3. Вынужденные колебания. Резонанс. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний

Рассмотрим колебания, которые поддерживаются в системе внешней гармонической силой F = F₀Cost. Такие колебания называются вынужденными.

Обратимся вновь к пружинному маятнику. Вспомним уравнения движения этого осциллятора:

— уравнение собственных незатухающих колебаний. В системе действует одна упругая сила F_упр = –kx;

— собственные затухающие колебания. В системе появилась сила вязкого сопротивления, пропорциональная скорости .

В случае вынужденных колебаний кроме двух названных сил — упругой и силы сопротивления, на систему действует ещё одна сила: F = F₀Cost.

— дифференциальное уравнение вынужденных колебаний пружинного маятника. Это уравнение движения принято записывать так:

.

Введя знакомые обозначения и , представим уравнение движения осциллятора окончательно в таком виде:

. (13.14)

Опыт показывает, что под действием гармонического возмущающего усилия F = F₀Cost осциллятор совершает гармонические колебания с частотой вынуждающей силы :

х = ACos(t + ). (13.15)

Если частота  известна, то задача сводится к определению амплитуды вынужденных колебаний А и начальной фазы .

Продифференцировав функцию (13.15), подставим ее в уравнение (13.14):

.

Теперь воспользуемся известными тригонометрическими формулами для косинуса и синуса суммы двух углов:

Это уравнение представляет собой сумму двух гармонических слагаемых

а Cos t + b Sin t = 0.

Последнее равенство возможно в единственном случае, если постоянные во времени a и b равны нулю: а = 0, b = 0. Это означает, что справедливы следующие уравнения:

, (13.16)

. (13.17)

Эти два уравнения содержат только две неизвестные величины: амплитуду А и фазу  вынужденного колебания. Для отыскания амплитуды А можно домножить уравнение (13.16) на , а уравнение (13.17) — на Cos. Вычтя теперь из первого уравнения второе, получим Sin:

,

. (13.18)

Воспользовавшись этим результатом в уравнении (13.17), найдем Cos:

. (13.19)

Возведем уравнения (13.18) и (13.19) в квадрат и сложим:

Последнее уравнение решим относительно искомой амплитуды колебаний А:

. (13.20)

Фазовый сдвиг смещения x относительно возмущающего усилия F найдём непосредственно из уравнения (13.17):

. (13.21)

Обратимся к анализу полученных результатов.

1. Амплитуда вынужденных колебаний прямо пропорциональна амплитуде возмущающего усилия F₀.

2. Если  = 0 — случай приложения статической нагрузки F₀, смещение груза будет определяться жёсткостью пружины k:

.

3. При высоких частотах внешнего усилия (→), амплитуда колебаний А→0.

4. Для отыскания частоты _рез, при которой амплитуда достигает наибольшего значения А_рез, нужно найти минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе уравнения (13.20). Продифференцировав это выражение по , и приравняв результат нулю, получим условие, определяющее _рез:

.

Отсюда следует, что резонансная частота _рез меньше частоты собственных незатухающих колебаний ₀:

. (13.22)

Используя это значение в (13.20), рассчитаем резонансную амплитуду:

. (13.23)

5. Если вязкое сопротивление отсутствует, коэффициент затухания  = = 0 и резонансная амплитуда устремляется в бесконечность. При этом условии резонансная частота, как следует из (13.22), равна частоте собственных незатухающих колебаний осциллятора _рез = ₀.

6. С увеличением коэффициента затухания , резонансная частота и амплитуда колебаний уменьшаются.

Все эти закономерности графически представлены на рис. 13.4.

Рис. 13.4

7. При слабом затухании, когда , резонансная амплитуда равна

.

Разделим это выражение на — смещение под действием постоянной силы:

.

Таким образом, добротность осциллятора численно равна отношению резонансной амплитуды к смещению под действием постоянной силы.

8. На рис. 13.5 представлена зависимость фазового сдвига вынужденных колебаний и вынуждающей силы — график функции (13.21). С увеличением частоты вынуждающего усилия  растет, меняясь от 0 до . В резонансе фазовый сдвиг равен . Эта зависимость  = () меняется с изменением коэффициента затухания.

Рис. 13.5