5.4. Содержание отчета

1. Индивидуальное задание.

13. Решение ОДУ аналитическим методом.

14. Значения полученного аналитического решения y(x) на отрезке [a;b] с шагом h,

15. «Ручной расчет» численного решения ОДУ методом Эйлера – функция ye(x) в первых 4-х точках заданного отрезка [a;b] с шагом h и оценка погрешностей полученного решения по методу двойного просчета (правилу Рунге).

16. Значения численного решения ОДУ, вычисленные методом Эйлера – функция y1(x) во всех точках заданного отрезка [a;b] с шагом h_, используя математический пакет.

17. Значения численного решения ОДУ, вычисленные методом Рунге-Кутты 2 порядка – функция y2(x) во всех точках заданного отрезка [a;b] с шагом h_, используя математический пакет.

18. Значения численного решения ОДУ, вычисленные методом Рунге-Кутты 4 порядка – функция y4(x) во всех точках заданного отрезка [a;b] с шагом h_, используя математический пакет.

19. Вычисленные значения погрешностей численного решения дифференциального уравнения для каждого метода.

20. Графическая иллюстрация полученных решений.

5.5. Пример выполнения задания

1. Задание для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений:

• дифференциальное уравнение ;

• интервал [1;6];

• начальные условия x₀=1, y₀=1;

• шаг интегрирования h=0.5_.

2. Точное аналитическое решение заданного дифференциального уравнения

Найдем точное аналитическое решение заданного дифференциального уравнения y(x) методом разделения переменных.

Запишем уравнение в виде и проинтегрируем обе части равенства с учетом начальных условий.

;

Из начальных условий найдем константу c:

, следовательно

Таким образом, аналитическое (точное) решение дифференциального уравнения

3. Значения точного решения ОДУ – y(x)

Вычислим значения полученного решения y(x_i), где , на отрезке [1;6] с шагом изменения аргумента h=0.5:

4. «Ручной расчет» численного решения ОДУ методом Эйлера и оценка погрешностей полученного решения по методу двойного просчета.

Выполним «ручной расчет» численного решения ОДУ методом Эйлера. Найдем значения численного решения ОДУ методом Эйлера (функцию ye(x)) в первых 4-х точках заданного отрезка [1;6] с шагом h=0.5, т.е. на отрезке [1;3].

Для этого ОДУ записывают в виде y’=f(x,y).

Рекуррентная формула для определения очередного значения функции по методу Эйлера имеет вид: y_i+1=y_i+hf(x_i,y_i), где , .

Таким образом, в нашем случае формула расчета имеет вид: , где i=0,1,2,3,4. Очередное значение аргумента функции рассчитывается по формуле .

Решение:

Задано ОДУ , с начальными условиями x₀=1, y₀=1 и шагом интегрирования h=0.5. Т.е. . Расчет 4-х точек решения ОДУ методом Эйлера:

,

,

,

,

Таким образом, численное решение ОДУ методом Эйлера есть табличная функция ye(x):

x	ye(x)
1	1
1.5	2
2	2.75
2.5	3.477
3	4.196

Формула для оценки погрешности решения ОДУ методами Рунге-Кутты имеет следующий вид:

где p – порядок метода Рунге-Кутты. При этом в каждой точке х_i по формуле, соответствующей методу, производится расчет y_i с шагом h (y_i^(h)) и с шагом h/2 (y_i^(h/2)). Расчет по приведенной формуле называется методом двойного просчета или правилом Рунге.

Выполним оценку погрешностей полученного методом Эйлера решения ОДУ по этому правилу. Для этого необходимо решить ОДУ с шагом h/2=0.25.

, с начальными условиями x₀=1, y₀=1 и шагом интегрирования h=0.25

x₁=1.25

x₂=1.5

x₃=1.75

x₄=2

x₅=2.25

x₆=2.5

x₇=2.75

x₈=3

Оценим погрешность решения ОДУ методом Эйлера (или методом Рунге-Кутты 1 порядка, где p=1) по формуле: для каждой точки и сведем вычисления в таблицу:

x	ye(x)(h)	ye(x)(h/2)	R
1	1	1
1.25		1.5
1.5	2	1.917	0.083
1.75		2.308
2	2.75	2.687	0.063
2.25		3.059
2.5	3.477	3.427	0.05
2.75		3.792
3	4.196	4.155	0.041