из электронной библиотеки / 616466961801052.pdf

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ Лекции

Раздел 1. Структура современной математики

Роль математики в развитии издательского дела. История развития математики (основные этапы). Структура современной математики. Краткая характеристика ее основных разделов. Математическое мышление. Его роль в повседневной жизни и в профессиональной деятельности.

Математика - это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. В неразрывной связи с запросами науки и техники запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, так что приведенное определение необходимо понимать в самом общем смысле.

Целью изучения математики является повышение общего кругозора, культуры мышления, формирование научного мировоззрения.

Математика — слово греческого происхождения. То, что греки назвали mathema — познание, наука, было известно до них и, по-видимому, задолго. Греки смогли впервые понять и по достоинству оценить это знание, придать ему системный характер и включить в исходное понятие философии — понятие «бытие», через которое они выражали идею единства мира. Математика, наряду с астрономией, медициной, архитектурой, стоит у истоков современной науки, о чем свидетельствуют, в частности, «Начала» Евклида, книга о геометрии, написанная им в III в. до н.э. Используя математику, Г. Галилей и И. Ньютон создали первую научную механическую теорию.

Влитературе известны два подхода к определению предмета математики. Одно определение было дано Ф. Энгельсом, другое — коллективом французских математиков под общим псевдонимом Н. Бурбаки.

Согласно Ф. Энгельсу, «чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть, — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевывать его происхождение из внешнего мира». Хотя это предложение и нельзя считать полным определением математики, поскольку в нем нет указаний ни на метод, ни на цели изучения математики, но оно отражает то, что объект изучения создан умом человека не произвольно, а в связи с реальным миром.

Второй подход отражает методологические установки Н.Бурбаки. Бурбаки также определяют не математику, а только объекты, которые она исследует. Прежде чем привести их определение, отметим, что новый подход к объектам исследования в математике связан с «революцией в аксиоматике». Суть ее состоит в переходе от конкретной содержательной аксиоматики к аксиоматике сначала абстрактной, а затем полностью формализованной.

Вконкретной содержательной аксиоматике, подобной аксиоматике Евклида, исходные понятия и аксиомы в качестве интерпретации имеют единственную систему хотя и идеализированных, но конкретных объектов. В противоположность этому абстрактная аксиоматика допускает бесчисленное множество интерпретаций. Формализованная аксиоматика возникает на основе абстрактной и отличается от нее, вопервых, точным заданием правил вывода, во-вторых, вместо содержательных рассуждений она использует язык символов и формул, в результате чего содержательные рассуждения сводятся к преобразованию одних формул в другие, т. е. к особого рода исчислениям. В соответствии с этим одни и те же аксиомы могут описывать свойства и отношения самых различных по своему конкретному содержанию объектов. На основе

21

сказанного Н. Бурбаки делают вывод: «В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм — математических структур, и оказывается (хотя по существу и неизвестно почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм».

Итак, по Н. Бурбаки, математика — это «скопление математических структур», не имеющих к действительности никакого отношения. Следует сказать, что этот взгляд на математику разделялся многими учеными, которые считали, что определение Ф. Энгельса уже устарело.

Становление гуманитарных наук по времени совпадает с историей математики. Развитие гуманитарных знаний и математики не было параллельным движением, оно неоднократно пересекалось: И. Ньютон, Б. Спиноза, Г. Лейбниц, Ф. Энгельс. В XX в. ранее крайне неустойчивый союз матема-тики и гуманитарных наук укрепился настолько, что появилась насущная потребность учитывать его наличие в вузовском образовании. Во многом эта метаморфоза объясняется принципиальным изменением мнения о познавательном потенциале математики. Длительное время математику рассматривали только в технологическом ракурсе, в качестве инструментария. Эвристическая функция ма-тематики раскрылась на рубеже XIX и XX вв.

Вгуманитарных науках значение математики так же огромно. Почему? Математика имеет дело с возможными мирами структур, упорядоченными совокупностями объектов. Любая гуманитарная наука изучает некоторую общность объектов, свойства и отношения, присущие им. Таким образом, математика раздвигает область своего приложения и актуализирует ее. К исследовательскому аппарату гуманитарных наук подключаются огромнейшие резервы математики, накопленные ею за тысячелетия.

