8. Разбиение, диаметр разбиения, интегральная сумма. Определение и свойства кратных интегралов: интеграл Римана, свойства интегралов). Условия интегрируемости функции. Классы интегрируемых функций.

Пусть множество G измеримо по Жордану в Rn. Совокупность измеримых по Жордану в Rn и попарно непересекающихся множеств G1,…,Gn называется разбиением G, если G=N⋃i=1Gi. Разбиение будем обозначать буквой T.

Пусть d(Gi) есть диаметр множества Gi, то есть d(Gi)=supx∈Gi,y∈Giρ(x,y).

Число l(T)=max¯1,Nd(Gi) будем называть мелкостью разбиения T.

Разбиение T={Gi}, i=¯1,N, будем называть продолжением разбиения T′={G′i}, i=¯1,N, и писать T≺T′, если каждое из множеств Gi является подмножеством некоторого множества G′k. Очевидно, что из T≺T′ следует, что l(T)≤l(T′).

Пусть функция f(x) определена на измеримом по Жордану множестве G, а T есть разбиение множества G:T={Gi},i=¯1,N. Возьмем в каждом из множеств Gi по точке ξi. Выражение σT(f,ξ,G)=N∑i=1f(ξi)m(Gi) называется интегральной суммой Римана функции f(x) на множестве G, соответствующей разбиению T и выборке ξ=(ξ1,…,ξN).    Иногда для краткости будем обозначать сумму Римана просто через σT.

Если функция f(x) ограничена на множестве G, то для любого разбиения T={Gi}, i=¯1,N, определены числа mi=infx∈Gif(x),Mi=supx∈Gif(x).

Выражения ST=N∑i=1Mim(Gi),sT=N∑i=1mim(Gi) называются верхней и нижней суммами Дарбу, соответствующими разбиению T.

Определение.

Число I называется пределом интегральной суммы σT при мелкости разбиения l(T)→0, если для любого ε>0 найдется δ>0 такое, что для любого разбиения T с мелкостью l(T)<δ и для любой выборки выполняется неравенство |I−σT(f,ξ,G)|<ε.

Если число I есть предел интегральной суммы при l(T)→0, то будем писать I=liml(T)→0σT, само число I будем называть кратным интегралом Римана от функции f(x) по множеству G, а функцию f(x) — интегрируемой на множестве G. Для кратного интеграла Римана используются следующие обозначения: ∫Gf(x) dx,∫…∫G⏟n разf(x1,…,xn)dx1…dxn.

В случае n=2 интеграл называется двойным, а в случае n=3 — тройным. Обозначения для двойного и тройного интеграла: ∬Gf(x,y) dx dy,∭Gf(x,y,z) dx dy dz.

Назовем функцию f(x) существенно неограниченной на измеримом по Жордану множестве G⊂Rn, если она неограниченна на любом подмножестве G′⊂G таком, что m(G∖G′)=0.

В дальнейшем рассматриваются только ограниченные функции.

Теорема 1.

(критерий интегрируемости)

Для того чтобы ограниченная функция f(x) была интегрируема на измеримом по Жордану множестве G∈Rn, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 нашлось такое δ>0, что для любого разбиения T с мелкостью l(T)<δ разность верхней и нижней сумм Дарбу была меньше ε, то есть ST−sT→0 при l(T)→0.

Доказательство.

Доказательство теоремы 1 ничем не отличается от соответствующего доказательства для определенного интеграла.

Справедлива более сильная теорема. Но для ее доказательства сформулируем несколько вспомогательных лемм.

Теорема 2.

Для того чтобы функция f(x)f(x), ограниченная на измеримом по Жордану множестве G∈RnG∈Rn, была интегрируемой на множестве GG, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0ε>0 нашлось такое разбиение TT множества GG, что ST−sT<εST−sT<ε.

Доказательство.

∘∘ Необходимость следует из теоремы 1.

Достаточность. Пусть |f(x)|<M|f(x)|<M и пусть для произвольного ε>0ε>0 нашлось разбиение T0T0 множества GG, для которого разность сумм Дарбу меньше ε/2ε/2. Без ограничения общности можно считать, что T0={G01,G~01,…,G0p,G~0p}T0={G10,G~10,…,Gp0,G~p0}, где множества G0iGi0 являются компактами, а сумма мер множеств {G~01,…,G~0p}{G~10,…,G~p0} не превышает ε/(8M)ε/(8M). Это следует из того, что в каждое измеримое множество можно вложить компакт, сколь угодно мало отличающийся от этого множества по мере (это свойство доказано здесь), а при измельчении разбиения разность сумм Дарбу может только уменьшиться.

