2.2.1 Подбор стандартного распределения вероятностей для аппроксимации распределения вероятностей интервалов между заявок

Использование системы массового обслуживания (СМО), в которой учитывается характер распределения интервалов времени между поступлениями сообщений, позволяет получить более точные оценки таких параметров, как время ожидания клиента в очереди и область допустимых значений нагрузки, при которых обеспечивается требуемое качество обслуживания, чем получаемые при использовании марковских моделей. Сравнение результатов экспериментальных исследований и теоретического расчета позволит уточнить закон распределения входящих запросов, влияющий на качество обслуживания.

Длительности промежутков между поступлениями заявок располагаем в порядке возрастания и группируем в соответствии с интервалом разбиения, что позволяет определить функцию плотности распределения входящего потока. Количество интервалов разбиения k рассчитывается по следующей формуле:

(2.1)

где n - количество промежутков между поступлением заявок.

 Определение интервала группировки. Интервал – это значение варьирующего признака, лежащее в определенных границах. Под величиной интервала понимают разность между максимальным и минимальным значениями признака в группе. При этом максимальное значение признака в группе называется верхней границей интервала, а минимальное – нижней границей. В зависимости от степени колеблемости группировочного признака, характера распределения статистической совокупности устанавливаются интервалы равные или неравные. Если вариация признака происходит в сравнительно узких границах и распределение носит равномерный характер, то строят группировку с равными интервалами; величина интервала определяется по формуле:

(2.2)

где x_max – максимальное значение признака в изучаемой совокупности

x_min – минимальное значение признака в изучаемой совокупности

k – количество групп

Таблица 2.2 – Формирование сгруппированного ряда

Диапазон		Эмпирические частоты
Нижняя граница	верхняя граница
0	4	117
4	8	59
8	12	22
12	16	7
16	20	3
20	24	1
24	28	0
28	32	2
итого		212

Таким образом, статистический ряд представляется в виде гистограммы (рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 – Гистограмма интервалов между поступлением заявок

Возможно использование различных критериев согласия, например, критерий ² Пирсона, критерий согласия А.Н. Колмогорова. Использование критерия согласия Колмогорова отличается простотой, однако его применение дает наиболее точный результат только в случае, когда гипотетическое распределение полностью заранее известно. То есть заранее известен не только вид функции, но и ее параметры. При применении критерия ² данное обстоятельство учитывается уменьшением числа степеней свободы распределения ², поэтому для доказательства предположения соответствия статистического распределения теоретическому распределению воспользуемся критерием согласия ².

В случае, когда ни одним из теоретических распределений нельзя описать статистические данные, необходимо подобрать эмпирическое распределение. Таким образом, необходимо подобрать форму распределения входящего потока и выполнить проверку точности подбора. Для того чтобы проверить согласованность теоретического и статистического распределений, воспользуемся гистограммами на рисунке 2.3. Анализ гистограммы, построенной по статистическим данным, позволяет сделать вывод о том, что плотность распределения входящего потока может быть аппроксимирована показательным распределением.

Принимая в качестве оценки параметра λ показательного рас­пределения величину, обратную выборочной средней:

Рассчитаем теоретические частоты

(2.3)

где вероятности попадания случайной величины в частичные интервалы.

Далее, сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона (формула 2.4), приняв число степеней свободы k = s—2, где s — число первоначальных интервалов выборки

(2.4)

Таблица 2.3 – Расчет критерия Пирсона

Диапазон			Эмпирические частоты (		Pi		Теоретические частоты (
Нижняя граница	Нижняя граница
0	4	117		0,550671		116,1916		0,005625
4	8	59		0,247432		52,20825		0,883537
8	12	22		0,111179		23,45868		0,090702
12	16	7		0,049956		10,54066		1,189327
16	20	3		0,022447		4,736225		0,636473
20	24	1		0,010086		2,128123		0,598021
24	28	0		0,004532		0,956227		0,956227
28	32	2		0,002036		0,429661		5,739333
итого			211				211		10,09924

По таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы k=8—2=6 находим критическую точку правосторонней критической области

Так как < —нет оснований отвергнуть гипотезу о рас­пределении выборки по показательному закону. Другими словами, данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.