Mat_bibl_12_13_zaoch
.pdf
—1ln4 x2 C 2
—2ln4 x2 C
Интеграл |
|
2x 3 |
dx равен |
x2 |
|
||
|
3x 5 |
||
—ln x2 3x 5 C
—1ln x2 3x 5 C 2
—ln x2 3x x2 x C
5
1
— 2 x2 3x 5 2 C
Интеграл dx равен tgx
—lntgx C
—ctgx C
—lnsinx C
—lnsinx C
Интеграл dx равен ctgx
—lnctgx C
—tgx C
—lncosx C
—lncosx C
Интеграл dx равен tg2 x
—tgx x C
—ctgx x C
—1 C
tgx
— tgx x C
Интеграл |
|
dx |
равен |
3x 2 3 |
1
— 2 3x 2 2 C
— ln3x 23 C
1
— 6 3x 2 2 C
1
— 12 3x 2 4 C
Интеграл |
|
dx |
|
равен |
|
|
|
|
|||
5 4x |
|||||
|
|
|
|
—
5 4x C
2
—1ln 5 4x C 2
— |
1 |
|
|
|
|
C |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
6 5 4x 3 |
|||||||||
— 2 |
|
|
|
C |
||||||
|
5 4x |
|||||||||
Интеграл |
|
|
xdx |
|
равен |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
9 x2 |
||||
—arcsin x C 3
—
9 x2 C
—
9 x2 C
4
—
9 x2 C
cos 1
Интеграл |
x |
dx равен |
|
||
|
x2 |
|
— 1cos2 1 C
2x
—sin 1 C x
—2cos2 1 C x
—sin 1 C x
Интеграл sec2 xdx равен
—1sec3 x C
3
—ctgx C
—tgx C
—tgx C
sin 1
Интеграл x2xdx равен
—cos1 C x
—cos 1 C x
—1sin2 1 C
2x
—cos 1 C
x2
Множество первообразных функции f x x 7 имеет вид x 3
— x 4ln x 3 C
— x 2 C
x 3 2
—x2 7x C
2
—x 7ln x 3 C
Множество первообразных функции f x x 6 имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
— x 6ln |
|
|
|
|
x 2 |
|
C |
||||||
|
|
|
|
||||||||||
— x 4ln |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
C |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
— x |
|
|
|
C |
|||||||||
x 2 2 |
|||||||||||||
— x 4ln |
|
x 2 |
|
|
C |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
Интеграл ecos x sin xdx равен
—esin x cosx C
—ecos x C
—ecos x C
— ecos x cosx C
ТЕМА 8. Определенные и несобственные интегралы
b
В выражении f (x)dx
a
функция f (x) называется
—подынтегральным выражением
—интегральной суммой
—подынтегральной функцией
—переменной интегрирования
b b
Если на отрезке a;b , где a b, f (x)dx≤ g(x)dx, то
a |
a |
— f (x) g(x) |
|
— f (x) g(x) |
|
— f (x)≤g(x) |
|
— f (x) g(x) |
|
Если функция интегрируема на отрезке a;b , где a b, и m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения на отрезке a;b , то
b
— m(b–a)≤ f (x)dx≤M (b–a)
a
b
— m(a–b)≤ f (x)dx≤M (a–b)
a
a
— m(b–a)≤ f (x)dx≤M (b–a)
b
b
— M (b–a)≤ f (x)dx≤m(b–a)
a
Функция y f (x)интегрируема на отрезке a;b , если она
—непрерывна на этом отрезке
—монотонна на этом отрезке
—неотрицательна на этом отрезке
—положительна на этом отрезке
В формуле интегрирования по частям для определенного интеграла
b |
ba |
b |
udv uv |
vduфункции u u(x) и v v(x) |
|
a |
|
a |
—непрерывны и дифференцируемы на отрезке a;b
—неположительны на отрезке a;b
—постоянны на отрезке a;b
—неотрицательны на отрезке a;b
Значение определенного интеграла зависит
—только от отрезка a;b
—только от подынтегральной функции f (x)
—от отрезка интегрирования a;b и от подынтегральной функции f (x)
—от способа вычисления определенного интеграла
Если функция f (x)интегрируема и неотрицательна на a;b , гдеa b, то значение определенного интеграла будет
—положительным
—неотрицательным
—отрицательным
—любым
Теорема о среднем значении определенного интеграла выполняется, если функция
—имеет конечное число точек разрыва первого рода
—ограничена на отрезке a;b
—неотрицательна на a;b
—непрерывна на отрезке a;b
Если функция f (x)интегрируема и отрицательна на a;b , гдеb a, то значение определенного интеграла будет
—отрицательным
—положительным
—равно 0
—неположительным
Несобственный интеграл f (x)dxсходится, если
a
b