Математика решающим образом способствует установлению упорядоченности гуманитарных структур. Математику можно уподобить оптическому прибору, позволяющему рассмотреть невидимое для обычного зрения. Она открывает нам структурные отношения объектов социального познания и предоставляет исключительно эффективный математический аппарат. Тот, кто не владеет математикой, не способен проникнуть в глубинные структурные отношения сложных динамически меняющихся объектов.

Начиная с древности, математику широко использовали в социальной практике людей, например, в строительном, военном искусстве. И тем не менее включение математики в практическую социокультуру оставалось ограниченным. Оно становится понастоящему эффективным лишь тогда, когда осуществляется математизация самосознания. Математизация гуманитарных наук способствует познанию, управлению, прогнозированию и профилактике кризисных явлений, которыми насыщена современная историческая ситуация. В сочетании с информатикой и ЭВМ математика становится междисциплинарным инструментарием, выполняющим две основные функции: вопервых, позволяет определять цели поступков людей и условия их достижения; вовторых, анализировать широкий спектр возможных ситуаций и намечать оптимальные решения посредством использования математических моделей. Математическое моделирование признается обязательным этапом, предшествующим принятию ответственного решения в экономике, финансовых и банковских операциях, в планировании развития, определении структуры и ориентации социальных подразделений, в избирательных кампаниях.

Внастоящее время наблюдается разделение культуры на гуманитарную и естественно-научную. «Гуманитарное» преподавание математики невозможно без

22

изучения ее истории. Сюда входят и краткие сведения о возникновении тех или иных математических понятий и идей, о жизни выдающихся ученых. Другая сторона математического образования — изучение приложений математики. В настоящее время создается система примеров и задач, ориентированных на гуманитарные приложения.

Гуманитарный потенциал математики раскрывается по следующим направлениям:

1.Математика изучает математические модели реальных процессов. Это позволит человеку, владеющему математическим языком, глубже проникнуть в суть реальных процессов, правильно ориентироваться в окружающей действительности.

2.Математика «ум в порядок приводит». Известно влияние математики на формирование мышления и личностных черт человека.

3.Человек, формулирующий математическое утверждение, проводящий математическое доказательство, оперирует не обыденной, а предметной речью, строящейся по определенным законам (краткость, четкость, лаконичность, минимизация и т.д.). Предметная речь оказывает существенное влияние и на развитие литературной речи.

4.Изучая математику, человек постоянно осознает свое развитие, формирование интеллектуальных навыков, абстрактного мышления, «поумнение».

Исторически составные части математики - арифметика и геометрия - выросли, как известно, из нужд практики, из необходимости индуктивного решения различных практических задач земледелия, мореплавания, астрономии, сбора налогов, возврата долгов, наблюдения за небом, распределения урожая и т.п. При создании теоретических основ математики, основ математики как научного языка, формального языка наук, различных теоретических построений стали важными элементами различные обобщения и абстракции, исходящие из этих практических задач, и их инструментарий.

Математика — слово греческого происхождения. То, что греки назвали mathema — познание, наука, было известно до них и, по-видимому, задолго. Греки смогли впервые понять и по достоинству оценить это знание, придать ему системный характер и включить в исходное понятие философии — понятие «бытие», через которое они выражали идею единства мира. Математика, наряду с астрономией, медициной, архитектурой, стоит у истоков современной науки, о чем свидетельствуют, в частности, «Начала» Евклида, книга о геометрии, написанная им в III в. до н.э. Используя математику, Г. Галилей и И. Ньютон создали первую научную механическую теорию.

В литературе известны два подхода к определению предмета математики. Одно определение было дано Ф. Энгельсом, другое — коллективом французских математиков под общим псевдонимом Н. Бурбаки.

Согласно Ф. Энгельсу, «чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть, — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевывать его происхождение из внешнего мира». Хотя это предложение и нельзя считать полным определением математики, поскольку в нем нет указаний ни на метод, ни на цели изучения математики, но оно отражает то, что объект изучения создан умом человека не произвольно, а в связи с реальным миром.

Второй подход отражает методологические установки Н.Бурбаки. Бурбаки также определяют не математику, а только объекты, которые она исследует. Прежде чем привести их определение, отметим, что новый подход к объектам исследования в математике связан с «революцией в аксиоматике». Суть ее состоит в переходе от конкретной содержательной аксиоматики к аксиоматике сначала абстрактной, а затем полностью формализованной.

23

Вконкретной содержательной аксиоматике, подобной аксиоматике Евклида, исходные понятия и аксиомы в качестве интерпретации имеют единственную систему хотя и идеализированных, но конкретных объектов. В противоположность этому абстрактная аксиоматика допускает бесчисленное множество интерпретаций. Формализованная аксиоматика возникает на основе абстрактной и отличается от нее, вопервых, точным

заданием правил вывода, во-вторых, вместо содержательных рассуждений она использует язык символов и формул, в результате чего содержательные рассуждения сводятся к преобразованию одних формул в другие, т. е. к особого рода исчислениям. В соответствии с этим одни и те же аксиомы могут описывать свойства и отношения самых различных по

своему конкретному содержанию объектов. На основе сказанного Н. Бурбаки делают вывод: «В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм — математических структур, и оказывается (хотя по существу и неизвестно почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм».

Итак, по Н. Бурбаки, математика — это «скопление математических структур», не имеющих к действительности никакого отношения. Следует сказать, что этот взгляд на математику разделялся многими учеными, которые считали, что определение Ф. Энгельса уже устарело.

Становление гуманитарных наук по времени совпадает с историей математики. Развитие гуманитарных знаний и математики не было параллельным движением, оно неоднократно пересекалось: И. Ньютон, Б. Спиноза, Г. Лейбниц, Ф. Энгельс. В XX в. ранее крайне неустойчивый союз матема-тики и гуманитарных наук укрепился настолько, что появилась насущная потребность учитывать его наличие в вузовском образовании. Во многом эта метаморфоза объясняется принципиальным изменением мнения о познавательном потенциале математики. Длительное время математику рассматривали только в технологическом ракурсе, в качестве инструментария. Эвристическая функция ма-тематики раскрылась на рубеже XIX и XX вв.

Вгуманитарных науках значение математики так же огромно. Почему? Математика имеет дело с возможными мирами структур, упорядоченными совокупностями объектов. Любая гуманитарная наука изучает некоторую общность объектов, свойства и отношения, присущие им. Таким образом, математика раздвигает область своего приложения и актуализирует ее. К исследовательскому аппарату гуманитарных наук подключаются огромнейшие резервы математики, накопленные ею за тысячелетия.

Математика решающим образом способствует установлению упорядоченности гуманитарных структур. Математику можно уподобить оптическому прибору, позволяющему рассмотреть невидимое для обычного зрения. Она открывает нам структурные отношения объектов социального познания и предоставляет исключительно эффективный математический аппарат. Тот, кто не владеет математикой, не способен проникнуть в глубинные структурные отношения сложных динамически меняющихся объектов.

Начиная с древности, математику широко использовали в социальной практике людей, например, в строительном, военном искусстве. И тем не менее включение математики в практическую социокультуру оставалось ограниченным. Оно становится понастоящему эффективным лишь тогда, когда осуществляется математизация самосознания. Математизация гуманитарных наук способствует познанию, управлению, прогнозированию и профилактике кризисных явлений, которыми насыщена современная

24

историческая ситуация. В сочетании с информатикой и ЭВМ математика становится междисциплинарным инструментарием, выполняющим две основные функции: вопервых, позволяет определять цели поступков людей и условия их достижения; вовторых, анализировать широкий спектр возможных ситуаций и намечать оптимальные решения посредством использования математических моделей. Математическое моделирование признается обязательным этапом, предшествующим принятию ответственного решения в экономике, финансовых и банковских операциях, в планировании развития, определении структуры и ориентации социальных подразделений, в избирательных кампаниях.

В настоящее время наблюдается разделение культуры на гуманитарную и естественно-научную. «Гуманитарное» преподавание математики невозможно без изучения ее истории. Сюда входят и краткие сведения о возникновении тех или иных математических понятий и идей, о жизни выдающихся ученых. Другая сторона математического образования — изучение приложений математики. В настоящее время создается система примеров и задач, ориентированных на гуманитарные приложения.