Обозначим объединение множеств G~0iG~i0 через AA. В силу леммы 2 существует число δ>0δ>0 такое, что расстояние между любыми двумя компактами G0iGi0 превышает δδ. Пусть TT — произвольное разбиение множества GG с мелкостью, не превышающей δδ. В силу леммы 3 множества, составляющие это разбиение, можно разделить на две группы. Множества, входящие в первую группу, целиком лежат в одном из множеств G0iGi0, а множества, входящие во вторую группу, имеют непустое пересечение со множеством AA. В силу леммы 1 сумма мер множеств второй группы не превышает ε/(2M)ε/(2M). Та часть суммы ST−sTST−sT, которая соответствует первой группе, не превышает ε/2ε/2, поскольку при измельчении разбиения разность сумм Дарбу не увеличивается, а часть, соответствующая второй группе, не превышает ε/2ε/2 в силу того, что |f(x)|<M|f(x)|<M, и сумма мер множеств второй группы не превышает ε/(2M)ε/(2M). Таким образом, ST−sT<εST−sT<ε и функция f(x)f(x) интегрируема вследствие теоремы 1. ∙∙

Классы интегрируемых функций.

Теорема 3.

Непрерывная на измеримом по Жордану компакте функция f(x)f(x) интегрируема на этом компакте.

Доказательство.

Напомним, что компакт в RnRn — это ограниченное и замкнутое множество и что функция f(x)f(x), непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на этом компакте (теорема Кантора).

Доказательство теоремы 3 ничем не отличается от соответствующего доказательства теоремы об интегрируемости функции одной переменной, непрерывной на отрезке.

Докажем более общую теорему.

Теорема 4.

Пусть функция f(x)f(x) ограничена на измеримом компакте G⊂RnG⊂Rn и множество ее точек разрыва имеет жорданову меру нуль. Тогда функция f(x)f(x) интегрируема на GG.

Доказательство.

∘∘ Пусть EE есть множество точек разрыва функции f(x)f(x) и m(E)=0m(E)=0. Тогда для любого ε>0ε>0 найдется такое открытое измеримое множество AA, что E⊂AE⊂A и

m(A)<ε4M, где M=supx∈G|f(x)|.m(A)<ε4M, где M=supx∈G|f(x)|.

На замкнутом ограниченном множестве G∖AG∖A функция f(x)f(x) непрерывна, а поэтому интегрируема (теорема 3).

Для любого ε>0ε>0 найдется разбиение {G2,…,GN}=T′{G2,…,GN}=T′ множества G∖AG∖A такое, что

ST′−sT′=∑k=2N(Mk−mk)m(Gk)<ε2.(3)(3)ST′−sT′=∑k=2N(Mk−mk)m(Gk)<ε2.

Пусть G1=A∩GG1=A∩G. Тогда множества {G1,G2,…,GN}{G1,G2,…,GN} образуют разбиение TT множества GG, причем

m(G1)≤m(A)<ε4M.(4)(4)m(G1)≤m(A)<ε4M.

Используя неравенства (3)(3) и (4)(4), получаем

ST−sT=(M1−m1)m(G1)+∑k=2N(Mk−mk)m(Gk)<2Mε4M+ε2=ε.ST−sT=(M1−m1)m(G1)+∑k=2N(Mk−mk)m(Gk)<2Mε4M+ε2=ε.

Так как εε — произвольное положительное число, то вследствие теоремы  функция f(x)f(x) интегрируема на множестве GG. 

Поскольку все перечисленные свойства доказываются так же, как и соответствующие свойства определенного интеграла, то большая часть этих свойств не будет обосновываться подробными доказательствами.

Свойство 1.

Справедливо равенство ∫G1⋅dx=m(G)∫G1⋅dx=m(G).

Доказательство.

∘∘ Для любого разбиения TT выполнено равенство

σT(1,ξ,G)=∑i=1Nm(Gi)=m(G). ∙σT(1,ξ,G)=∑i=1Nm(Gi)=m(G). ∙

Свойство 2.

Если f(x)>0f(x)>0 и f(x)f(x) — интегрируемая на измеримом по Жордану множестве GG функция, то ∫Gf(x) dx≥0∫Gf(x) dx≥0.

Свойство 3.

Если f1(x)f1(x) и f2(x)f2(x) — интегрируемые на множестве GG функции, а αα и ββ — произвольные вещественные числа, то и функция αf1(x)+βf2(x)αf1(x)+βf2(x) интегрируема на GG, причем

∫G(αf1(x)+βf2(x)) dx=α∫Gf1(x) dx+β∫Gf2(x) dx.∫G(αf1(x)+βf2(x)) dx=α∫Gf1(x) dx+β∫Gf2(x) dx.

Свойство 4.

Если f1(x)f1(x) и f2(x)f2(x) — интегрируемые на множестве GG функции и f1(x)≤f2(x)f1(x)≤f2(x) при x∈Gx∈G, то

∫Gf1(x) dx≤∫Gf2(x) dx.∫Gf1(x) dx≤∫Gf2(x) dx.

Свойство 5.

Если функция f(x)f(x) непрерывна на измеримом связном компакте GG, то найдется точка ξ∈Gξ∈G такая, что

∫Gf(x) dx=f(ξ)m(G).(5)(5)∫Gf(x) dx=f(ξ)m(G).

Доказательство.

∘∘ Если m(G)=0m(G)=0, то равенство (5)(5) очевидно. Пусть m(G)>0m(G)>0, μ=minx∈Gfμ=minx∈Gf, M=maxx∈GfM=maxx∈Gf. Тогда μ≤f(x)≤Mμ≤f(x)≤M при x∈Gx∈G, μm(G)≤∫Gf(x) dx≤Mm(G)μm(G)≤∫Gf(x) dx≤Mm(G).Следовательно,

μ≤1m(G)∫Gf(x) dx≤M.μ≤1m(G)∫Gf(x) dx≤M.

Функция, непрерывная на связном множестве и принимающая на нем значения μμ и MM, принимает и все промежуточные значения, а поэтому существует точка ξ∈Gξ∈G такая, что

f(ξ)=1m(G)∫Gf(x) dx. ∙f(ξ)=1m(G)∫Gf(x) dx. ∙

Свойство 6.

Если {Gk}{Gk}, k=1,m¯¯¯¯¯¯¯¯¯k=1,m¯, есть разбиение множества GG, то функция f(x)f(x) интегрируема на множестве GG в том и только том случае, когда она интегрируема на каждом из множеств GkGk, причем

∫Gf(x) dx=∑k=1m∫Gkf(x) dx.(6)(6)∫Gf(x) dx=∑k=1m∫Gkf(x) dx.

Говорят, что формула (6)(6) выражает свойство конечной аддитивности интеграла по области интегрирования.

Свойство 7.

Произведение интегрируемых на измеримом множестве GG функций есть интегрируемая на множестве GG функция.

Свойство 8.

Если функция f(x)f(x) интегрируема на измеримом множестве GG, то функция |f(x)||f(x)| также интегрируема и

∣∣∣∣∫Gf(x) dx∣∣∣∣=∫G|f(x)| dx.(7)

9. Двойные интегралы: сведение двойного интеграла к повторному по прямоугольнику.

10. Двойные интегралы: сведение двойного интеграла к повторному по элементарной области.

Сведение тройного интеграла к повторному по элементарной области.

11. Теорема о замене переменных в двойном интеграле. Формулы замены переменных при переходе к полярной, цилиндрической и сферической системам координат. Приложения кратных интегралов..

Пусть отображение F:Ω→Rn (где Ω⊂Rn — открытое множество) является взаимно однозначным и удовлетворяет вышеуказанным условиям, a G — измеримый компакт с кусочно гладкой границей, лежащий во множестве Ω. Тогда если функция f(x) непрерывна на множестве G′=F(G), то справедлива следующая формула замены переменных в кратном интеграле: ∫G′f(x) dx=∫Gf(φ1(u),…,φn(u))|J(u)| du.

Доказательство.

∘ Рассмотрим плоский случай. Заметим, что в силу свойств непрерывных функций образ G′ компакта G при непрерывном и взаимно однозначном отображении F является компактом, а в силу свойств 1, 2 отображения F граница компакта G′ является кусочно гладкой кривой. Так как кусочно гладкая кривая имеет меру нуль, то компакт G′ измерим. Оба интеграла в формуле (4) существуют как интегралы от функций, непрерывных на компактах.

Поскольку компакт G лежит в открытом множестве Ω, то границы этих множеств не пересекаются. Так как граница любого множества замкнута и граница ограниченного множества ограничена, то в силу леммы о критерии интегрируемости расстояние между ∂G и ∂Ω есть положительное число δ.

Пусть Π есть замкнутый квадрат, содержащий компакт G. Если разбить стороны квадрата Π на равные части длины h<δ, то и сам квадрат Π разобьется на квадратные клетки с площадью h2. Разбиение квадрата Π порождает разбиение T компакта G. Если малый квадрат со стороной h целиком лежит внутри компакта G, то он является элементом разбиения T, а если малый квадрат содержит граничные точки G, то соответствующим элементом разбиения является пересечение этого квадрата с компактом G. Отображение F порождает разбиение T′ компакта G′=F(G), причем элементами разбиения T′ являются образы элементов разбиения T. Из леммы 4 по ссылке следует, что при написании интегральных сумм можно учитывать только слагаемые, соответствующие целым квадратам и их образам при отображении F. Из равномерной непрерывности отображения F следует, что мелкость разбиения T′ стремится к нулю, когда стремится к нулю мелкость разбиения T.

Если малые квадраты Π1,…,ΠN лежат внутри компакта G, то их образы Π′1,…,Π′N лежат внутри G′. Пусть (ui,vi) — координаты точки, лежащей в левом нижнем углу квадрата Πi, а (xi,yi) — образ этой точки при отображении F.

Запишем интегралы, входящие в формулу (4), как пределы интегральных сумм: ∬G′f(x,y) dx dy=limh→0N∑i=1f(xi,yi)m(Π′i),

∬Gf(φ(u,v),ψ(u,v))|J(u,v)| du dv=limh→0N∑i=1f(φ(ui,vi),ψ(ui,vi))|J(ui,vi)|m(Πi).

