3 курс ЦЗОПБ Методичка_2

L, источниками тока (ir), последними нумеруют ветви с управляемыми источниками тока (ir=f(u; i)).

Последовательность нумерации в пределах групп каждого типа ветви ‒ произвольная. Узлы представляют собой точки соединения двух и более элементов схемы. Нумерация узлов ‒ произвольная. Цепь (рис.5.2) подготовлена для построения графа. На рис. 5.3 приведён граф цепи. В графе сохраняют нумерацию узлов, ветвей и их направления.

Дерево ‒ совокупность связанных ветвей, которая содержит все узлы графа, но не образует ни одного замкнутого контура. Один и тот же граф может иметь несколько деревьев (рис.5.4).

Рис. 5.4

Для расчётов будем использовать только те деревья, в которые входят все ветви с источниками напряжения и не входит ни одной ветви с источником тока. Выбор ветвей дерева осуществляют в соответствии с принятой последовательностью их нумерации. В случае цепи (рис.5.2) такой выбор приводит к варианту, изображенному на рис.5.4в. Совокупность ветвей, не вошедших в дерево, образует дополнение дерева. Ветви графа, вошедшие в дерево, называют рёбрами. В случае дерева (рис.5.4в) рёбра имеют номера 1; 2;

51

3; 4 и 7. Дополнение дерева образуется ветвями с номерами 5; 6; 8 и 9, которые называются хордами. Добавление к дереву по одной хорде (только по одной) образует полный набор независимых (главных) контуров для выбранного дерева. Граф отражает топологию схемы цепи и не содержит информацию о типе и параметрах элементов цепи.

6. Топологические уравнения 6.1. Матрица инциденций и структурная матрица

Число строк матрицы инциденций Аинц равно числу узлов схемы, а число

столбцов равной числу ветвей схемы. Матрицу составляют следующим образом (удобным для ЭВМ).

Каждая строка соответствует определённому узлу, а каждый столбец ‒ определённой ветви. Если j-ая ветвь подсоединена к i-ой узловой точке и

направлена к узлу, то элемент aij матрицы Аинц равен 1, а если направление

ветви от узла, то aij = ‒1. Если j-ая ветвь не присоединена к i-ому узлу, то соответствующий элемент равен 0.

Для схемы (рис.5.2) и графа (рис. 5.3) Аинц получается в следующем виде:

Рис. 6.1

Вкаждом столбце матрицы инциденций всегда два ненулевых элемента (‒1

и1).

Для устранения избыточности достаточно вычеркнуть одну строку (обычно удаляют последнюю).

Получаемая при этом матрица носит название структурной Астр .

С её помощью можно записать закон Кирхгофа для токов цепи: Астр i 0

В развёрнутом виде для цепи (рис.5.2) получим:

52

Мы получили топологическое уравнение. Это уравнение отражает только топологию цепи и не содержит данных о типах и параметрах элементов.

6.2. Матрица главных сечений для хорд

При анализе с помощью ЭВМ важную роль играет матрица главных сечений для хорд F . В разделе 7 будет приведен алгоритм машинного формирования этой матрицы из матрицы Астр . F матрицу несложно получить, используя

сечения графа и матрицу главных сечений Асеч . Это наиболее простой путь

Количество главных сечений, а следовательно, и уравнений, равно числу рёбер, то есть числу ветвей дерева. На рис.6.2 показаны главные сечения графа схемы (рис.5.2). Сечения обозначены римскими цифрами.

Для составления матрицы главных сечений разметим столбцы, соответствующие рёбрам, затем столбцы, соответствующие хордам, располагая ветви в порядке очерёдности. Каждая строка матрицы Асеч соответствует

53

главным сечениям и характеризует состав ветвей цепи, пересекаемых данным сечением. Элемент i - ой строки Асеч равен 1, если направление ветви j - ого

столбца совпадает по отношению к линии сечения с направлением ребра, через которое проведено i-ое сечение. Если направление ветви (а это всегда хорда) противоположно, то элемент равен ‒1. Если i-ое сечение не пересекает j-ую ветвь, то элемент равен 0. Для цепи (рис.5.2) матрица имеет вид:

где 1 ‒ единичная матрица; ‒ матрица главных сечений для хорд. Номера сечений соответствуют номерам рёбер, через которые они проведены. Можно показать, что если матрицу главных сечений умножить на вектор токов всех ветвей, то получим матричное уравнение, отражающее закон Кирхгофа для мгновенных значений токов, пересекающих сечения:

Это уравнение (6.2) носит название топологического уравнения по первому закону Кирхгофа (для сечений). Можно проверить полученное выражение (6.2), если записать уравнение для токов (ветвей), пересекаемых главными сечениями, по обычным правилам электротехники (например, для схемы цепи рис. 5.2). При записи уравнений в левой части расположим токи рёбер, а токи хорд ‒ в правой. Целесообразно располагать токи в порядке возрастания их номеров. Для главных сечений получим:

54

или ip F ix

Последняя форма записи совпала с выражением (6.2). Отметим, что матрица содержит полную информацию о топологии схемы. Строки матрицы отображают топологические уравнения для токов, составленных по первому закону Кирхгофа для главных сечений. Столбцы матрицы главных сечений для хорд определяются хордами, строки ‒ рёбрами графа. Ниже (раздел 7) будет показано использование этой матрицы для целей анализа. Можно показать, что используя матрицу, легко записать уравнения для мгновенных значений напряжений по второму закону Кирхгофа для главных контуров. Главные контуры образуются из дерева цепи (рис. 5.4в) добавлением хорд (по одной). Аналогично выражению (6.2) для этих контуров получим:

F T ‒ транспортированная матрица главных сечений для хорд (напомним, что операция транспонирования заключается в замене строк на столбцы).

Уравнение (6.3) носит название топологического уравнения по второму закону Кирхгофа. Оно, как и уравнение по первому закону Кирхгофа (6.2) не содержит информации о параметрах элементов, но полностью отражает топологию цепи. В уравнениях (6.2. и 6.3) имеется общая основа ‒ матрица. Размерность этой матрицы определяется числом ребер (строки) и числом хорд (столбцы) графа схемы цепи.

7. Правила составления топологических уравнений 7.1. Алгоритм формирования матрицы

В программе анализа матрица формируется из структурной матрицы. Получение сводится к преобразованию матрицы к виду []. Предварительно напомним основные правила операций над матрицами, учитывая, что эта матрица отражает систему уравнений. Выполняя действия, можно: переставлять строки, переставлять столбцы, умножать строку на константу, складывать или вычитать строки. Для получения на диагонали (в левой части) ненулевых элементов (1) следует проделать ряд операций: для j-го столбца просмотром его элементы, начиная с j - й строки, ищем первый ненулевой элемент. Если такой элемент не обнаруживается в j - ом столбце, то последовательно просматриваем, начиная с j - ой строки, последующие столбцы, пока такой элемент не будет обнаружен. Если он обнаружен в k - ом столбце (k> j), то столбец k перемещается в j - ое место, а столбцы от j - ого по k -й сдвигаются вправо. Если ненулевой элемент в столбце j есть aij(i>j), то меняются местами i - ая и j -ая строки;

Умножить j-ую строку на ‒1, если элемент aij = ‒1;

Устранить лишние ненулевые элементы если в столбце j выше j - ой строки имеются ненулевые элементы, они устраняются путём прибавления (или вычитания) j -ой строки к строкам, содержащим такие элементы.

55

Описанные действия проводятся последовательно для всех столбцов с номерами j от 1 до M, где M ‒ число строк в матрице.

Алгоритм преобразования структурной матрицы к виду [] используется в программах анализа радиотехнических устройств.

Используемый алгоритм взят для преобразования структурной матрицы цепи (рис. 5.2). В матрице, соответствующей цепи, будем сохранять номера ветвей графа, т. е. столбцов Астр , при всех преобразованиях. Это необходимо

для того, чтобы имелась возможность составить векторы токов и напряжений, вошедших в рёбра и хорды. Для получения элемента a11= 1 в исходной матрице (6.1): умножим 1-ю строку на ‒1 ; из пятой строки вычтем первую.

Для получения элемента a22 = 1: переставляем 4-ю строку на место второй; умножаем вторую строку на ‒ 1; вычитаем из пятой строки вторую. Для получения элемента a33 = 1: переставляем 4 строку на место третьей; вычитаем из 1-ой строки 3-ю и прибавляем 3-ю строку к 5-ой.

Для получения элемента a44 = 1: вычитаем из 1-й строки четвёртую; прибавляем 4-ю строку к 5-й. Для получения элемента a55 = 1: переставляем 5- ый столбец на место 7-го (столбцы 6 и 7 сдвигаем влево); 6-ой столбец переставляем на место 7-го; 5-ю строку умножаем на ‒1 ; вычитаем пятую строку из 1-й; складываем 5-ю строку с 4-й.

После преобразований получили матрицу главных сечений, она состроит из двух подматриц: единичной и матрицы главных сечений для хорд. Таким образом, мы получили искомую матрицу методом, пригодным для реализации на ЭВМ. Рассмотренный алгоритм используется в программах анализа электротехнических устройств.

56

7.2. Алгоритм применения метода переменных состояния

Если вынести из линейной RLC цепи все реактивные элементы и формально заменить каждую индуктивность источником тока iL, а каждую ёмкость ‒ источником напряжения uC (рис.7.1), то останется чисто резистивная цепь. Эта замена даёт возможность рассмотреть линейную резистивную цепь под воздействием двух типов источников: обычных источников энергии (типа e; j) и «новых» (типа uC; iL). «Новые» источники должны быть такими, чтобы их токи и напряжения в каждый момент времени имели те же значения, что и токи, и напряжения соответствующих реактивных элементов. Резистивная часть цепи подергается воздействию двух типов источников, которые можно объединить в векторы воздействия и состояния :

Так как токи в резистивных элементах iR связаны линейной зависимостью с токами и напряжениями источников, можно записать:

Ток представлен в выражении (7.1) как результат суперпозиции двух воздействий. и ‒ матричные коэффициенты. В матричном уравнении (7.1) столько элементарных уравнений, сколько резисторов в цепи, а неизвестных больше на число реактивных элементов (в правую часть входит неизвестный вектор состояния).

