- •Раздел 6.
- •Раздел 6. Модели и алгоритмы решения задач численными методами с использованием математических пакетов Рекомендации по использованию учебного пособия
- •Тема 6.1. Элементы теории погрешностей
- •6.1.1. Точные и приближенные числа
- •6.1.2. Абсолютная и относительная погрешность
- •Тема 6.2. Методы решения нелинейных уравнений
- •6.2.1. Постановка задачи
- •Отделение корней (локализация корней);
- •Итерационное уточнение корней.
- •6.2.2. Отделение корней
- •6.2.2.1. Графическое отделение корней
- •6.2.2.2. Аналитическое отделение корней
- •6.2.3. Уточнение корней
- •6.2.3.1. Метод половинного деления
- •6.2.3.2. Метод итерации
- •6.2.3.3. Метод Ньютона (метод касательных)
- •6.2.3.4. Метод хорд
- •6.2.3.5. Сравнение методов решения нелинейных уравнений
- •6.2.4. Технология решения нелинейных уравнений средствами MathCad
- •Тема 6.3. Интерполяция функций
- •6.3.1. Постановка задачи
- •6.3.2. Интерполяционная формула Лагранжа
- •6.3.3. Интерполяционные формулы Ньютона
- •6.3.3.1. Конечные разности
- •6.3.3.2. Первая интерполяционная формула Ньютона
- •6.3.3.3. Вторая интерполяционная формула Ньютона
- •6.3.4. Сплайн – интерполяция
- •6.3.5. Сравнение интерполяционных многочленов по применению
- •6.3.6. Технология интерполяции функций в среде математических пакетов
- •Тема 6.4. Численное интегрирование
- •6.4.1. Постановка задачи
- •6.4.2. Метод прямоугольников
- •6.4.3. Формула трапеций
- •6.4.4. Формула Симпсона
- •6.4.5. Оценка погрешности численного интегрирования
- •6.4.6. Технология вычисления интегралов в среде математических пакетов
- •Тема 6.5. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- •6.5.1. Постановка задачи
- •6.5.2. Метод Эйлера
- •6.5.3. Методы Рунге-Кутты
- •6.5.4. Решение оду n-го порядка
- •6.5.5. Сравнение методов решения оду
- •6.5.6. Технология решения обыкновенных дифференциальных уравнений средствами математических пакетов
- •6.6.2. Метод дихотомии
- •6.6.3. Метод золотого сечения
- •6.6.4. Сравнение методов
- •6.6.5. Технология решения задач одномерной оптимизации средствами математических пакетов
- •Тема 6.7. Аппроксимация функций
- •6.7.1. Постановка задачи аппроксимации
- •6.7.2. Метод наименьших квадратов
- •6.7.3. Технология решения задач аппроксимации функций средствами математических пакетов
- •Тема 6.8. Многомерная оптимизация
- •6.8.1. Постановка задачи и основные определения
- •6.8.2. Методы спуска
- •6.8.3. Метод градиентного спуска с дроблением шага
- •6.8.4. Метод наискорейшего спуска
- •6.8.5. Проблема оврагов. Метод покоординатного спуска
- •6.8.6. Технология решения задач многомерной оптимизации средствами математических пакетов
- •Список литературы
- •Тема 6.4. Численное интегрирование................................................71
- •Тема 6.5. Методы решения обыкновенных дифференциальных Уравнений............................................................................. 92
- •Тема 6.6. Одномерная оптимизация................................................ 115
- •Тема 6.7. Аппроксимация функций....................................................132
- •Тема 6.8. Методы многомерной оптимизации............................... 149
- •Список литературы.................................................................... 204
Тема 6.2. Методы решения нелинейных уравнений
6.2.1. Постановка задачи
6.2.2. Отделение корней
6.2.2.1. Графическое отделение корней
6.2.2.2. Аналитическое отделение корней
6.2.3. Уточнение корней
6.2.3.1. Метод половинного деления
6.2.3.2. Метод итерации
6.2.3.3. Метод Ньютона (метод касательных)
6.2.3.4. Метод хорд
6.2.3.5. Сравнение методов решения нелинейных уравнений
6.2.4. Технология решения нелинейных уравнений средствами математических
6.2.1. Постановка задачи
Одной из важнейших и наиболее распространенных задач математического анализа является задача определения корней уравнения с одним неизвестным, которое в общем виде можно представить как f(x) = 0. В зависимости от вида функции f(x) различают алгебраические и трансцендентные уравнения. Алгебраическими уравнениями называются уравнения, в которых значение функции f(x) представляет собой полином n-й степени:
f(x) = Р(х) = an xn + a2 x2 + …+ a1 x + a0 = 0 (6.2.1-1)
Всякое неалгебраическое уравнение называется трансцендентным уравнением. Функция f(x) в таких уравнениях представляет собой хотя бы одну из следующих функций: показательную, логарифмическую, тригонометрическую или обратную тригонометрическую.
Решением уравнения f(x)=0 называется совокупность корней, то есть такие значения независимой переменной , при которых уравнение обращается в тождество . Однако, точные значения корней могут быть найдены аналитически только для некоторых типов уравнений. В частности, формулы, выражающие решение алгебраического уравнения, могут быть получены лишь для уравнений не выше четвертой степени. Еще меньше возможностей при получении точного решения трансцендентных уравнений. Следует отметить, что задача нахождения точных значений корней не всегда корректна. Так, если коэффициенты уравнения являются приближенными числами, точность вычисленных значений корней заведомо не может превышать точности исходных данных. Эти обстоятельства заставляют рассматривать возможность отыскания корней уравнения с ограниченной точностью (приближенных корней).
Задача нахождения корня уравнения с заданной точностью ( >0) считается решенной, если вычислено приближенное значение , которое отличается от точного значения корня не более чем на значение e
(6.2.1-2)
Процесс нахождения приближенного корня уравнения состоит из двух этапов:
Отделение корней (локализация корней);
Итерационное уточнение корней.
На этапе отделения корней решается задача отыскания возможно более узких отрезков , в которых содержится один и только один корень уравнения.
Этап уточнения корня имеет своей целью вычисление приближенного значения корня с заданной точностью. При этом применяются итерационные методы вычисления последовательных приближений к корню: x0, x1, ..., xn, …, в которых каждое последующее приближение xn+1 вычисляется на основании предыдущего xn. Каждый шаг называется итерацией. Если последовательность x0, x1, ..., xn, … при n ® ¥ имеет предел, равный значению корня , то говорят, что итерационный процесс сходится.
Существуют различные способы отделения и уточнения корней, которые мы рассмотрим ниже.