Для доказательства формулы (4) достаточно показать, что разность этих интегральных сумм стремится к нулю при h→0. В силу леммы 1 |m(Π′i)−|J(ui,vi)|m(Πi)|≤α(h)m(Πi), limh→0α(h)=0.

Принимая во внимание, что φ(ui,vi)=xi,ψ(ui,vi)=yi,|f(x,y)|<M, получаем оценку для разности интегральных сумм |N∑i=1f(xi,yi)m(Π′i)−N∑i=1f(φ(ui,vi),ψ(ui,vi))|J(ui,vi)|m(Πi)|≤≤N∑i=1|f((xi,yi)⋅|m(Π′i)−|J(ui,vi)|m(Πi)|≤≤Mα(h)N∑i=1m(Πi)≤Mα(h)m(G), из которой следует, что эта разность стремится к нулю при h→0.

Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz (рис. 48.11). Задавая положение проекции P′ точки P на плоскость Oxy при помощи полярных координат r, φ, можно положение точки P задать при помощи трех чисел (r,φ,ζ), которые называются цилиндрическими координатами точки P. Цилиндрические координаты связаны с декартовыми координатами следующими формулами: x=rcosφ, y=rsinφ, z=ζ, 0≤φ≤2π, r≥0, −∞<ζ<+∞.

Геометрическое место точек пространства Exyz, для которых r=const, есть прямой круговой цилиндр радиуса r с осью Oz. На плоскостях, параллельных плоскости Oxy, координата ζ=const. На полуплоскостях, проходящих через ось Oz, координата φ=const.

Введем вспомогательное пространство Erφζ, в котором r, φ, ζ являются декартовыми координатами, и рассмотрим в пространстве Erφζ множество T={(r,φ,ζ):r≥0, 0≤φ<2π, −∞<ζ<+∞}.

Отображение F:T→Exyz, определяемое формулами (17), является непрерывно дифференцируемым. Якобиан отображения JF=r. Взаимная однозначность отображения и условие неравенства нулю якобиана нарушаются только на множестве A={(r,φ,ζ):r=0, 0≤φ<2π, ζ∈R}, образом которого при отображении (17) является ось Oz. Пересечение любого ограниченного множества с множеством A есть некоторое ограниченное линейное множество, и поэтому мера Жордана пересечения равна нулю.

Если G⊂Exyz есть область, измеримая по Жордану, a g — ее прообраз при отображении (17), то справедлива формула замены переменных при отображении (17): ∭Gf(x,y,z) dx dy dz=∭gf(rcosφ,rsinφ,ζ)r dr dφ dζ.

Если в цилиндрических координатах область G⊂Exyz может быть задана неравенствами Z1(r,φ)<ζ<Z2(r,φ), R1(φ)<r<R2(φ), α<φ<β, то, сводя интеграл (19) к повторным интегралам, получим следующую формулу: ∭Gf(x,y,z) dx dy dz=β∫αdφR2(φ)∫R1(φ)drZ2(r,φ)∫Z1(r,φ)f(rcosφ,rsin

12. Элементы теории поверхностей.

Площадь поверхности в случае параметрического и явного задания.

13. Криволинейные интегралы 1-го рода.

Определение, свойства, теорема о вычислении с помощью определенного интеграла.

14. Криволинейные интегралы 1-го рода: формулы вычисления для случая плоской кривой (разные способы задания кривой), приложения.

Примеры.

Из курса аналитической геометрии известно, что в каждой паре точек A и B евклидова пространства ставится в соответствие вектор →AB. Для векторов определены операции сложения и умножения на вещественные числа, для любых двух векторов определено их скалярное произведение. Если расстояние между точками определить как ρ(A,B)=|→AB|, то будут удовлетворены все аксиомы метрического пространства и все введенные для метрического пространства понятия переносятся и на евклидово пространство.

Если в евклидовом пространстве фиксирована точка O, то положение любой точки A определяется вектором →OA, и евклидово пространство можно отождествить с векторным пространством E3. Базис из трех линейно независимых векторов определяет координатную систему в евклидовом пространстве. Предполагается, что пространство ориентировано при помощи правой тройки векторов. Свойства объектов, не зависящие от выбора координатной системы, называются инвариантными.

Множество всех векторов, параллельных евклидовой плоскости, образует линейное двумерное пространство E2. Базис из двух линейно независимых векторов определяет координатную систему в E2. Правая пара векторов определяет ориентацию E2.

Определение.

Пусть на некотором множестве, содержащем кривую Γ, задана непрерывная функция R(x,y,z). Если гладкая кривая Γ задана уравнением (1), то определенный интеграл β∫αR(x(t),y(t),z(t))|r′(t)|dt будем называть криволинейным интегралом первого рода от функции R(x,y,z) по кривой Γ и обозначать ∫ΓR(x,y,z)ds. Таким образом, по определению ∫ΓR(x,y,z)ds=β∫αR(x(t),y(t),z(t))|r′(t)|dt.

Свойство 1.

Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

Доказательство.

∘ Предположим, что совершен переход от уравнения кривой (1) к уравнению ρ=ρ(τ), a≤τ≤b, при помощи допустимой замены параметра t=t(τ), удовлетворяющей вышеперечисленным условиям. Делая в интеграле (4) замену переменной t=t(τ), получаем, учитывая, что на каждом из интервалов (ai−1,ai) функция t′(τ)>0: β∫αR(x(t),y(t),z(t))|r′(t)|dt=b∫aR(x(t(τ)),y(t(τ)),z(t(τ)))|drdt(t(τ))|t′(τ)dτ==b∫aR(ξ(τ),η(τ),ζ(τ))|ρ′(τ)|dτ.

После замены параметра можно получить и несобственный интеграл с особыми точками a0,…,an, но форма его такая же, как и у интеграла (4). Поэтому криволинейный интеграл первого рода не зависит от способа параметризации кривой. ∙

Свойство 2.

Криволинейный интеграл первого рода не зависит от ориентации кривой Γ, то есть ∫ΓR(x,y,z)ds=∫Γ−R(x,y,z)ds.

Доказательство.

∘ В самом деле, кривую Γ можно задать уравнением (3). Делая в интеграле (4) замену переменной τ=α+β−t, получаем ∫ΓR(x,y,z)ds=β∫αR(x(t),y(t),z(t))|r′(t)|dt==β∫αR(x(τ=α+β−t),y(τ=α+β−t),z(τ=α+β−t))|r′(τ=α+β−t)|dt==∫Γ−R(x,y,z)ds. ∙

Свойство 3.

Криволинейный интеграл аддитивен относительно кривой: если Γ=(Γ1,…,ΓN), то ∫ΓR(x,y,z)ds=n∑i=1∫ΓiR(x,y,z)ds.

Доказательство.

∘ Свойство 3 следует из определения (4) криволинейного интеграла первого рода и свойства аддитивности определенного интеграла относительно области интегрирования. ∙

Особенно простое выражение для криволинейного интеграла первого рода получается, если в качестве параметра взять переменную длину дуги кривой. Тогда уравнение кривой имеет вид r=r(s), 0≤s≤S, и |r′(s)|=1. Из формулы (4) получаем, что в этом случае ∫ΓR(x,y,z)ds=S∫0R(x(s),y(s),z(s))ds.

15. Криволинейные интегралы 2-го рода. Определение, свойства.

Теорема о вычислении с помощью определенного интеграла и теорема о связи криволинейных интегралов 1-го и 2-го рода.

16. Потенциальные векторные поля.

Потенциальность поля и эквивалентные утверждения о криволинейных интегралах 2-го рода.

17. Поверхностные интегралы 1-го рода. Определение, свойства и теорема (с доказательством) о вычислении с помощью двойного интеграла. Приложения...

Пусть Σ — простая (почти простая) поверхность, заданная векторным уравнением r=r(u,v), (u,v)∈Ω. Пусть на поверхности Σ определена непрерывная функция F(x,y,z). Двойной интеграл (несобственный интеграл) ∬ΩF(x(u,v),y(u,v),z(u,v))|[ru,rv]| du dv будем называть поверхностным интегралом первого рода от функции F(x,y,z) по поверхности Σ и обозначать символом ∬ΣF dS. Таким образом, по определению ∬ΣF dS=∬ΩF(x(u,v),y(u,v),z(u,v))|[ru,rv]| du dv.

Интеграл (1) не зависит от выбора параметрического уравнения поверхности. Это доказывается так же, как и для интеграла, задающего площадь поверхности. Аддитивность интеграла (1) относительно поверхности следует из аддитивности двойного интеграла по области интегрирования.

Если функция F(x,y,z)≥0, то ее можно интерпретировать как плотность материальной поверхности. В этом случае интеграл (1) равен массе поверхности. В самом деле, произвольному разбиению области Ω на области Ωi, i=¯1,n, соответствует разбиение поверхности Σ на простые поверхности Σi, i=¯1,n. Применяя интегральную теорему о среднем, получаем, что S(Σi)=∬Ωi|[ru,rv]| du dv=|[ru,rv]|im(Ωi).

Символ |[ru,rv]|i означает, что значение функции |[ru,rv]| вычислено в некоторой точке (ui,vi)∈Ω. Масса поверхности приближенно равна следующей сумме: n∑i=1F(xi,yi,zi)S(Σi)=n∑i=1F(x(ui,vu),y(ui,vu),z(ui,vu))|[ru,rv]|im(Ωi).

Точное значение массы есть по определению предел этой суммы при мелкости разбиения, стремящейся к нулю, то есть равняется интегралу (1).

Значение величины |[ru,rv]| определяется через коэффициенты первой квадратичной формы поверхности. Подставляя это выражение в формулу (1), получаем следующее выражение для поверхностного интеграла первого рода: ∬ΣF dS=∬ΩF(x(u,v),y(u,v),z(u,v))√EG−F2 du dv.

Пример 1.

Найдем положение центра тяжести однородной полусферы x2+y2+z2=R2, z≥0.

Решение.