Гуманитарный потенциал математики раскрывается по следующим направлениям:

1.Математика изучает математические модели реальных процессов. Это позволит человеку, владеющему математическим языком, глубже проникнуть в суть реальных процессов, правильно ориентироваться в окружающей действительности.

2.Математика «ум в порядок приводит». Известно влияние математики на формирование мышления и личностных черт человека.

3.Человек, формулирующий математическое утверждение, проводящий математическое доказательство, оперирует не обыденной, а предметной речью, строящейся по определенным законам (краткость, четкость, лаконичность, минимизация и т.д.). Предметная речь оказывает существенное влияние и на развитие литературной речи.

4.Изучая математику, человек постоянно осознает свое развитие, формирование интеллектуальных навыков, абстрактного мышления, «поумнение».

Исторически составные части математики - арифметика и геометрия - выросли, как известно, из нужд практики, из необходимости индуктивного решения различных практических задач земледелия, мореплавания, астрономии, сбора налогов, возврата долгов, наблюдения за небом, распределения урожая и т.п. При создании теоретических основ математики, основ математики как научного языка, формального языка наук, различных теоретических построений стали важными элементами различные обобщения и абстракции, исходящие из этих практических задач, и их инструментарий.

Истоки математики как науки и языка знаний восходят к Древнему Египту и Древнему Вавилону. Существует и другая версия историков науки, относящих появление математики (как теоретической дисциплины) к более позднему, греческому периоду ее развития - периоду начала использования доказательств геометрических теорем.

Математика в Греции развивалась достаточно быстро, логически, структурно и оформилась как особая наука с особым методом дедуктивного (от общего к частному) метода доказательства. Появление математики как систематической науки оказало, в свою очередь, громадное развивающее влияние на другие области знания.

Математика стала не просто лишь полезным практическим аппаратом, но и основным инструментом выявления внутренней сущности явлений и процессов, построения различных теоретических выводов, формальных оснований наук.

Это не могло не привести в древности к мистификации математики, что нашло отражение в философском учении знаменитого Пифагора и школы его последователей. Основной тезис пифагореизма – «все есть число», то есть всюду есть и могут быть

25

обнаружены количественные связи, а всякая закономерность может быть выражена и объяснима математическими соотношениями.

Наряду с пифагорейской философией, существовала и атомистическая философия (философская школа Демокрита). В атомистическом подходе математические закономерности выступают уже как вторичные по отношению к атому - первооснове. Физическое начало логически предшествует математическому и определяет свойства последнего. Математическое, в свою очередь, развивает физическое, естественнонаучное, позволяет открывать и исследовать новые связи и отношения в окружающем мире.

Вэпоху Средневековья математика развивалась, в основном, в русле пифагореизма. Несмотря на многие заблуждения и неточности, эта эпоха дала миру многих замечательных математиков и ряд важных теорем и положений математики, заложила элементарные теоретические основы всего естествознания.

ВXIV-XV вв. в Европе начался творческий процесс развития математического мышления в арифметике, алгебре и геометрии, длившийся около двух столетий. Математика стала рассматриваться не как абсолютное, первичное знание, а как знание эмпирическое, вторичное, зависящее от внешних реалий. В это время развивались основные идеи дифференциального и интегрального исчисления, сформировались основные понятия высшей математики - бесконечно малое приращение, последовательность, предел, производная, дифференциал и др. (Заметим, что мы нигде далее не будем употреблять словосочетание «высшая математика», считая математику единой для тех, кто ее изучает, различая лишь этапы изучения математики - школьный или вузовский).

Необходимость вычисления площадей сложных фигур, ограниченных произвольными кривыми, развивала методы дифференциального и интегрального исчисления, расширяла перечень решаемых задач и повышала сложность решаемых задач, сформировала логически стройную и достаточно полную систему математических понятий.

ВXVI-XVII вв. появились новые математические теории, такие, как, например, теория вероятностей, комбинаторика, которые затем в XVIII веке стали эффективно использоваться в различных областях науки и практики. В математике с XVII в. широко начинает применяться метод доказательства общих предложений и выводов на основе частных положений и выводов, называемый методом математической индукции. Некоторые историки математики считают правильным отсчитывать историю математики именно с этого периода.

