5. Эйлеровы интегралы: бета-функция и ее свойства (8 утверждений). Два вида записи бета-функции. Вычисление интеграла .

Интеграл

B(x,y)=∫01tx−1(1−t)y−1dt,(7)(7)B(x,y)=∫01tx−1(1−t)y−1dt,

зависит от двух параметров и называется бета-функцией Эйлера или эйлеровым интегралом первого рода.

У интеграла две особых точки, t=0t=0 и t=1t=1. Записывая интеграл (7) в виде

B(x,y)=∫01/2tx−1(1−t)y−1dt+∫1/21tx−1(1−t)y−1dt,B(x,y)=∫01/2tx−1(1−t)y−1dt+∫1/21tx−1(1−t)y−1dt,

получаем, что первый интеграл сходится при x>0x>0, а второй при y>0y>0, так что бета-функция определена при x>0x>0, y>0y>0.

Опишем свойства бета-функции.

Свойство 1.B(x,y)=B(y,x)B(x,y)=B(y,x).

Доказательство.

 Делая замену переменной τ=1−tτ=1−t, получаем

B(y,x)=∫01ty−1(1−t)x−1dt=∫01(1−τ)y−1τx−1dτ=B(x,y). 

Свойство 2.Справедливы формулы

B(x,y)=∫0+∞ux−1du(1+u)x+y=∫01ux−1+uy−1(1+u)x+y du.(8)(8)B(x,y)=∫0+∞ux−1du(1+u)x+y=∫01ux−1+uy−1(1+u)x+y du.

Доказательство.

∘∘ Первая из формул (8) получается, если в интеграле (7) сделать замену переменной t=u1−ut=u1−u. Вторая формула (8) получается из первой, если разбить интеграл на два: по отрезку [0,1][0,1] и интервалу (1,+∞(1,+∞), и во втором интеграле сделать замену переменной 1u=v1u=v. 

Свойство 3.

Справедлива формула

B(x,1−x)=∫0+∞ux−11+u du=πsinxπ, 0<x<1.(9)(9)B(x,1−x)=∫0+∞ux−11+u du=πsin⁡xπ, 0<x<1.

Доказательство.

∘∘ Полагая в формуле (8)(8) y=1−xy=1−x и пользуясь тождеством

11+u=∑k=0n(−1)kuk+(−1)n+1un+11+u,11+u=∑k=0n(−1)kuk+(−1)n+1un+11+u, получаем

B(x,1−x)=∫0+∞ux−11+u du=∫01ux−1+u−x1+u du==(−1)n+1∫01un+11+u(ux−1+u−x) du+∑k=0n(−1)k(1k+x+1k−x+1).(10)(10)B(x,1−x)=∫0+∞ux−11+u du=∫01ux−1+u−x1+u du==(−1)n+1∫01un+11+u(ux−1+u−x) du+∑k=0n(−1)k(1k+x+1k−x+1).

Так как

0≤∫01un+1(ux−1+u−x)1+u du≤∫01(un+x+un+1−x) du=1n+x+1+1n+2−x,0≤∫01un+1(ux−1+u−x)1+u du≤∫01(un+x+un+1−x) du=1n+x+1+1n+2−x, то, переходя в формуле (10) к пределу при n→+∞n→+∞, получаем

B(x,1−x)=∑k=0n(−1)k(1k+x+1k−x+1)==1x+∑k=0n(−1)k(1k+x+1x−k)=πsinπx.B(x,1−x)=∑k=0n(−1)k(1k+x+1k−x+1)==1x+∑k=0n(−1)k(1k+x+1x−k)=πsin⁡πx.

Последняя формула получается при z=πxz=πx из формулы, задающей разложение 1sinz1sin⁡z на элементарные дроби. ∙

Свойство 4.

B(x,y)B(x,y) выражается через гамма-функцию, а именно

B(x,y)=Γ(x)Γ(y)Γ(x+y).(11)(11)B(x,y)=Γ(x)Γ(y)Γ(x+y).

Доказательство.

∘∘ В интеграле Γ(x)=∫0+∞ts−1e−tdtΓ(x)=∫0+∞ts−1e−tdt сделаем замену переменной t=(1+u)vt=(1+u)v, v>0v>0, и положим s=x+ys=x+y. Тогда

Γ(x+y)(1+u)x+y=∫0+∞vx+y−1e−(1+u)vdv.Γ(x+y)(1+u)x+y=∫0+∞vx+y−1e−(1+u)vdv. Умножим это равенство на ux−1ux−1 и проинтегрируем по uu от 0 до +∞+∞. В левой части, пользуясь формулой (8), получим произведение Γ(x+y)B(x,y)Γ(x+y)B(x,y), а в правой — изменим порядок интегрирования. Тогда

B(x,y)Γ(x+y)==∫0+∞du∫0+∞ux−1vx+y−1e−(1+u)vdv=∫0+∞dv∫0+∞ux−1vx+y−1e−ve−uvdu.B(x,y)Γ(x+y)==∫0+∞du∫0+∞ux−1vx+y−1e−(1+u)vdv=∫0+∞dv∫0+∞ux−1vx+y−1e−ve−uvdu. Сделаем еще замену переменной uv=tuv=t. Тогда

B(x,y)Γ(x+y)=∫0+∞dv∫0+∞tx−1vy−1e−ve−tdt==∫0+∞vy−1e−vdv∫0+∞tx−1e−tdt=Γ(x)Γ(y).B(x,y)Γ(x+y)=∫0+∞dv∫0+∞tx−1vy−1e−ve−tdt==∫0+∞vy−1e−vdv∫0+∞tx−1e−tdt=Γ(x)Γ(y).

Обоснование изменения порядка интегрирования производится при помощи теоремы 7 отсюда аналогично тому, как это делалось в примере при вычислении интеграла вероятностей (интеграл Эйлера-Пуассона). 

6. Интеграл Фурье.

Теоремы о представимости функции интегралом Фурье.

Примеры.

Преобразование Фурье (прямое, обратное).

7 Клетки, клеточные тела, множества, измеримые по Жордану. Мера Жордана. Критерий измеримости множества по Жордану.

Множества A и B называют непересекающимися, если A∩B=∅. Говорят, что множества A1,…,An попарно не пересекаются, если для любых i,j∈{1,…,n} множества Ai и Aj непересекающиеся. Совокупность множеств {A1,An} будем называть разбиением множества A, если A=N⋃i=1Ai и множества A1,…,An попарно не пересекаются.

Определение.

Множество Π={(x1,…,xn):ai≤xi<bi, i=¯1,n} будем называть клеткой в Rn. Пустое множество также считается клеткой.

Полуинтервал [a,b) является клеткой в R. Клетками в R2 и R3 являются прямоугольники и прямоугольные параллелепипеды, у которых удалены соответствующие стороны или грани.

Множество A∈Rn будем называть клеточным, если оно является объединением конечного числа попарно непересекающихся клеток.

Клеточное множество может быть разбито на клетки бесконечным множеством способов.

Свойство 1.

Пересечение двух клеток есть клетка.

Доказательство.

∘ Для доказательства достаточно заметить, что пересечение двух полуинтервалов [a,b) и [c,d) является либо пустым множеством, либо полуинтервалом такого же вида. ∙

Свойство 2.

Объединение конечного числа непересекающихся клеточных множеств является клеточным множеством.

Свойство 3.

Пересечение двух клеточных множеств есть клеточное множество.

Доказательство.

∘ Если клетки Π1,…,Πp образуют разбиение клеточного множества A, а клетки Π‘1,…,Π‘q образуют разбиение клеточного множества B, то клетки Πij=Πi∩Πj при i=1,p¯¯¯¯¯¯¯, i=1,q¯¯¯¯¯¯¯ образуют разбиение множества A∩B. ∙

Свойство 4.

Разность двух клеток есть клеточное множество.

Доказательство.

∘ Если клетка R является пересечением клеток Π и Q, то Π/Q=Π/R и существует такое разбиение клетки Π, что клетка R является одной из клеток разбиения. Для того чтобы в этом убедиться в плоском случае (в R2), достаточно провести через вершины прямоугольника R прямые, параллельные сторонам Π. Удаляя из разбиения Π клетку R, получаем, что Π/R — клеточное множество. ∙

Свойство 5.

Разность двух клеточных множеств есть клеточное множество.

Доказательство.

∘ Пусть клеточное множество A разбито на клетки Π1,…,Πp и Q — некоторая клетка. В силу свойства 4 множества Ki=Πi∖Q являются попарно непересекающимися клеточными множествами. Множество A∖Q совпадает с объединением всех Ki и является клеточным множеством в силу свойства 3. Если клетки Π‘1,…,Π‘m образуют разбиение клеточного множества B, то множество A∖B можно получить, последовательно вычитая из A клетки Π‘1,…,Π‘m. Так как на каждом шаге этого процесса получается клеточное множество, то и множество A∖B, образующееся за конечное число таких шагов, является клеточным. ∙

Свойство 6.