△ Без ограничения общности считаем, что плотность ρ=1. Параметризуем полусферу x=Rcosφcosψ, y=Rsinφcosψ, z=sinψ, 0≤φ≤2π, 0≤ψ≤π2.

Мы уже вычисляли коэффициенты квадратичной формы для сферы и выяснили, что √EG−F2=R2cosψ. Масса полусферы равна числу M=∬ΣdS=2π∫0dφπ/2∫0√EG−F2 dψ=2π∫0dφπ/2∫0R2cosψ dψ=2πR2.

Координата zc центра тяжести есть zc=1M∬Σz dS=12πR22π∫0dφπ/2∫0√EG−F2 dψ=12πR22π∫0dφπ/2∫0R3cosψsinψ dψ=R2.

В силу симметрии полусферы xc=yc=0. ▴

Для поверхности Σ, являющейся графиком непрерывно дифференцируемой функции z=f(x,y), (x,y)∈Ω, формула (2) принимает следующий вид: ∬ΣF dS=∬ΩF(x,y,z(x,y))√1+z2x+z2y dx dy.

Для функции F(x,y,z), непрерывной на кусочно гладкой поверхности Σ, поверхностный интеграл определяется как сумма поверхностных интегралов по всем гладким кускам.

Пример 2.

Вычислить поверхностный интеграл ∬ΣdS(1+x+y)2=I по кусочно гладкой поверхности Σ, являющейся границей симплекса T={(x,y,z):x≥0, y≥0, z≥0, x+y+z≤1}.

△ Граница Σ симплекса T состоит из четырех треугольных граней: грань D1 лежит в плоскости z=0, грань D2 лежит в плоскости y=0, грань D3 лежит в плоскости x=0, а грань D4 — в плоскости x+y+z=1. Обозначим поверхностные интегралы по соответствующим граням через I1, I2, I3 и I4.

Воспользовавшись формулой (3), получаем I1=∬D1dx dy(1+x+y)2=1∫0dx1−x∫0dy(1+x+y)2=1∫0(11+x−12) dx=ln2−12.

В силу симметрии подынтегрального выражения в формуле (4) относительно x и y получаем, что I2=I3=∬D2dz dy(1+y)2=1∫0dy(1+y)21−y∫0dz=1∫0(1−y) dy(1+y)2=1−ln2.

Уравнение грани D4 можно записать в виде z=1−x−y, (x,y)∈D1. Применяя формулу (3), получаем I4=∬D4dS(1+x+y)2=∬D1√3dS(1+x+y)2=√3I1.

Складывая интегралы, находим значение интеграла (4): I=I1+I2+I3+I4=(1+√3)I1+2I2=(1+√3)(ln2−12)+2(1−ln2). 

18. Ориентация поверхности.

Поверхностные интегралы 2-го рода и их свойства; вычисление с помощью двойного интеграла.

Физический смысл поверхностного интеграла 2 рода.

19. Дивергенция.

Теорема Гаусса-Остроградского и ее следствия (с доказательством).

20. Формула Грина (с доказательством)

Доказательство

ее следствие (вычисление площади).

Условие потенциальности плоских векторных полей.

21. Ротор. Формула Стокса (с доказательством). Условие потенциальности векторных полей в пространстве.

Формула Стокса (с доказательством)

22 Элементы теории поля: оператор , правила действия с ним, запись известных операций над полями с помощью .

Проинтерпритируем формулы для криволинейных и поверхностных интегралов физически.

Опред. Если с каждой точкой некоторой пространственной области связана некоторая скалярная или векторная величина, то говорят, что в этой области определено скалярное или векторное поле.

Примером скалярного поля явл., например, поле температур.

Если при этом в пространстве задана нек. система координат, то скалярное поле может быть задано функцией 3-х переменных u = u ( x, y, z ).

Примером векторного поля является силовое поле ( поле сил ).

Для задания векторного поля надо задать упорядоченную тройку функций P ( x,y,z ) ,

Q ( x,y,z ) , R ( x,y,z ). Тогда само векторное поле   .

Опред. Пусть u ( x, y, z ) – некоторое скалярное поле, определённое в некоторой области 3-х мерного пространства. Тогда вектор-функция   называется градиентом скалярного поля u.

Т. о. всякое скалярное поле, если оно задаётся функцией, обладающей тремя частными производными первого порядка всегда порождает векторное поле градиента этого скалярного поля.

Рассмотрим набла-оператор ( оператор Гамильтона ) :   .

Тогда иначе градиент можно записать так   ( справа- произведение вектора   на скаляр u.

Градиент скалярного поля u показывает направление наибольшего роста функции u = u ( x, y, z ).

Величиной градиента наз. скалярное поле 

Опред. Рассмотрим векторное поле   и ориентированную поверхность (S). Потоком векторного поля   через поверхность (S) за единицу времени будем называть след. величину   или   . Иначе говоря, поверхностным интегралом 2 рода выражается поток векторного поля через повехность (S) за единицу времени.

Опред. Всякое векторное поле   порожает скалярное поле   , называемое дивергенцией ( расходимостью ) векторного поля   . Понятие дивергенции характеризует плотность источников поля в единице объёма.

С помощью дивергенции формула Остроградского- Гаусса примет вид:

Перейдём к криволинейным интегралам. Криволинейный интеграл 2 рода   представляет себе работу, выполняемую силами поля   по перемещению материальной точки единичной массы вдоль кривой L.

Опред. Интеграл по замкнутому контуру   равен работе по перемещению мат. точки по замкнутой кривой и наз. циркуляцией поля   вдоль замкнутой кривой L:

Опред. Ротором ( вихрем ) векторного порля   наз след. вектор:

Тогда формула Стокса принимает вид   . Она связывает циркуляцию поля   с потоком ротора этого поля через поверхность (S).

Градиент, ротор и дивергенцию удобно представлять с помощью оператора Гамильтона 

23. Повторные дифференциальные операции с полями.

Оператор Лапласа.

В декартовых координатах

Разложение поля в сумму потенциального и соленоидального поля.

24. Интегральные операции над векторными полями. Поток поля, дивергенция, соленоидальные поля. Закон сохранения интенсивности векторной трубки.

В векторном анализе различают интеграл по переменной t (интеграл по параметру) и более сложные линейные, поверхностные и объемные интегралы от скалярных и векторных функций.

1. Интеграл от вектора по параметру. Рассмотрим вектор       , что эквивалентно развернутой записи a_x = a_x(t), a_y = a_y(t), a_z = a_z(t). Пусть t₁ и t₂ – два произвольных значения переменной t. По определению имеем:

т.е. интегрирование фактически производится по каждой проекции векторной функции отдельно.

 

2.Линейный интеграл и циркуляция вектора. Пусть в каждой точке M области D двумерного или трехмерного пространства задано векторное поле   , МÎD. Пусть в области D определена дуга АВ (некоторая пространственная, в частном случае – плоская кривая с выбранным направлением обхода от точки А к точке В). Будем считать, что дуга АВ может быть представлена конечной совокупностью направленных отрезков   . Составим скалярное произведение вида   , где   ÎАВ и произведем суммирование указанных произведений. Линейным интегралом от векторного поля   по дуге АВ назовем следующий предел:

При практическом вычислении линейного интеграла важно помнить, что   , при этом действительно независимой величиной является одна из проекций dx, dy или dz, две другие связаны с выбранной величиной и определяются направлением отрезка   в пространстве.

Линейный интеграл от векторного поля   , по замкнутой пространственной или плоской кривой L:   называют циркуляцией вектора   по контуру L, (при записи циркуляции у значка интеграла кружок символизирует замкнутый контур). В общем случае и линейный интеграл и циркуляция зависят от конкретной формы кривой. Заметим, что при смене направления обхода дуги АВ или замкнутой кривой L, линейный интеграл и циркуляция вектора меняют знак на противоположный.

3.Интеграл от скалярной величины по поверхности.Пусть в некоторой области D поверхности S задано скалярное поле j(М), где МÎD. Допустим, что область D является объединением конечного числа элементов поверхности DS_i без общих точек, исключая граничные точки элементов. Составим сумму произведений вида

 , 

и вычислим предел этой суммы при ( DS_i )_max® 0. Интегралом от скалярной величины по поверхности D назовем указанный предел:

При практическом вычислении описываемого интеграла важно уметь вычислить явно выражение для площади элемента поверхности dS. Если поверхность S задана уравнением вида F(x,y,z)=0 ( действительно, это неявное задание, например, аппликаты z через абсциссу x и ординату y ), то для произвольной точки поверхности M(x,y,z) можно определить нормаль к поверхности   и вычислить модуль направляющего косинуса нормали   , например. Элемент поверхности dS при этом можно вычислить по формуле

если величина   не обращается в нуль. Если это не так, аналогичные вычисления можно проделать с другой проекцией вектора нормали.

4.Поток вектора через поверхность. Рассмотрим произвольную поверхность S. Выделим на рассматриваемой поверхности элемент поверхности dS в окрестности точки M(x,y,z) и вычислим единичную нормаль   к этому элементу. Нормаль   однозначно определяет ориентацию в пространстве элемента dS. Произведение   часто обозначают   , считая, что тем самым построен вектор элемента поверхности.

Если в точке М задана векторная величина   , то можно ввести понятие элементарного потока вектора   через площадку   как скалярное произведение рассматриваемых векторов

Вторая форма записи величины dФ удобна тем, что перед обычным дифференциалом площади поверхности стоит скалярная величина, интегрирование которой подробно рассмотрено в предыдущем разделе.

Потоком вектора   через поверхность Sназывают интеграл

Потоком вектора   через замкнутую поверхность S называют интеграл

 ,

где кружок у знака интеграла отмечает это особое свойство области интегрирования. Поток вектора через поверхность является скалярной величиной.

Происхождение понятия «поток вектора» связано с гидромеханикой. Если векторное поле – поле скорости жидкости   , то поток вектора   через поверхность S, т. е. величина

численно равна объемному расходу жидкости через эту поверхность (объёму жидкости, протекающий через поверхность S за единицу времени), если при этом жидкость несжимаема (r=const, где r - объемная плотность жидкости), то объемный расход пропорционален массовому расходу жидкости ( массе жидкости, протекающей через поверхность S за единицу времени). Если поверхность S является замкнутой, то массовый расход жидкости

 ,

где   – внешняя нормаль к элементу поверхности dS, либо равен нулю (все, что втекает, то и вытекает – закон сохранения массы), либо не равен нулю (внутри поверхности S имеются «источники» или «стоки» массы). Из изложенного следует, что поток вектора через замкнутую поверхность является количественной мерой суммарной мощности источников описываемого векторного поля в рассматриваемой области.

Графическая иллюстрация потока вектора через поверхность S возможна с привлечением понятия «проводимые векторные линии», описанного выше. Если для заданного векторного поля поверхность S обладает тем свойством, что каждый ее бесконечно малый элемент перпендикулярен векторной линии в точке, через которую эта линия проходит, то поток вектора можно считать (в соответствующем масштабе) равным числу проводимых векторных линий, пронизывающих поверхность S: Ф=N. На рис. П.1.9 показаны «проводимые» силовые линии, пронизывающие две поверхности, поток векторного поля через которые сохраняет свою величину.

25. Инвариантность определения дивергенции.

Циркуляция.

Инвариантность определения ротора.

26. Формулы Грина в пространстве (два утверждения с доказательством).

Теорема.

Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывно дифференцируемы в односвязной области Ω⊂R2, а простой кусочно гладкий контур Γ⊂Ω ограничивает область G⊂Ω. Тогда справедлива формула Грина ∫∂GP dx+Q dy=∬G[∂Q(x,y)∂x−∂P(x,y)∂y] dx dy, где ∂G есть положительно ориентированная граница области G.

Доказательство.

∘ Докажем сначала формулу (1) в наиболее простом случае, когда область G еще и элементарна относительно обеих координатных осей, то есть существуют такие кусочно непрерывно дифференцируемые и непрерывные функции φ(x), ψ(x), x∈[a,b], и α(y), β(y), y∈[c,d], что (рис. 51.2) ¯G={(x,y):a≤x≤b, φ(x)≤y≤ψ(x)}={(x,y):c≤y≤d, α(x)≤x≤β(x)}.

Примерами таких областей являются внутренности круга, эллипса, треугольника.

Применяя формулу сведения двойного интеграла к повторному, получаем равенства ∬G∂P∂y(x,y) dx dy=−b∫adxψ(x)∫φ(x)∂P∂y(x,y) dx dy==b∫aP(x,φ(x))dx−b∫aP(x,ψ(x))dx==∫ABCDP dx+∫DEP dx+∫EFMNP dx+∫NAP dx=∫∂GP dx.

При выводе формулы (2) была использована формула для криволинейного интеграла ∫ΓP dx по кривой Γ, являющейся графиком функции. Добавленные интегралы по вертикальным отрезкам DE и NA равны нулю, так как на этих отрезках x=const.

Аналогично доказывается формула ∬G∂Q(x,y)∂x dx dy=∫∂GQ(x,y) dy.

Складывая равенства (2) и (3), получаем формулу Грина (1).

Пусть теперь область G по-прежнему ограничена кусочно гладкой замкнутой кривой ∂G. Предположим, что ее можно кусочно гладкой простой кривой Γ (перегородкой) разбить на две области простейшего вида, рассмотренные выше (рис. 51.3). Тогда ∂G1=Γ∪Γ1, ∂G2=Γ−∪Γ2.

Применяя формулу Грина в каждой из областей G1G1 и G2G2, получаем

∬G1[∂Q(x,y)∂x−∂P(x,y)∂y] dx dy=∫∂GP dx+Q dy=∫Γ1P dx+Q dy+∫ΓP dx+Q dy,∬G1[∂Q(x,y)∂x−∂P(x,y)∂y] dx dy=∫∂GP dx+Q dy=∫Γ1P dx+Q dy+∫ΓP dx+Q dy,

∬G1[∂Q(x,y)∂x−∂P(x,y)∂y] dx dy=∫Γ2P dx+Q dy+∫Γ−P dx+Q dy.∬G1[∂Q(x,y)∂x−∂P(x,y)∂y] dx dy=∫Γ2P dx+Q dy+∫Γ−P dx+Q dy.

Складывая эти два равенства и учитывая, что криволинейные интегралы по противоположно ориентированным кривым ΓΓ и Γ−Γ− взаимно уничтожаются, получаем, что формула Грина (1) верна для области G=G1∪G2G=G1∪G2.

При помощи математической индукции теперь легко обобщить формулу Грина на односвязную область, которая при помощи n−1n−1 непересекающихся гладких перегородок разбивается на области G1,…,GnG1,…,Gn простейшего вида (рис. 51.3). В частности, формула Грина обобщается на многоугольные области, ограниченные простыми замкнутыми ломаными. В общем случае можно доказать формулу Грина, аппроксимируя область с кусочно гладкой границей многоугольной областью.