Развивалась и геометрия, которая выходила в своих исследованиях за узкие пределы практических нужд (измерения длины, площади, объема и т.д.).

Неевклидова геометрия Н.И.Лобачевского (опираясь, в основном, на логическое мышление, на логические системы и логические выводы из них) показала, что расширение предмета математики важно не только для внутреннего развития самой математики и пересмотра устойчивых математических представлений, но и для выяснения роли математики как языка знаний. Неевклидовы геометрии продемонстрировали, что геометрия Евклида - не единственный способ восприятия чувственных образов в мире. Истинность геометрии Лобачевского находит косвенные подтверждения в астрономии, физике. Известный геометр Ф.Клейн доказал, что геометрия Лобачевского непротиворечива, если непротиворечива геометрия Евклида.

Основой развития математики в XX веке стал сформировавшийся формальный язык цифр, символов, операций, геометрических образов, структур, соотношений для формально-логического описания действительности, - то есть сформировался формальный, научный язык всех отраслей знания, в первую очередь, естественнонаучных.

26

Этот язык успешно используется в настоящее время и в других, «не естественнонаучных» областях.

Язык математики - это искусственный, формальный язык, со всеми его недостатками (например, малой образностью) и достоинствами (например, сжатостью описания).

Математическое описание фактов, законов природы, общества и познания позволяет нам по-новому взглянуть на их взаимосвязи, обнаружить новые связи. Зачастую эти связи невозможно обнаружить без математики, на опыте, в реальном мире.

«Математики - своего рода французы: когда говоришь с ними, они переводят твои слова на свой язык, и вот сразу получается нечто иное» (И.В.Гете).

Современная теоретическая(« чистая») математика это наука о математических структурах, математических инвариантах различных систем и процессов.

Понятие структуры мы пока будем определять (нестрого) как некоторую заданную совокупность связанных между собой элементов, в которой имеется некоторый порядок, некоторая стройность и взаимосвязь составных частей. Более полное и строгое понятие структуры изложено в нашем курсе «Введение в анализ, синтез и моделирование систем»

( http://www.intuit.ru).

«Математика - это искусство давать разным вещам одно наименование» (А.Пуанкаре).

Современная прикладная(« не чистая») математика - это наука, занимающаяся поиском, математическим описанием и исследованием различной природы инвариантов и их приложений.

Таким образом, это две ветви одной и той же науки и одна из них не может развиваться без другой. Отнесение одной и той же задачи к чистой или к прикладной математике зависит, в основном, от цели и доступных ресурсов ее исследования.

Предмет науки обычно понимают как совокупность, систему тех закономерностей, которые изучаются ею. Строго говоря, математика непосредственно не изучает реально законы развития природы или общества, как, например, физика, химия, биология, история

идр. Она помогает в их изучении другим наукам, связывает эти науки, законы, усиливает их.

Математика позволяет получать абстрактное знание о законах и процессах, а эти знания затем используют все другие науки.

Служение наукам не является единственной функцией математики,ее главной целью. У нее есть свои, важнейшие внутренние цели эволюции.

Специфика математического метода изучения действительности определяет и особенность критерия истины в математике. В математике критерий истины выступает в своеобразной форме: мы не можем доказать истинность математического предложения, основываясь лишь только на практике, как во многих других науках.

Простой факт отсутствия общих точек у двух параллельных прямых нельзя проверить на практике, сколько бы мы не брали точек на этих прямых. Более сложный пример - так называемая функция Дирихле: значение функции для рациональных чисел равно 1, а для иррациональных чисел - 0. Нельзя построить график этой простой по определению функции.

Практика является исходным пунктом математических понятий, но в качестве непосредственного критерия истины утверждений теоретической математики она обычно не выступает. Только в прикладной математике практика может определять адекватность

иэффективность математического аппарата для описания конкретных систем и процессов. При этом практика как критерий адекватности теории не всегда применима.

27

В астрофизике есть математические модели зарождения и эволюции космических систем, которые нельзя проверить на практике, но можно описать проверенными математическими моделями других теорий - скажем, ядерной физики.