Объединение конечного числа клеточных множеств есть клеточное множество.

Доказательство.

∘ Если A и B — клеточные множества, то в силу свойства 3 и свойства 5 непересекающиеся множества A∖B, B∖A и A∩B являются клеточными. В силу свойства 2 их объединение, совпадающее с A∪B, является клеточным множеством. ∙

Мера клеточного множества.

Определение.

Мерой m(Π) клетки (1) назовем число

m(Π)=(b1−a1)…(bn−an).(2)

Мера пустого множества равна нулю по определению.

В частности, мера полуинтервала равна его длине, мера прямоугольника равна его площади, мера параллелепипеда равна его объему.

Если клетки Π1,…,Πp образуют разбиение клеточного множества A, то мерой m(A) множества A назовем число

m(A)=∑i=1pm(Πi).(3)

Корректность определения (3) доказывает следующая лемма.

Множество Ω⊂RnΩ⊂Rn называется измеримым по Жордану, если для любого ε>0ε>0 найдутся два клеточных множества AA и BB такие, что A⊂Ω⊂BA⊂Ω⊂B и m(B)−m(A)<εm(B)−m(A)<ε.

Если ΩΩ — измеримое по Жордану множество, то его мерой m(Ω)m(Ω) называется такое число, что для любых двух клеточных множеств AA и BB, удовлетворяющих условию A⊂Ω⊂BA⊂Ω⊂B, выполнено неравенство m(A)≤m(Ω)≤m(B)m(A)≤m(Ω)≤m(B).

Необходимость. Из измеримости ΩΩ следует, что для любого ε>0ε>0 найдутся такие клеточные множества AA и BB, что A⊂E⊂BA⊂E⊂B и m(B)−m(A)<εm(B)−m(A)<ε. В силу свойства 4 меры клеточных множеств без ограничения общности можно считать, что множество AA не содержит граничных точек множества ΩΩ, а множество BB содержит все граничные точки ΩΩ. Клеточное множество B∖AB∖A содержит ∂Ω∂Ω, и мера его меньше εε. В силу свойства 1 множество ∂Ω∂Ω имеет жорданову меру нуль.

Достаточность. Пусть m(∂Ω)=0m(∂Ω)=0 и ΩΩ — ограниченное множество в RnRn. Заключим множество ΩΩ в клетку ΠΠ. Возьмем произвольное ε>0ε>0 и построим клеточное множество CC такое, что ∂Ω⊂C∂Ω⊂C и m(C)<εm(C)<ε. Тогда Π∖CΠ∖C — клеточное множество, не содержащее граничных точек множества ΩΩ. Пусть Π∖C=⋃i=1NΠiΠ∖C=⋃i=1NΠi. Так как клетка ΠiΠi не содержит граничных точек множества ΩΩ, то в силу леммы 3 либо Πi∩Ω=∅Πi∩Ω=∅, либо Πi⊂ΩΠi⊂Ω. Занумеруем клетки ΠiΠi в таком порядке, что Π1,…,Πl⊂ΩΠ1,…,Πl⊂Ω, а Πl+1,…,ΠNΠl+1,…,ΠN имеют с ΩΩ пустое пересечение. Пусть A=⋃i=1lΠiA=⋃i=1lΠi и B=A∪C=Π∖(⋃i=l+1NΠi)B=A∪C=Π∖(⋃i=l+1NΠi). Тогда A⊂Ω⊂BA⊂Ω⊂B и m(B)−m(A)=m(C)<εm(B)−m(A)=m(C)<ε. Следовательно, множество ΩΩ измеримо по Жордану.

Свойство 1.

Если множества Ω1Ω1 и Ω2Ω2 измеримы по Жордану, то Ω1∩Ω2Ω1∩Ω2, Ω1∖Ω2Ω1∖Ω2 и Ω1∪Ω2Ω1∪Ω2 измеримы по Жордану.

Доказательство.

∘∘ Измеримые по Жордану множества Ω1Ω1 и Ω2Ω2 ограничены и в силу теоремы1 m(∂Ω1)=m(∂Ω2)=0m(∂Ω1)=m(∂Ω2)=0, поэтому и m(∂Ω1∪∂Ω2)=0m(∂Ω1∪∂Ω2)=0. Но

∂(Ω1∩Ω2)⊂∂Ω1∪∂Ω2,∂(Ω1∖Ω2)⊂∂Ω1∪∂Ω2,∂(Ω1∩Ω2)⊂∂Ω1∪∂Ω2,∂(Ω1∖Ω2)⊂∂Ω1∪∂Ω2,

∂(Ω1∩Ω2)⊂∂Ω1∪Ω2.∂(Ω1∩Ω2)⊂∂Ω1∪Ω2. Поэтому

m(∂(Ω1∩Ω2))=m(∂(Ω1∖Ω2))=m(∂(Ω1∩Ω2))=0.m(∂(Ω1∩Ω2))=m(∂(Ω1∖Ω2))=m(∂(Ω1∩Ω2))=0.

В силу теоремы 1 множества Ω1∩Ω2Ω1∩Ω2, Ω1∖Ω2Ω1∖Ω2, Ω1∪Ω2Ω1∪Ω2 измеримы по Жордану. ∙∙

Свойство 2.

Если множества ΩiΩi при i=1,n¯¯¯¯¯¯¯¯i=1,n¯ измеримы по Жордану, то и множество ⋃i=1NΩi⋃i=1NΩi измеримо по Жордану и

m(⋃i=1NΩi)≤∑i=1Nm(Ωi).(10)(10)m(⋃i=1NΩi)≤∑i=1Nm(Ωi).

Если множества Ωi,…,ΩnΩi,…,Ωn попарно не пересекаются, то

m(⋃i=1NΩi)=∑i=1Nm(Ωi).(11)(11)m(⋃i=1NΩi)=∑i=1Nm(Ωi).

Доказательство.

∘∘ Рассмотрим случай n=2n=2. Если Ω1Ω1 и Ω2Ω2 — измеримые по Жордану множества, то в силу свойства 1 множество Ω1∪Ω2Ω1∪Ω2 измеримо по Жордану. Из леммы 2 следует, что для любого ε>0ε>0 найдутся клеточные множества B1B1 и B2B2 такие, что

Ω1⊂B1, Ω2⊂B2, m(Ω1)>m(B1)−ε2, m(Ω2)>m(B2)−ε2.Ω1⊂B1, Ω2⊂B2, m(Ω1)>m(B1)−ε2, m(Ω2)>m(B2)−ε2.

Тогда B1∪B2B1∪B2 есть клеточное множество, содержащее множество Ω1∪Ω2Ω1∪Ω2. Используя свойство 3 клеточных множеств, получаем, что

m(Ω1∪Ω2)≤m(B1∪B2)≤m(B1)+m(B2)<m(Ω1)+m(Ω2)+ε.(12)(12)m(Ω1∪Ω2)≤m(B1∪B2)≤m(B1)+m(B2)<m(Ω1)+m(Ω2)+ε.

Так как ε>0ε>0 произвольно, то

m(Ω1∪Ω2)≤m(Ω1)+m(Ω2).(13)(13)m(Ω1∪Ω2)≤m(Ω1)+m(Ω2). Пусть Ω1∪Ω2=∅Ω1∪Ω2=∅. В силу леммы 2 найдутся клеточные множества A1A1 и A2A2 такие, что

A1⊂Ω1, m(A1)>m(Ω1)−ε2, A2⊂Ω2, m(A2)>m(Ω2)−ε2.A1⊂Ω1, m(A1)>m(Ω1)−ε2, A2⊂Ω2, m(A2)>m(Ω2)−ε2. Тогда A1∪A2A1∪A2 есть клеточное множество, содержащееся в множестве Ω1∪Ω2Ω1∪Ω2. Так как множества A1A1 и A2A2 не пересекаются, то

m(Ω1∪Ω2)≥m(A1∪A2)=m(A1)+m(A2)>m(Ω1)+m(Ω2)−ε.m(Ω1∪Ω2)≥m(A1∪A2)=m(A1)+m(A2)>m(Ω1)+m(Ω2)−ε. В силу произвольности εε отсюда следует, что

m(Ω1∪Ω2)≥m(Ω1)+m(Ω2).(14)(14)m(Ω1∪Ω2)≥m(Ω1)+m(Ω2). Из  (13) и (14) заключаем, что при Ω1∩Ω2=∅Ω1∩Ω2=∅ должно быть выполнено равенство m(Ω1∪Ω2)=m(Ω1)+m(Ω2)m(Ω1∪Ω2)=m(Ω1)+m(Ω2).

Применяя метод математической индукции, из неравенства (13) легко вывести справедливость неравенства (10) для любого n∈Nn∈N. При помощи аналогичных рассуждений из справедливости равенства (11) для n=2n=2 выводится справедливость этого равенства для любого n∈Nn∈N.