3 курс ЦЗОПБ Методичка_2

A = Aejα = Аcosα + jAsinα = a + jb, где а = Аco sα, b = Asinα.

Заменим в приведённом выше дифференциальном уравнении цепи гармонические функции (ток i и напряжение u) их изображениями в виде показательных функций с комплексными показателями:

В результате проведённой замены в исходном уравнении получим:

ными коэффициентами.

Выполненную замену гармонических функций комплексными числами называют «алгебраизацией дифференциальных уравнений».

Решив полученное уравнение относительно комплексной амплитуды тока Im, найдём:

где Im = Um/Z — амплитуда тока, i = u – , = arctg X /R. Запишем искомую функцию времени i(t), т. е. мгновенный ток:

i(t) Imsin(ωt ψi ) UZm sin(ωt + ψu – φ).

Таким образом, благодаря комплексному методу расчёт цепи гармонического тока удаётся выполнить путём решения не дифференциальных, а соответствующих алгебраических уравнений, что значительно упрощает расчёты.

2.1.4.2. Комплексное сопротивление и комплексная проводимость. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме

Величина Z представляет собой отношение комплексных амплитуд напряжения и тока и называется комплексным электрическим сопротивлением:

21

Модуль комплексного сопротивления Z называют полным электрическим сопротивлением. Оно равно отношению максимальных (или действующих)

значений напряжения и тока: Z Um U .

Im I

Вещественную R и мнимую X части соответственно называют активной и реактивной составляющими комплексного сопротивления.

Все эти составляющие образуют прямоугольный треугольник сопротивлений (рис. 2.9) и связаны соотношениями:

Z R2 X 2 ; arctg XR arccos ZR arcsin XZ .

Величину, обратную комплексному электрическому сопротивлению называют комплексной электрической

проводимостью:

Рис. 2.9. Треугольник сопротивлений и треугольник проводимостей

Модуль комплексной проводимости Y называют полной электрической проводимостью. Величины G и В называют соответственно активной и реактивной составляющими комплексной проводимости (рис. 2.9).

Используя понятие комплексного сопротивления, можно записать:

Um=ImZ, или U= I Z.

Данное равенство представляет собой закон Ома в комплексной форме. Законы Кирхгофа в комплексной форме можно записать, заменив в них

мгновенные значения токов и напряжений (ЭДС) их комплексными изображениями.

Рис. 2.10. Схемы фрагментов цепи

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме (рис. 2.10а):

Второй закон Кирхгофа, например, для контура ABCA (рис. 2.10б) при выбранном направлении обхода по часовой стрелке:

E1 – E2 + E3 = I1Z1 – I2Z2 – I3Z3 .

При этом суммирование производится алгебраически, т. е. с учётом знака.

2.1.4.3. Мощность в цепи гармонического тока

Пусть на участке цепи с сопротивлением Z = R + jXL и напряжением U протекает ток I. Векторная диаграмма комплексных действующих значений тока

инапряжения при активно-индуктивном характере участка дана на рис. 2.11.

Впоказательной форме можно записать: U = U ej u; I = I ej i.

В тригонометрической и алгебраической формах эту мощность можно представить так: S = UI cos + jUI sin = S cos + jS sin = PR

На комплексной плоскости векторы S, PR и PX образуют прямоугольный треугольник мощностей (рис. 2.12). В этом треугольнике косинус угла

изолятора конденсатора.

Добротность радиотехнической цепи в целом также оценивается добротностью: для последовательной цепи R-X Q = tgφ = PX /P = X/R; для параллельной: Q = tgφ = B/G.

В цепи должен соблюдаться баланс активных, реактивных и комплекс-

ных мощностей. Баланс полных мощностей не рассматривается. Мощности источников ЭДС следует определять по формулам:

PE = EIcos (E^, I ) ; PXE = EIsin (E^, I ) , SE= E I* .

Здесь обозначено: (E^, I ) угол сдвига фаз между ЭДС и током.

Мощности источников тока по формулам:

PJ U12 Jcos(U12^, J ); PXJ U12 J sin(U12^, J ); SJ= EJ * ,

где U12 — напряжение на клеммах источника тока.

Мощности пассивных элементов удобнее определять по следующим

формулам. Резисторов — P = I2R. Реактивных элементов — PX = I2 (XL – XC). Комплексную мощность — S = I2 Z = Sejφ = P + jPX.

2.1.4.4. Расчёт цепей при гармонических воздействиях

Используя комплексный метод, цепи гармонического тока следует рассчитывать путём решения системы алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами и комплексными неизвестными.

Составляются эти уравнения по законам Кирхгофа, по методу контурных токов или узловых потенциалов.

Можно также использовать эквивалентные преобразования схем электрических цепей.

Рассмотрим на примере схемы (рис. 2.13) порядок расчёта разветвлённой цепи гармонического тока.

Рис. 2.13. Разветвленная цепь Рис. 2.14. Эквивалентная схема цепи

Дано: e1 E1m sin(ωt ψ1 ); e2 E2m sin(ωt ψ2 ) , а также параметры цепи R1, R2, R3, L1, L2, C.

Определить токи в ветвях, напряжение u42 и u12 и показания ваттметра.

Последовательность расчёта

1.Выбор положительных направлений токов в ветвях (см. рис. 2.13).

2.Представление всех параметров схемы в комплексной форме:

24

ЭДС источников E1m E1m ejψ1 ; E2m E2m ejψ2 .

Комплексные сопротивления ветвей цепи и соответствующая эквивалентная схема цепи (рис. 2.14):

Z1 = R1+j L1 = Z1ejφ1; Z2 = R2+j L2 = Z2ejφ2; Z 3 R3 j ω1С Z3ejφ3.

3. Составим уравнения по законам Кирхгофа в комплексной форме:

I1m + I2m – I3m = 0; I1m Z1 – I2m Z2 = E1m – E2m; I2m Z2 = I3m Z3 = E2m.

Решая данную систему уравнений, найдем комплексные амплитуды токов цепи I1m = I1me-j i1, I2m = I2me-j i2, I3m = I3me-j i3 и соответствующие мгновенные

токи: i1 =I1msin( t + i1); i2 = I2msin( t + i2); i3 = I3msin( t + i3).

4. Для определения напряжений u42 и u12 составим уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров 4-А-2-Д-А и 2-А-1-Д-2 (рис. 2.13):

I1mR1 – I2m j L2 – U42m = 0, откуда U42m = I1mR1 – I2mj L2; I2mj L2 + I3mR3 + U12m = 0, откуда U12m = –I2mj L2 – I3mR3 .

5. Показания ваттметра определяются по формуле: PW UAD I3cos(U AD^, I 3 ),

где UAD, I3 ― действующие напряжение и ток. Показания ваттметра равны активной мощности третьей ветви схемы.

Решим задачу методом контурных токов, записав систему уравнений

Пример. Для цепи (рис. 2.16),

в которой u = 14,1sin314t В, R = 3 Oм,

XL = 10 Oм, XC = 6 Oм, определить токи и напряжения на отдельных элементах

Запишем напряжение источника и сопротивление цепи в комплексной форме:

U m Um ejψu 14,1B; Z = R + jXL jXC = 3 + j10 j6 = 3 + j4 = 5ej53º Ом.

Определим ток в цепи и напряжения на элементах цепи:

Im = Um/ Z = 14,1/ 5ej53º = 2,82e–j53º A; URm = ImR = 2,82e– j53º 3 = 8,46e– j53º B; ULm = Im jXL = 2,82e–j53º j10 = 28,2ej37º, B;

UСm = Im (– jXС) = 2,82e-j53º (–j6) = 16,97e-j143º B.

Запишем мгновенные значения тока и напряжений:

i = 2,82sin (314t – 53 ) A; uR = 8,48 sin(314t – 53 ) B;

uL = 28,2 sin(314t + 37 ) B; uC = 16,97 sin(314t – 143 ) B.

Определим мощности цепи:

S = UI = 10 2 = 20 B.A; P = UIcos(U I) = 20cos53 = 12 Вт;

Q = UIsin(U I) = 10 2 sin(53 )= 16 вар; S= U I *= 10∙2ej53º = 20ej53º = 12 + j16 В.А.

Пример.

В электрической цепи (рис. 2.17а) дано:

u = 154,85sin(628t + 35º) B; R1 = 20 Ом; R2 = 40 Ом; R3 = 20 Ом; L1 = 0,1 Гн;

C1 = 100 мкФ; L2 = 0,05 Гн; C3 = 60 мкФ.

Определить комплексные, действующие и мгновенные токи, активную, реактивную, полную и комплексные мощности и проверить выполнение баланса мощностей.

Рис. 2.17. Исходная и эквивалентные схемы цепи

26

Решение

Рассчитаем токи цепи двумя методами — методом преобразований и методом узловых потенциалов.

1. Преобразуем заданную схему цепи в эквивалентную схему с комплексными сопротивлениями (рис. 2.17б, в):

3. Запишем мгновенные токи: i1 = 2 2 sin628t = 2,83sin628t;

i2 = 1,12 2 sin(628t – 75º) = 1,56sin(628t –75º);

i3 =2 2 sin(628t + 33º) = 2,82sin(628t + 29º).

При решении задачи по методу двух узлов примем потенциал узла φ0 = 0. Тогда потенциал первого узла и напряжение U10 будут равны:

мощность приёмников. Pист ≈ Pпр — баланс активных мощностей выполняется. 5. Реактивная мощность цепи:

27

Px.ист ≈ Px.пр — баланс реактивных мощностей выполняется. 6. Комплексная мощность источника:

Sист U I1 109,5ej35 2 219ej35 183 j119 В∙А ≈ 219ej33˚.

Комплексная мощность приемника:

Sпр = I12 Z1 + I22 Z2 + I32 Z3 = 22 ∙51ej67º + 1,142 ∙51ej38º + 2,062 ∙28,32e–j69º ≈ 219ej33˚ В∙А

Баланс комплексных мощностей выполняется.

2.2. Частотные характеристики

2.2.1. Комплексная передаточная функция

Важнейшей характеристикой линейной электрической цепи является

комплексная передаточная функция . Представим электрическую цепь в виде четырёхполюсника, на входные зажимы (1 1 ) которого подаётся сигнал

ввиде напряжения с комплексной

снимается с выходных зажимов (2 2 )

также в виде напряжения или тока с комплексными амплитудами ,

соответственно. Комплексная передаточная функция цепи определяется как отношение комплексной амплитуды реакции цепи к комплексной амплитуде входного воздействия.

В зависимости от типов входного воздействия и реакции цепи различают

значения напряжения воздействия на входе и напряжения реакции на выходе.

где − комплексные амплитуды и действующие значения тока воздействия и тока реакции.

3. Комплексное передаточное сопротивление

28

Наряду с передаточными функциями (2.34) − (2.37) при анализе цепей находят применение комплексные функции, определяющиеся отношением комплексной реакции к комплексному воздействию на входе электрической цепи (рис. 2.11)

.

Эти функции носят название комплексных входных функций цепи.

Пример 2.6.

Записать комплексную передаточную функцию цепи (рис. 2.8) по напряжению:

Рис. 2.8

Комплексная передаточная функция цепи по напряжению: В данной цепи протекает один ток I. Следовательно,

Для любой цепи, эквивалентная символическая схема которой может быть сведена к виду комплексная передаточная функция цепи по напряжению может быть записана через отношение сопротивлений как:

(2.41)

29

2.2.2. Частотные характеристики цепей

Представим комплексная передаточная функция в показательной форме:

Модуль комплексной передаточной функции называется

амплитудно-частотной характеристикой цепи (АЧХ), аргумент комплексной передаточной функции называют фазо-частотной характеристикой цепи (ФЧХ).

Таким образом, амплитуда сигнала на выходе цепи определяется АЧХ (модулем комплексной передаточной функции), а фаза – ФЧХ (аргументом комплексной передаточной функции):

(2.42)

Если обозначить вещественную и мнимую части комплексной передаточной функции цепи:

,

то АЧХ и ФЧХ будут связаны с вещественной и мнимой частями

Если необходимо для цепи построить графики АЧХ в общем случае, то для цепей первого порядка достаточно на основе анализа схемы получить значения АЧХ при и по двум точкам построить график, ФЧХ для некоторых цепей также легко построить по двум точкам, а в случае отсутствия такой возможности достаточно проанализировать характер цепи на промежуточных частотах.

30