Деление математики на теоретическую и прикладную хотя и традиционно, тем не менее, как отмечено выше, - часто лишь условное. Математика, наряду с созданием новых теоретических методов решения практических задач, изучает и оттачивает применяемый ею самой инструментарий, развивает математические теории и методы, ищет более широкие и естественные сферы ее применимости, эволюционирует сама для нужд эволюции других наук, которые, в свою очередь, эволюционируют, используя математику.

Те достижения математики, которые еще не нашли приложения, развивают внутреннюю сущность и структуру математики и могут обрести в дальнейшем самые неожиданные применения, вплоть до революционных для развития науки и техники.

Древнегреческими математиками была создана теория конических сечений, которая была использована лишь через 2000лет, когда Кеплер создавал теорию движения небесных тел. Эта теория, в свою очередь, затем помогла Ньютону создать классическую механику.

Математика реализует не только мировоззренческие, но и воспитательные, культурные и эстетические функции.

Мировоззренческая роль математики состоит, в частности, в том, что она помогает вникать в суть явлений, происходящих в окружающем нас мире, особенно тех, что не лежат на поверхности, выявлять, описывать и исследовать как внешние, так и внутренние связи системы.

Дифференциальные уравнения эволюционных систем различной природы и различного происхождения - часто одни и те же, что демонстрирует общность законов природы, общества, познания.

«Не зная математики, нельзя знать ни прочих наук, ни мирских дел. И что еще хуже, люди, в ней не сведущие, не ощущают собственного невежества, а потому не ищут от него лекарства. И напротив того, знакомство с этой наукой подготовляет душу и возвышает ее ко всякому прочному знанию, так что, если кто познал источники мудрости, касающиеся математики, и правильно применил их к познанию прочих наук и дел, тот сможет без ошибок и без сомнений, легко и по мере сил постичь и все последующие науки» (Ф.Бэкон).

Воспитательная роль математики состоит, в частности, в том, что ее изучение и применение вырабатывает исследовательский, творческий подход к делу; настойчивость, терпение и трудолюбие; аккуратность; логичность и строгость суждений; умение выделять главное и игнорировать второстепенное, не влияющее на суть проблемы; умение ставить новые задачи и др. Воспитательная функция математики подчинена функциям общечеловеческого воспитания.

«Нигде, как в математике, ясность и точность вывода не позволяет человеку отвертеться от ответа разговорами вокруг вопроса. Математика учит точности мысли, подчинению логике доказательства, понятию строго обоснованной истины, а все это формирует личность, пожалуй, больше, чем музыка. Математика полезна тем, что она трудна» (А.Д.Александров).

Культурная роль математики состоит, в частности, в том, что повышение общематематической культуры естественным образом, в соответствии с функциями математики, содействует повышению и профессиональной и общей культуры (мышления, поведения, выбора).

28

Математика - это своего рода особая культура и искусство формализации знаний. «Если поручить двум людям, один из которых математик, выполнение любой

незнакомой работы, то результат всегда будет следующим: математик сделает ее лучше»

(Д.Юнг).

Эстетическая роль математики (эстетика - наука о прекрасном) состоит, в частности, в том, что она сводит разрозненные элементы и связи системы в целостную композицию, обладающую эстетическими качествами (красота, обаяние, цвет, форма, пропорция, симметрия, гармония, единство частей целого, удовольствие и др.).

«Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей <...>. Узоры математика так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи так же, как цвета или слова, должны гармонически соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики» (Г.Х.Харди).

Математизация сфер общества - характерная черта нашей эпохи. Математизации подвержены не только естественнонаучные области, но и социально-гуманитарные: история, филология, социология и др. Благодаря математизации развивается язык наук, следовательно, и сами науки. Математика также обогащается новыми идеями и приложениями вследствие этого.

Математика широко используется как в традиционных, естественнонаучных, областях (физика, биология, экономика и др.), так и в гуманитарных - истории, лингвистике, психологии, социологии и др. Она образует специальные ветви (математическая физика, математическая биология, математическая экономика и др.) или методы (математические методы лингвистики, социологии и др.).

Математизация - существенный фактор прокладывания и укрепления междисциплинарных связей, решения междисциплинарных проблем, проникновения не только в количественно отражаемую сущность явлений, но и в их качественную сущность.

«Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя приложить ни одну из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой» (Леонардо да Винчи).

История математики складывается не из простой суммы математических знаний, а из цепочки преемственности достижений, нередко - преемственности ошибок, которые не смогли нарушить развитие и целостность математической мысли.

Эта история связана с историей других наук, техники, культуры, искусства многих стран и народов, больших и малых, историей жизни и деятельности выдающихся и рядовых математиков.

«Высшее назначение математики <...> состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает» (Н. Винер).

Современная математика в сочетании с информатикой и ЭВМ становится как бы междисциплинарным инструментарием, который выполняет две основные функции: обучает специалиста-профессионала формулировать цель того или иного процесса, определять условия достижения этой цели; позволяет анализировать, т.е. «проигрывать» возможные ситуации и получать оптимальные решения с помощью модели. Математическое моделирование должно стать обязательным этапом, предшествующим принятию любого решения.

Раздел 2. Элементы теории множеств

Множества. Числовые множества. Множества и операции над ними. Решение задач с использованием кругов Эйлера-Венна.

29

Одно из основных понятий современной математики – понятие множества. Оно является первичным, т. е. не поддается определению через другие, более простые понятия. С понятием множества мы встречаемся довольно часто: буквы русского алфавита, арабские цифры, римские цифры и т. д. образуют множества. Георг Кантор «Множество

– многое, мыслимое нами как единое» Приведенные примеры обладают одним существенным свойством: все эти

множества состоят из определенного конечного числа объектов, которые мы будем называть элементами множества. При этом каждый из объектов данного вида либо принадлежит, либо не принадлежит рассматриваемому множеству. Так, например, уква ф вне всякого-сомнения принадлежит множеству букв, образующих русский алфавит, в то время как буква f этому множеству не принадлежит.

Множества, включающие только такие объекты, принадлежность или непринадлежность которых к тому или иному множеству не вызывает сомнения, называются четкими множествами. Поскольку каждый рассматриваемый объект либо принадлежит, либо не принадлежит к рассматриваемому четкому множеству, эти множества всегда имеют ясно очерченные границы. Четким множествам противопоставлены нечеткие или «лингвистические» множества, включающие такие объекты, которые могут быть отнесены к тому или иному множеству лишь с определенной степенью достоверности.

Понятие нечеткого множества можно проиллюстрировать на примере семантических полей прилагательных младенческий, детский, отроческий, юношеский, молодой, среднего возраста, старый. Чтобы определить границы семантических полей указанных слов и словосочетаний, произведем следующий эксперимент. Предложим большой группе испытуемых – носителей русского языка относить к той или иной возрастной группе мужчин различного возраста. При этом выясняется, что интервал от 10 до 14 лет одними испытуемыми будет квалифицироваться как детский, а другими – как отроческий возраст. Аналогичным образом период от 17 до 23 лет может считаться либо как юношеский, либо как относящийся к молодому возрасту. Таким образом, каждое из рассмотренных семантических полей представляет собой нечеткое подмножество с размытыми краями. Объекты, попадающие на эти размытые края, относятся к указанным множествам лишь с известной долей достоверности. Так, например, двадцатилетний мужчина может быть с достоверностью 50% отнесен к множеству юношей, и с той же достоверностью – к множеству молодых людей.

Аппарат нечетких множеств может применяться для описания процессов мышления, лингвистических явлений и вообще для моделирования человеческого поведения, при котором допускаются частичные истины, а строгий математический формализм не является категорически необходимым.

Определяющие признаки множества:

1)рассматривается некоторое собрание реально существующих или абстрактных объектов или явлений;

2)это собрание объектов или явлений может быть представлено как одно целое;

3)природа объектов или явлений, входящих в множество, может быть любая, но объекты или явления одного множества должны быть одной природы;

4)все объекты множества должны отличаться друг от друга.

Множества, которые состоят из конечного числа элементов, называются конечными множествами. К числу конечных множеств относится также и пустое множество, т.е. множество, не содержащее ни одного элемента. Введение понятия пустого множества связано с тем, что, определяя тем или иным способом множество, мы не можем

30