

3. Я лгу.

Примеры 1, 2 являются высказываниями (1 – истинно, 2 –ложно). Пример 3 – не высказывание (если предположить, что оно истинно, то в силу его смысла оно одновременно ложно и, наоборот, из лож­ности этого предложения вытекает его истинность).

В алгебре логики не рассматривают внутреннюю струк­туру высказываний, а ограничиваются рас­смотрением их свойства представлять истину или ложь. Поэтому на высказывание можно смотреть, как на величину, которая может принимать только одно из двух значений: «истина» или «ложь».

Высказывания будем обозначать буквами А, В, С, а их зна­чения («истина» или «ложь») – соответственно цифрами 1 или 0. Эти цифры будем рассматривать как символы, не имеющие арифметического смысла.

В обычной речи сложные предложения образуются из простых предложений с помощью связок: «и», «или», «если..., то…» и т. д.

Примеры:

1. Светит солнце, и идёт дождь.

2. Шесть делится на два или шесть делится на три.

3. Если контакт замкнут, то лампа горит.

Связкиможно рассматривать какоперациинад высказывания­ми. В алгебре логики вводят операции, аналогичные связкам обычной речи. При этом истинность или ложность сложного высказывания полностью определяется истинностью или ложностью его составляющих.