Следовательно, эта система неполная.

Рис. 7.1

Тем не менее, напряжения на индуктивных элементах (L di/dt) и токи в ёмкостях (C du/dt) являются одновременно напряжениями и токами, принадлежащими резистивным элементам цепи. Следовательно, они линейно связаны с векторами состояния и воздействия. Это позволяет дополнить (7.1) уравнениями:

57

iC c ddtuC A1' XC A2" X B

uL L ddtiL A1" XC A2" X B

Объединим оба последних уравнения в одно матричное:

Умножим обе части уравнения на матрицу, обратную матрице параметров:

Обращение диагональной матрицы осуществляется делением единицы на элементы главной диагонали. После умножения получим дифференциальное уравнение в матричной форме:

Это уравнение и называют уравнением состояния. Количество элементарных дифференциальных уравнений в (7.2) равно числу реактивных элементов в схеме. Поэтому из (7.2) можно определить вектор состояния Xc. Следовательно, система уравнений (7.1) и (7.2) полная и позволяет определить токи и напряжение в ветвях с реактивными и резистивными элементами. Необходимые для расчётов коэффициенты матриц A1, A2, B1, B2, входящие в эти уравнения (7.1) и (7.2), получают из системы топологических уравнений (6.2) и (6.3), дополняемых компонентными уравнениями обычного типа:

Для формирования уравнений разобьём матрицу главных сечений для хорд на подматрицы, соответствующие различным типам элементов цепи. Строки припишем ветвям, определяющим рёбра (главные сечения), а столбцы — хордам (главные контура). Разбиение матриц проведём для общего случая и случая цепи рис. 5.2.

58

Индексы подматриц указывают на типы ветвей, которым принадлежат строки и столбцы подматриц. Из топологического уравнения (6.2) следует, что подматрицы, расположенные вдоль строки и взятые с обратным знаком, являются коэффициентами, связывающими вектор тока группы рёбер, которым принадлежит строка, с вектором тока соответствующих групп хорд. Например, для токов в ёмкостных элементах:

iC FCRx iRx FCL iL FCL j .

Из топологического уравнения (6.3) следует, что подматрицы, расположенные вдоль столбца каждой группы однотипных хорд, после транспонирования являются коэффициентами, линейно связывающими вектор напряжения этих хорд с векторами напряжения соответствующих групп рёбер. Например, для напряжений на индуктивных элементах:

uL FRTPL e FCLT uC FeTL e .

Алгоритм определения коэффициентов , , , основывается на выделении из (6.2) и (6.3) искомых векторов, при этом используются компонентные уравнения (7.3). Для токов резистивных рёбер и напряжений резистивных хорд можно записать:

Уравнения (7.4) — топологические, дополним их компонентами, определяющими зависимость между напряжением и током для резистивных элементов и их параметров:

где RX и RP диагональные матрицы сопротивлений резистивных рёбер и хорд

(вдоль главной диагонали — величина сопротивлений соответствующих резисторов, остальные элементы – нули). Выразим в (7.4) напряжения на резистивных элементах через токи этих элементов (7.5). После этого все члены, содержащие токи резистивных элементов, перенесём в левую часть:

Объединим эти уравнения в одно матричное:

59

(7.6)

В матричной форме:

топологического и компонентных уравнений:

(7.9)

(7.10)

Подставим компонентные уравнения (7.10) в левые части топологических уравнений (3.9);

выразим через , используя выражение (7.5); объединим полученные уравнения в одно матричное:

С учётом введённых обозначений:

Из последнего выражения, подставив вместо выражение (7.1) и, разрешив уравнение относительно производной вектора , получим выражения для составления матричных коэффициентов:

(7.12)

8. Пример составления уравнений линейной RLC цепи

Используем для примера цепь, изображенную на рис. 5.2. Ранее мы уже получили матрицу главных сечений для хорд несколькими методам, в том числе и способом машинного формирования. Для цепи (рис. 5.2) введём конкретные значения параметров элементов:

C1 = 20 (нФ); C2 = 10 (нф); R1 = 2 (кОм); R2 = 1 (кОм); R3 = 5 (кОм); L1 = 50

(мГн). Относительно источников тока и напряжения стоит отметить, что частотные, переходные и т.п. характеристики ЛЭЦ не зависят от величины приложенных токов и напряжений, поэтому целесообразно задать их в общем виде через мгновенные значения e1; e2; ir4. В программах анализа величины параметров источников обычно приводит к единице, поэтому абсолютные

60