Лекция 11 «Элементы механики жидкости»

План лекции

1. Давление жидкости. Законы гидростатики.

2. Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности потока.

3. Основной закон динамики для идеальной жидкости. Уравнение Бернулли.

4. Применение уравнения Бернулли для решения задач гидродинамики.

   1. Истечение жидкости из сосуда.

   2. Манометрический расходомер.

1. Давление жидкости. Законы гидростатики

Твёрдые тела обладают упругостью объёма и формы. Это означает, что упругие силы сопротивления препятствуют любым изменениям объёма и формы твёрдого тела.

Особенности молекулярного строения жидких и газообразных веществ приводят к тому, что они не обладают упругостью формы. Этим объясняется, например, лёгкое скольжение слоёв жидкости или газа друг относительно друга. Эти вещества, не препятствуя изменению формы, в большей или меньшей степени «сопротивляются» изменению объёма. Во многих задачах гидродинамики изменением объёма жидкости (и газа) можно пренебречь. Такая идеализированная жидкость называется несжимаемой. Плотность несжимаемой жидкости во всех точках её объёма одинакова.

Несмотря на различие многих физических свойств жидкостей и газов, часто их равновесие и движение описывается идентичными уравнениями. Это позволяет рассматривать задачи статики и динамики жидкостей и газов в рамках единого раздела механики — гидроаэромеханики. Поэтому, обсуждая законы равновесия и течения «жидкости» мы будем подразумевать, что они справедливы в равной степени как для жидкостей, так и для газов.

Давление — одна из основных характеристик состояния жидкости. Это скалярная величина, численно равная силе, действующей на поверхность единичной площади, погружённую в жидкость (рис. 11.1). В системе СИ давление измеряется в паскалях [Па]:

, . (11.1)

Рис. 11.1

Давление создаётся либо поверхностными, либо массовыми силами.

При равновесии жидкости поверхностное давление передаётся во все точки объёма жидкости без изменения (закон Паскаля).

Действие массовых сил приводит к росту давления жидкости с увеличением глубины. Рассмотрим равновесие столба жидкости высотой h (рис. 11.2). В направлении y на выделенный элемент действуют силы давления: F₁ = P₁S и F₂ = P₂S. Кроме того, вниз направлена сила тяжести: mg = _ж  V  g = _ж  S  h  g. Условие равновесия состоит в равенстве нулю равнодействующей всех этих сил:

–P₁S – _ж  S  h  g + P₂S = 0.

Или

P₂ – P₁ = P = _жgh. (11.2)

Рис. 11.2

Давление жидкости линейно нарастает с увеличением глубины h.

P = _жgh называется гидростатическим давлением. Гидростатическим давлением объясняется возникновение выталкивающей силы, действующей на тело, погружённое в жидкость.

На тело, погружённое в жидкость, действует направленная вверх сила, равная весу жидкости в объёме погружённой части тела (закон Архимеда):

F_A = _жgV_т.

Здесь: _ж — плотность жидкости;

V_т — объём части тела, погруженной в жидкость.

2. Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности

Параметры текущей жидкости — скорость, плотность, давление и другие — в общем случае являются функциями времени и положения точки в потоке. Если они не зависят от времени, то есть остаются постоянными в данной точке, то такое течение называется стационарным.

Картину течения жидкости графически задают с помощью линий тока.

Линия тока — линия, касательные к любой точке которой совпадают по направлению с направлением скорости жидкости в этих точках (рис. 11.3).

Рис. 11.3

Представим в потоке жидкости тонкое колечко А, стоящее поперёк потока (рис. 11.4). Линии тока, коснувшиеся этого колечка, выделят в потоке элемент, который называется «трубка тока». Трубка тока интересна тем, что жидкость, прошедшая через колечко А, в дальнейшем течении не покидает свою трубку тока.

Рис. 11.4

Рассмотрим два сечения — S₁ и S₂ — трубки тока. При стационарном течении количества жидкости прошедшие за время t через эти сечения должны быть одинаковыми:

₁S₁V₁t = ₂S₂V₂t.

Считая жидкость несжимаемой, то есть ₁ = ₂ =  = сonst., получим:

S₁V₁ = S₂V₂.

Полученный результат справедлив для любого сечения трубки тока, то есть в общем случае можно записать:

S  V = сonst. (11.4)

Это закон неразрывности стационарного потока несжимаемой жидкости: произведение скорости течения несжимаемой жидкости на площадь поперечного сечения есть постоянная величина для данной трубки тока.