Элементы ТФКП

Если зафиксировать z1, а другой конец кривой менять, то получим функцию,

зависящую от z:

Zz

F (z) = f(z)dz:

z1

Теорема. Если f(z) аналитична в односвязной области D, то F (z) – аналитическая в D функция, причем F 0(z) = f(z).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Так как f(») непрерывна в точке z, то

8" > 0 9± > 0 8» 2 D (j» ¡ zj < ± ) jf(») ¡ f(z)j < "):

Предположим, что jhj < ±. Тогда j» ¡ zj < jhj < ± ) jf(») ¡ f(z)j < ": В этом случае

6. Будем называть первообразной f(z) любую функцию ©(z), такую что ©0(z) = f(z) 8z 2 D. В частности, F (z) – первообразная f(z).

Теорема. Любая первообразная f(z) имеет вид:

Zz

©(z) = F (z) + C = f(»)d» + C;

z1

где C – произвольная постоянная.

20

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ©(z) ¡ F (z) = ª(z). Тогда (©(z) ¡ F (z))0 = ª0(z) = 0. Если ª(z) = u(x; y) + { v(x; y), то ª0(z) = @u@x + { @x@v = @y@v ¡ { @u@y . Поэтому

= = = = 0 в области D. Тогда u; v – постоянные в D функции, то есть u(x; y) = u0; v(x; y) = v0. В этом случае ª(z) = u0 + { v0 = C; следовательно,

©(z) ¡ F (z) = C, то есть ©(z) = F (z) + C: ?

Отметим, что C = ©(z1), то есть

Zz

f(»)d» = ©(z) ¡ ©(z1);

z1

где ©(z) – одна из первообразных аналитической функции f(z).

§10. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ

1. Теорема. Если f(z) аналитична в области D и непрерывна в ее замыкании

где @D – граница области D, проходимая так, что область D остается слева.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что порядок связности области D равен n. Пусть z 2 D – произвольна. Рассмотрим окружность Cr с центром в точке z и радиусом r таким, что Cr ½ D. Положим U = ft 2 D j jt ¡ zj < rg.

Рассмотрим D¤ = D n U. Порядок связности этой области равен n + 1. Функция как функция t аналитична в D. Контуры, составляющие @D¤, ориентированы

так, что область остается слева. Тогда по теореме Коши

Но @D¤ = @D S Cr¡ (на окружности положительный обход задается против часовой

21

Пусть " > 0 – произвольно. Можно считать, что r изначально выбрано так, что r < ±,

¯¯

·1 max ¯¯¯f(t) ¡ f(z)¯¯¯ ¢ 2¼r = max jf(t) ¡ f(z)j < ":

2¼ t2Cr ¯ t ¡ z ¯ t2Cr

?

n o

2. Теорема о среднем. Пусть D = z 2 C : jz ¡ z0j < R – внутренность

§11. ПРИНЦИП МАКСИМУМА МОДУЛЯ И ЛЕММА ШВАРЦА

1. Лемма. Пусть в некоторой области D задана аналитическая функция f и выполняется одно из двух условий:

(1)Re(z) – постоянна в D,

(2)jf(z)j – постоянен в D. Тогда функция f(z) в D.

Следовательно, 8x; y v(x; y) = v0, поэтому 8z 2 D f(z) = u0 + { v0.

22

Если имеет место (2), то jf(z)j = M =6 0 (если M = 0, то утверждение очевидно). Тогда ln f(z) = ln jf(z)j + { arg f(z) = ln M + { arg f(z). Таким образом, для функции ln f(z) выполняется условие (1), поэтому ln f(z) – постоянная функция, а значит постоянна и f(z). ?

2. Пусть далее имеется функция f(z) 6= const, аналитичная в D и непрерывная в D. Тогда jf(z)j – непрерывен в D, следовательно, jf(z)j достигает своих экстремальных значений. Какие именно точки могут быть точками максимума jf(z)j? Ответ на этот вопрос дает

Теорема [Принцип максимума модуля аналитической функции]. Пусть f(z) 6= const аналитична в D и непрерывна в D. Тогда jf(z)j достигает максимального значения только на границе множества D:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть max jf(z)j = M достигается во внутренней точке

z2D

D. Рассмотрим множество

Очевидно, что E =6 D. Тогда множество E обладает граничными точками, принадлежащими множеству D. Пусть z0 – одна из таких точек.

Тогда f(z0) = M в силу непрерывности функции f(z), поскольку в любой окрестности z0 есть точки из множества E. Построим окружность C = fz 2 D j jz ¡ z0j = rg, целиком лежащую в D, и такую, что 9z1 2 C; z12E. При этом jf(z1)j < M.

Тогда в силу непрерывности функции f(z)

8 " > 0 9z 2 C (jf(z)j < M ¡ "):

Обозначим множество таких точек через C" ½ C. По теореме о среднем имеем:

23

Замечание. Пусть f(z) =6 const аналитична в D, непрерывна в D и f(z) =6 0 8z 2 D. Тогда jf(z)j достигает минимального значения только на границе множества D:

3. Лемма Шварца. Пусть функция f(z) аналитична в единичном круге jzj < 1 и непрерывна в замкнутом круге jzj · 1, f(0) = 0. Если всюду в круге jf(z)j · 1, то в этом же круге jf(z)j · jzj. Если хотя бы в одной внутренней точке круга jf(z)j = jzj, то это равенство верно и во всем круге; при этом f(z) = z ¢ e{ ®; где

'(z) аналитична в круге jzj < 1, следовательно, к этой функции можно применить принцип максимума модуля. Так как на окружности jzj = 1 j'(z)j = jf(z)j · 1, то и всюду в круге j'(z)j · 1, а значит jf(z)j · jzj.

Если теперь в какой-нибудь внутренней точке jf(z0)j = jz0j, то j'(z0)j = 1. Но тогда по принципу максимума модуля j'(z)j = 1 во всех точках круга. Следовательно, '(z) постоянна. Так как j'(z)j = 1, то '(z) = e{ ® (® 2 R – постоянная величина). Но тогда f(z) = z ¢ e{ ®. ?

§12. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. НЕРАВЕНСТВА КОШИ

1. Пусть f(z) аналитична в области D и непрерывна в D. Тогда в каждой точке z 2 D существует при любом n 2 N f(n)(z), причем

24

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства используем метод математической индукции по n.

1 шаг. Так как f аналитична в D, достаточно показать, что

h так, что jhj < d2 . Тогда

jt ¡ zj ¸ d; jt ¡ z ¡ hj ¸ d2:

Имеем:

Предположим, что равенство верно при любом натуральном n · k ¡ 1.Покажем,