— Lim f (x)dx
b a
b
— Lim f (x)dx –конечное число
b a
b
— Lim f (x)dx
b a
b
— Lim f (x)dx не существует
b a
Если F(x) – первообразная к функции f(x) на [a,b], то значение определенного
b
интеграла f (x)dxравно
a
—F(a) – F(b)
—F(x) + С
—F(b) – F(a)
—F(x) – С
8 |
3 |
Функция f(x) интегрируема на отрезке [1;8], f (x)dx 13 |
и f (x)dx 4. Тогда |
1 |
1 |
8
интеграл f (x)dx равен
3
— 9
— –9
— 17
— –17
a
Интеграл f (x)dx равен
a
— 0
— 2f(a)
— 2a
— 1
Если функция f(x) интегрируема на [a,b], то f(x) интегрируема и на [b, a] и выполняется
b a
— f (x)dx = – f (x)dx
ab
ba
—f (x)dx = f ( x)dx
ab
ba
— f (x)dx= – f ( x)dx
ab
ba
—f (x)dx = f (x)dx
ab
Несобственный интеграл f (x)dxрасходится, если
a
b
— Lim f (x)dx – конечное число
b a
b
— Lim f (x)dx
b a
b
— Lim f (x)dx 0
b a
b
— Lim f (x)dx – конечное отрицательное число
b a
Если фигура образуется кривыми y f1(x) и y f2 (x) и на отрезке [a,b], где a x1и |
|
b x2 (x1 x2 ) – абсциссы точек пересечения двух кривых, |
f2 (x) f1(x), то |
площадь этой фигуры определяется по формуле |
|
b
— S ( f2 (x) f1(x))dx
a
b
— S ( f2 (x) f1(x))dx
a
b
— S ( f1(x) f2 (x))dx
a
b
— S ( f1(x) f2 (x))dx
a |
|
|
|
|
|
Если сходятся интегралы: f (x)dx и |
g(x)dx, то интеграл |
(f (x) g(x))dx |
a |
a |
a |
— расходится
— равен нулю
— равен
— сходится
Определенный интеграл по частям вычисляется по формуле
bb
—(uv) | vdu
aa
bb
—(uv)| udv
aa
bb
—(uv)| vdu
aa
bb
—(uv)| d(uv)
aa
Выберите верное утверждение
b c b
— f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a |
a |
c |
b |
c |
c |
— f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a |
a |
b |
b |
c |
b |
— f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a |
a |
c |
b |
a |
b |
— f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a c c
Для непрерывной на отрезке a;b , где a b, функции f (x) найдется хотя бы одна точка t такая, что
b
— f (x)dx f (t)(a b)
a
bf (t)
—f (x)dx
ab a
b
— f (x)dx f (t)(a b)
a b
— f (x)dx f (t)(b a)
a |
|
|
|
b |
|
|
|
f (x)dx |
численно равен площади фигуры, образованной кривой y f (x), прямыми |
||
a |
x b, |
y 0 (a b), если |
|
x a, |
|||
—f (x) 0
—f (x) 0
—f (x) – возрастающая функция
—f (x) 0
Если фигура образована кривой y f (x) |
( f (x) 0), прямыми x a, |
x b (a b), |
y 0, то площадь этой фигуры равна |
|
|
b |
|
|
— f (x)dx |
|
|
a |
|
|
a |
|
|
— f (x)dx |
|
|
b |
|
|
b |
|
|
— f (x)dx |
|
|
a |
|
|
b |
|
|
— (1 f (x))dx |
|
|
a |
|
|
Если фигура образуется кривыми y f1(x) и y f2 (x) и на отрезке [a,b], где a x1и b x2 (x1 x2 ) – абсциссы точек пересечения двух кривых, f1(x) f2 (x), то площадь этой фигуры определяется по формуле
b
— S ( f2 (x) f1(x))dx
a
b
— S ( f2 (x) f1(x))dx
a
b
— S ( f1(x) f2 (x))dx
a
b
— S ( f1(x) f2 (x))dx
|
a |
|
|
|
4 |
|
6 |
|
6 |
Если |
f (x)dx 5, |
а f (x)dx 3, то f (x)dx равен |
||
1 |
|
4 |
|
1 |
— 2 |
|
|
|
|
— –2 |
|
|
|
|
— 15 |
|
|
|
|
— 8 |
|
|
|
|
5 |
|
2 |
|
5 |
Если |
f (x)dx 10, а |
f (x)dx 4, |
то f (x)dx равен |
|
0 |
|
0 |
|
2 |
— 14 |
|
|
|
|
— –6 |
|
|
|
|
— 6 |
|
|
|
|
— 3 |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
Если |
f (x)dx 4, |
то ( f (x) 1)dx равен |
||
1 |
|
1 |
|
|
— 4 |
|
|
|
|
— 6 |
|
|
|
|
— 32 |
|
|
|
|
6 |
|
6 |
|
|
Если |
f (x)dx 5, |
то (1 f (x))dx равен |
||
2 |
|
2 |
|
|
— 4 |
|
|
|
|
— –4 |
|
|
|
|
— –1 |
|
|
|
|
— 1 |
|
|
|
|
6 |
|
6 |
|
3 |
Если |
f (x)dx 12, а |
f (x)dx 7, |
то f (x)dx равен |
|
1 |
|
3 |
|
1 |
— –5
— 19
— 3
— 5
b
Интеграл (k f (x))dx равен
a
b
— k f (x)dx
a