Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белгородский государственный институт искусств и культуры

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

из электронной библиотеки / 616466961801052.pdf

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.04.2023

Размер:

874.39 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

знать заранее, содержит ли оно хотя бы один элемент. Например, множество двухбуквенных комбинаций чы, бй, оъ, можно считать пустым, если иметь в виду только русские тексты, написанные на литературном языке и не содержащие опечаток.

Лингвистика чаще всего имеет дело с конечными множествами объектов. Однако приходится рассматривать и бесконечные множества. Например, бесконечным является множество всех словоупотреблений в текстах данного языка при условии, что этот язык беспрерывно порождает и будет порождать новые тексты без какого-либо ограничения во времени.

Способы задания множества Произвольные множества будем обозначать прописными, а элементы множества –

строчными буквами латинского алфавита, пустое множество – символом Ø. Пусть A и B – множества.

Множество B называется подмножеством множества A, если каждый элемент множества B является элементом множества A. Обозначение: B A.

Знак называется знаком включения. Перечеркнутый знак включения говорит о том, что первое множество не является подмножеством второго.

Например, N Z, Z R, {2,3,5} {2,3,7,8}.

Подумай! Любое множество является подмножеством самого себя.

Множество, в котором нет ни одного элемента, называется пустым множеством. Обозначение: Ø.

Подумай! Пустое множество является подмножеством любого множества. Множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же

элементов. Обозначение: A=B.

Множество, относительно которого все множества, рассматриваемые в данной задаче, являются подмножествами, называется универсальным. Универсальное множество будем обозначать буквой U.

Существуют два различных способа задания множества. Можно дать полный перечень элементов этого множества. Этот способ называется перечислением множества. Элементы перечисляемого множества заключают обычно в фигурные скобки. Например, множество А, состоящее из букв русского алфавита, вместе с пробелом (его обозначают знаком ∆) запишется так: А = {а, б, в, ..., ю, я, ∆}.

Другой способ состоит в том, что задается свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий рассматриваемому множеству, и не обладает ни один элемент, ему не принадлежащий. Этот способ называют описанием множества, а свойство, определяющее множество, – характеристическим.

При описании множеств используются различные символы, операции. Если A есть некоторое множество, а x – входящий в него объект, то символическая запись x A означает, что x является элементом множества A; при этом говорят: «x входит в А», «x принадлежит А». Если x не принадлежит множеству А, то пишут x А. Пусть, например, А есть множество букв русского алфавита, тогда, обозначив букву д как элемент х, а букву d как элемент y, можно записать х A, y А.

Операции над множествами Для наглядного представления операций над множествами воспользуемся кругами

Эйлера-Венна.

Пусть A и B – произвольные множества.

Их пересечением называется множество C, состоящее из всех общих элементов множеств A и B, т.е. x C тогда и только тогда, когда x A и x B.

Обозначение: C = A ∩ B. Знак ∩ называется знаком пересечения множеств. Пример.

Пусть A – множество студентов исторического факультета, B – множество студентов второго курса. Тогда, A ∩ B – множество студентов второго курса, учащихся на историческом факультете.

Подумай! A ∩ U = A, A ∩ A = A

Объединением A и B называется множество C, состоящее из всех элементов A и всех элементов B.

Обозначение: C = A B. Знак называется знаком объединения множеств. Разностью A и B называется множество C,

U состоящее из всех элементов, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству B.

Обозначение: C = A \ B

Разность между универсальным множеством и множеством A называется дополнением к

множеству A. Обозначение: Ā=U \ A.

Следовательно, A ∩ Ā = Ø; A Ā = U. Задача.

Найти объединение, пересечение, разность, дополнения множеств. Дано:

A={5,6,7},

B={7,8,9},

4 A,

4 B

Где

U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Решение A B={5,6,7,8,9}

A∩B={7}

A\B={5,6}

B\A={8,9}

Ā={4,8,9}

B={4,5,6}

Найти:

A B,A∩B,

A\B,B\A,

Ā,B

Разбиение множества на классы. Классификация В процессе изучения предметов и явлений окружающего мира мы постоянно

сталкиваемся с классификацией. Классификация широко используется в биологии, химии, математике, языке и многих других науках. Она облегчает процесс усвоения знаний.

Классификация в любой области человеческой деятельности связана с разбиением множества на подмножества (классы). Например, классификация частей речи, членов предложения, чисел, геометрических фигур и так далее.

Полученные подмножества должны обладать некоторыми свойствами:

1)они не должны быть пустыми;

2)не должны содержать общих элементов;

3)объединение всех подмножеств должно равняться самому множеству. Определение: Классификацией или разбиением множества на классы называется

представление этого множества в виде объединения непустых попарно непересекающихся своих подмножеств.

Для примера рассмотрим классификацию с помощью двух свойств.

Пусть U – множество студентов института, свойство α - «быть отличником», свойство β - «быть спортсменом». С помощью указанных свойств можно выделить следующие подмножества:

А – множество отличников;

–множество не отличников; В – множество спортсменов;

–множество не спортсменов.

Множество U в этом случае оказывается разбитым на следующие четыре класса (подмножества):

I – множество отличников-спортсменов;

II – множество отличников - не спортсменов;

III – множество не отличников - спортсменов; IV – множество не отличников - не спортсменов;

Можно доказать, что если n – число свойств, то максимальное число классов в разбиении равно 2n.

Число элементов объединения и разности двух конечных множеств

Пусть A и B – конечные множества. Число элементов множества A условимся обозначать символом m(A) и называть численностью множества A.

Определим численность объединения множеств A и B.

Если множества A и B не пересекаются, то m(A B) = m(A) + m(B). Таким образом, численность объединения конечных непересекающихся множеств равна сумме численностей этих множеств.

Если множества A и B пересекаются, то в сумме m(A) + m(B) число элементов пересечения A B содержится дважды: один раз в m(A),а другой– в m(B). Поэтому, чтобы найти численность объединения m(A B) , нужно из указанной суммы вычесть m(A B). Таким образом:

m(AB) = m(A) + m(B)- m(AB)

Определим теперь численность разности множеств A и B.

Если множества A и B не пересекаются (см. рис. 1а), то A \ B = A, и поэтому m(A\B) = m(A).

Если множества A и B пересекаются (см. рис. 1б), то m(A\B) = m(A) - m(AB). Если В А (см. рис. 1в), то A B = B, и, следовательно, m(A\B) = m(A) - m(B).

Раздел 3. Элементы математического анализа

Введение в математический анализ. Числовые последовательности. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Интегральное исчисление функции одной переменной. Интегрирование некоторых типов дифференциальных уравнений первого порядка. Существование и единственность решения уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.

Введение в математический анализ. Предмет математического анализа. Декартова и полярная системы координат. Множество вещественных чисел и его свойства.

Числовые последовательности. Определение числовой последовательности. Действия над последовательностями. Предел последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Теорема о вложенных отрезках.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Предел функции. Его свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Непрерывность функции одной переменной. Классификация точек разрыва. Основные свойства непрерывных функций. Сложная и обратная функции. Понятие производной и дифференцируемости функции. Таблица производных. Правила дифференцирования. Дифференцирование сложной и обратной функции, логарифмическая производная. Производная неявной и параметрически заданной функции. Понятие дифференциала функции одной переменной. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Ло-питаля. Понятие локального экстремума, необходимые и достаточные условия существования экстремума и точек перегиба. Исследование поведения функций одной переменной и построение графиков.

Интегральное исчисление функции одной переменной Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного

интеграла. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования (непосредственное, метод подстановки и замены переменных, интегрирование по частям). Интегрирование рациональных функций. Определенный интеграл. Основные свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле. Приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы.

Простейшие типы уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах. Постановка задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Существование и единственность решения задачи Коши. Зависимость решения задачи Коши от начальных условий и параметров. Понятие об асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Уравнение, неразрешенное относительно производной.

Раздел 4. Основы теории вероятностей и математической статистики

Практические занятия и семинары СЕМИНАР №1 ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ

1.1 период развития математики

2.2 период развития математики

3.3 период развития математики

4.4 период развития математики

5.Математика в издательском деле Список литературы:

1.Грес, П.В. Математика для гуманитариев [Текст] : Учебн. пособие для ст-тов вузов / П.В. Грес. – М.: Логос, 2003 – 120 с.

2.Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. образоват. Учреждений

сред.проф.образования / С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина.–М.:Издательский центр «Академия», 2014.– 416 с.

3. Жолков, С.Ю. Математика и информатика для гуманитариев [Текст]: учебник / С.Ю. Жолков. – М.: Гардарики, 2002. – 531 с.: ил.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КРУГОВ ЭЙЛЕРА-ВЕННА

1.Запишите множество четных и нечетных чисел с помощью характеристического свойства.

2.Приведите пример пустого множества на множестве студентов.

3.Назовите несколько элементов из разностей Z \ N, Q \ R.

4.3. Пусть U={1,2,…9}, A = {1,2,3,4,5}. Найти X, если известно, что a. X \ A = {6,7}, A ∩ X={1,3,5};

b. A X = {1,2,3,4,5,6,7,8}, A \ X = {1,4,5}; c. A X = {1,2,3,4,5,6,7}, A∩X= {1,2}.

5.В группе из 100 туристов 70 человек знают английский язык, 45 знают французский язык и 23 человека знают оба языка. Сколько туристов в группе не знают ни английского, ни французского языка?

6.Из 40 студенток 30 умеют плавать, 27 умеют играть в шахматы и только пятеро не умеют ни того, ни другого. Сколько студенток умеют плавать и играть в шахматы?

7.20 мальчиков поехали на пикник. При этом 5 из них обгорели, 8 были сильно покусаны комарами, а 10 остались всем довольны. Сколько обгоревших мальчиков не было покусано комарами? Сколько покусанных комарами мальчиков также и обгорели? (Сформулируйте эту задачу как лингвистическую, например: анализ наличия 2 предлогов в предложениях; и в общем виде, используя понятия: множество, подмножества

иих элементы)

8.В штучном отделе магазина посетители обычно покупают либо один торт, либо одну коробку конфет, либо один торт и одну коробку конфет, В один из дней было продано 57 тортов и 36 коробок конфет. Сколько было покупателей, если 12 человек купили и торт, и коробку конфет?

9.Пусть R – множество букв современного русского алфавита,

A – подмножество R, состоящее из букв, составляющих слово аксиома, B – подмножество R, состоящее из букв, составляющих слово скорость, C – подмножество R, состоящее из букв, составляющих слово паспорт.

10. Задать способом перечисления следующие множества и найти количество их элементов:

а) A B б) B C в) C \ A г) A B C

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2 ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

по учебнику Воронов, М.В. Математика для студентов гуманитарных факультетов ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