5. Численное решение оду методом Эйлера с использованием Mathcad

Найдем значения численного решения ОДУ методом Эйлера (функцию y1(x)) во всех точках заданного отрезка [1;6] с шагом h=0.5_, используя математический пакет Mathcad:

Решение методом Эйлера (Рунге-Кутты 1 порядка) - ф-ция y1: Начальные условия: Формулы для расчета: Вывод всей таблицы-решения:

6. Численное решение оду методом Рунге-Кутты 2 порядка с использованием Mathcad

Найдем значения численного решение ОДУ методом Рунге-Кутты 2 порядка (функцию y2(x)) во всех точках заданного отрезка [1;6] с шагом h=0.5_, используя математический пакет Mathcad, по расчетной формуле метода Рунге-Кутты 2-го порядка:

:

Решение методом Рунге-Кутты 2 порядка - функция y2: Начальные условия: Формулы для расчета: Вывод всей таблицы-решения:

7. Численное решение оду методом Рунге-Кутты 4 порядка с использованием Mathcad

Расчетная формула метода Рунге-Кутты 4-го порядка имеет вид:

В Mathcad для численного решения ОДУ методом Рунге-Кутты 4-го порядка предназначена функция rkfixed(y, x₀, x_end, N, D), где

y – первоначально равно y₀,

x₀ и x_end – начальное и конечное значения аргумента,

N – количество проводимых вычислений решения(точек таблицы),

D - это выражение для вычисления правой части уравнения, т.е. f(x,y).

Результатом вычислений функции rkfixed( ) служит матрица из N+1 строк и 2-х столбцов. В первом столбце этой матрицы содержатся координаты узлов x₀, x₁, x₂ … x_end, а во втором – значения приближенного решения в соответствующих узлах.

Найдем значения численного решение ОДУ методом Рунге-Кутты 4 порядка (функцию y4(x)) во всех точках заданного отрезка [1;6] с шагом h=0.5_, используя математический пакет Mathcad:

Решение методом Рунге-Кутты 4 порядка средствами Mathcad : нач. значение: ОДУ: Решение для y на отрезке от 1 до 6 из 10 точек - это матрица (табличная функция) Y:

Для удобства и дальнейших расчетов погрешностей полученного решения дифференциального уравнения правый столбец матрицы Y(т.е. столбец с номером 1) присваивается переменной y4.

8. Значения погрешностей численного решения дифференциального уравнения для каждого метода

Для сравнения выведем все полученные разными методами решения дифференциального уравнения и вычислим значения погрешностей каждого метода как разность между аналитическим (точным) решением и соответствующим численным решением в каждой точке табличной функции.

yt_i - аналитическое решение ОДУ, y1_i - решение ОДУ, полученное методом Эйлера, y2_i - решение ОДУ методом Рунге-Кутты 2-го порядка, y4_i - решение ОДУ методом Рунге-Кутты 4-го порядка

Запишем аналитическое (точное) решение ОДУ как дискретную функцию yti Полученные решения: Погрешности: