Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Элементарные функции и их графики.-1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

871.5 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

§6. Основные элементарные функции

Вэтом параграфе мы рассмотрим основные элементар-

ные функции. Для каждой функции запишем ее свойства и начертим график.

Степенные функции		y = xα , где α . Рассмотрим
несколько частных случаев степенной функции.
Функции y = x2n ( n		). Функции определены на всей
числовой прямой,	D( f ) = .
Они принимают только неот-
рицательные	значения,
E( f ) =[0; +∞) . Функции яв-

ляются четными, их графики симметричны относительно оси ординат. Эти функции ограничены снизу. В точке x = 0 они имеют минимум и принимают наименьшее значение, равное 0, сверху функции не ограничены (рис. 5).

Функции y = x2n−1 ( n			). Функции определены на
всей числовой прямой, D( f ) =			. Множества их изменения
– также вся	числовая	ось
E( f ) = , то есть эти функции
не ограничены ни сверху, ни
снизу. Функции	являются	не-

четными, их графики симметричны относительно начала координат (рис. 6).

Функции y = x−2n =			1	( n	). Функции определены
			x2n

для всех значений х,		отличных от 0,			то есть D( f ) = \{0}.
Они принимают		только		положительные значения
E( f ) = (0; +∞) . Эти		функции
ограничены снизу, но они не
принимают	свое наименьшее
значение.	Функции	являются

четными, их графики симметричны относительно оси орди-

нат. При

x > 0 функции убывают, при

x < 0

функции воз-

растают.

Графики

функций

не

пересекают

оси

координат

(рис. 7).

Функции

y = x

−2n+1 =

( n

). Функции опреде-

x2n−1

лены для всех

значений

х,

отличных

от

то есть

D( f ) =

\{0}. Множества их

изменения также все значения

у, отличные

от

то есть

E( f ) =

\ {0}.

Эти

функции

не ограничены ни сверху, ни снизу. Функции являются нечетными, их графики симметричны относительно начала ко-

ординат. Функции убывают при x < 0 и при x > 0 . Точка x = 0 – точка разрыва функции. Графики функций не пересекают оси координат (рис. 8).

Функции y = 2n x = x2n ( n ). Функции определены для всех неотрицательных значений х, то есть D( f ) =[0; +∞) . Множества их изменения также все неотри-

цательные значения у, то есть E( f ) =[0; +∞) . Эти функции ограничены снизу и не ограничены сверху. Наименьшее значение у= 0 функции принимают при х= 0. Функции возрас-

тают на всей области своего определения. Графики функций расположены в первой четверти (рис. 9).

Функции y = x2n и y = 2n x взаимнообратны при x ≥ 0 , а значит, их графики симметричны относительно биссектрисы первой четверти.


		1
Функции	y = 2n−1 x = x		2n−1	( n ). Функции опреде-
лены для всех значений х, то
есть D( f ) =	.	Множества
их изменения	–	также все

значения у, то есть E( f ) = . Эти функции не ограничены

ни сверху, ни снизу. Функции возрастают на всей области своего определения. Функции являются нечетными, их графики симметричны относительно начала координат (рис. 10).

Функции y = x2n−1 и y = 2n−1 x взаимнообратны. Их

графики симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четвертей.

Функции y = x−	1		1	( n
Функции y = x−	2n	=	1	( n	). Функции определены
			2n x

для всех положительных значений х, то есть D( f ) = (0; +∞) .

Множества их изменения – также все положительные значения у, то есть E( f ) = (0; +∞) . Эти функции ограничены сни-

зу и не ограничены сверху, но они ни в одной точке не принимают свое наименьшее значение. Функции убывают на всей области

своего определения. Графики функций расположены в первой четверти (рис. 11).

	y = x−2n	−	1
Функции			2n взаимнообратны при
		и y = x

x > 0 , и их графики симметричны относительно биссектрисы первой четверти.

Функции y = x−	1		1	( n ).Функции опреде-
Функции y = x−	2n−1	=	1	( n ).Функции опреде-
			2n−1 x
лены для всех значений			х,	отличных от 0, то есть

D( f ) = \{0}. Множества их изменения – также все значе-

ния у, отличные от 0, то есть E( f ) = \ {0}. Эти функции не
ограничены	ни сверху,
ни снизу.	Функции яв-

ляются нечетными, их графики симметричны относительно начала координат. Функции убы-

вают при x < 0 и при x > 0 . Точка x = 0 – точка разрыва функции. Графики функций не пересекают оси координат

(рис. 12).

	y = x−2n+1	−	1
Функции	y = x−2n+1	и y = x	2n−1 взаимнообратны. Их

графики симметричны относительно биссектрисы первой и третьей четвертей.

Тригонометрические функции.

Функция y = sin x . Область определения функции – вся числовая прямая, D( f ) = . Она принимает значения, удов-

летворяющие условию y ≤1 , то есть E( f ) =[−1; 1]. Функция

ограничена и сверху и снизу. Наименьшее значение y = −1

функция принимает в точках x = −	π	+2πn ( n	), и эти
	2

точки являются точками минимума. Наибольшее значение

y =1 функция принимает в точках x =	π	+2πm ( m	), и
	2

эти точки являются точками максимума. График функции

y = sin x	пересекает ось абсцисс в точках x =πk ( k ).
Функция
y = sin x	являет-
ся	перио-

дической, ее пе-

риод T = 2π . Функция y = sin x является нечетной, ее гра-

фик симметричен относительно начала координат. Функция не является монотонной на всей области определения, но она

возрастает

на

каждом промежутке

+ 2πn;

−

+ 2πn

( n )

убывает

на

каждом

промежутке

3π

+ 2πm;

+ 2πm ( m

). График этой функции называ-

ется синусоидой. Учитывая периодичность, достаточно построить график на отрезке длиной 2π , например [0; 2π] , а

затем копировать его (рис. 13).

Функция y = cos x . Область определения функции вся числовая прямая: D( f ) = . Она принимает значения, удов-

летворяющие условию y ≤1 , то есть E( f ) =[−1; 1]. Функция ограничена и сверху и снизу. Наименьшее значение y = −1

функция принимает в точках x =π +2πn ( n ), и эти точ-

ки являются точками минимума. Наибольшее значение y =1

функция принимает в точках x = 2πm ( m ), и эти точки

являются точками максимума. График функции y = cos x пе-

ресекает ось абсцисс в точках x =			π	+πk ( k ). Функция
			2
y = cos x	является периодической,		ее период T = 2π . Функ-
ция	y = cos x
является	четной,
ее график		сим-
метричен		отно-

сительно оси ординат. Функция не является монотонной на всей области определения, но она возрастает на каждом про-

межутке [π +2πn; 2π +2πn]	( n	) и убывает на каждом
промежутке [2πm; π +2πm]	( m	).	График этой функции
называется косинусоидой. Учитывая			периодичность, доста-

точно построить график на отрезке длиной								2π ,	например
[0; 2π] , а затем копировать его (рис. 14).
Функция				y = tg x .		Область определения функции все
действительные				значения			х, кроме x = π +πm		( m ):
							2
D( f ) =	π		+πm		m		. Множество ее изменения – вся

	\	2


числовая прямая, E( f ) =							. Функция y = tg x	не ограничена

ни сверху, ни снизу. Она не имеет точек экстремума и не принимает ни наименьшее, ни наибольшее значения. График функции

y = tg x пересе-

кает ось абсцисс

вточках

x=πk ( k ). Функция y = tg x является периодической, ее

период T =π . Функция y = tg x является нечетной, ее гра-

возрастает на каждом промежутке				−	π	+πn;	π
возрастает на каждом промежутке				−	2	+πn;	2	+πn
					2		2
( n ), в точках x =	π	+πn ( n	) функция имеет разрывы.
	2

График этой функции называется тангенсоидой. Учитывая

периодичность, достаточно построить график на отрезке дли-

ной π , например −				π	;	π	, а затем копировать его (рис. 15).
				2		2
Функция			y = ctg x .				Область определения функции все
действительные			значения х,					кроме	x =πm ( m ):
	{			}	. Множество ее изменения – вся чи-
D( f ) =	\ πm	m			. Множество ее изменения – вся чи-
словая прямая,			E( f ) =				. Функция	y = ctg x	не ограничена

ни сверху, ни снизу. Она не имеет точек экстремума и не принимает ни наименьшее, ни наибольшее значения. График

функции		y = ctg x пересекает	ось	абсцисс в точках
x = π	+πk ( k ). Функция y = ctg x			является периодиче-
2
ской,	ее период T =π . Функция		y = ctg x является нечетной,
ее график сим-
метричен		отно-
сительно		начала
координат.
Функция		не яв-

ляется монотонной на всей области определения, но она убы-

вает на каждом промежутке (πn; π +πn) ( n ), в точках x =πn ( n ) функция имеет разрывы. График этой функции называется котангенсоидой. Учитывая периодичность,

достаточно построить график на отрезке длиной π , напри-

мер (0; π), а затем копировать его (рис. 16).

Обратные тригонометрические функции.

Напомним определения обратных тригонометрических выражений. Арксинусом числа а называется угол α такой,

что sinα = a		π	;	π	. Арккосинусом числа а называ-
	и α −	2		2

ется угол α такой, что cosα = a и α [0; π] . Арктангенсом

числа	а		называется	угол α	такой, что	tgα = a и
	π	;	π		числа а называется угол α,
α −	2		. Арккотангенсом
			2
такой, что ctgα = a и α (0; π) .
Функция y = arcsin x является обратной						к функции
y = sin x . Используя свойства пря-
мой функции, получим свойства
обратной. Для этого рассмотрим
часть графика функции				y = sin x ,

на которой синус каждое свое значение принимает только один раз (промежуток монотонно-

сти функции) – отрезок −	π	;	π		. Функция y = arcsin x	каж-
	2		2

дому значению синуса ставит в соответствие его аргумент.

Таким образом, область определения функции y = arcsin x				–
отрезок [–1; 1], множество изменения – отрезок −	π	;	π	.
	2		2

Функция ограничена и сверху и снизу. Наименьшее значение

y = −	π	функция принимает в точке x = −1, наибольшее зна-
	2
чение		y =	π	функция принимает в точке x =1 . Функция
			2

y = arcsin x является нечетной, ее график симметричен отно-

сительно начала координат. Функция является монотонно возрастающей на всей области определения. График функ-


ции y = arcsin x			симметричен рассмотренной			выше части
графика функции			y =sin x		относительно биссектрисы пер-
вой и третьей координатных четвертей (рис. 17).
Функция		y = arccos x			является обратной	к функции
y = cos x .	Используя			свойства
прямой функции, получим свой-
ства обратной. Для этого рас-
смотрим часть графика функции
y = cos x ,	на	которой		косинус

каждое свое значение принимает только один раз (промежу-

ток монотонности функции) – отрезок [0; π]. Функция

y = arccos x каждому значению косинуса ставит в соответст-

вие его аргумент. Таким образом, область определения функции y = arccos x – отрезок [–1; 1], множество измене-

ния – отрезок [0; π]. Функция ограничена и сверху и снизу.

Наименьшее значение y = 0	функция принимает в точке
x =1 , наибольшее значение	y =π функция принимает в

точке x = −1. Функция y = arccos x не является ни четной, ни нечетной. Функция является монотонно убывающей на всей области определения. График функции y = arccos x симмет-

ричен рассмотренной выше части графика функции y = cos x

относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей (рис. 18).

		Функция y = arctg x является				обратной	к	функции
y = tg x . Используя свойства					прямой функции,			получим
свойства обратной. Для этого
рассмотрим одну ветвь графи-
ка функции y = tg x , на кото-
рой тангенс каждое свое зна-
чение принимает только один
раз		(промежуток		монотонности		функции)	–	интервал
	π	;	π	y = arctg x	каждому значению тангенса
−	2	;	. Функция	y = arctg x	каждому значению тангенса
	2		2

ставит в соответствие его аргумент. Таким образом, область

определения функции	y = arctg x	–	вся числовая	прямая,
D( f ) = , множество	изменения	–	интервал	−	π	;	π	.
					2		2

Функция ограничена и сверху и снизу, но она не принимает ни наименьшего, ни наибольшего значений. Функция y = arctg x является нечетной, ее график симметричен отно-

сительно начала координат. Функция является монотонно возрастающей на всей области определения. График функции y = arctg x симметричен ветви графика функции y = tg x

относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей (рис. 19).


Функция		y = arcctg x является обратной		к функции
y = ctg x .	Используя		свойства прямой функции, получим
свойства обратной. Для этого
рассмотрим одну ветвь графи-
ка функции y = ctg x , на кото-
рой котангенс		каждое свое
значение	принимает		только
один раз (промежуток моно-
тонности функции) –			интервал (0; π). Функция	y = arcctg x

каждому значению котангенса ставит в соответствие его ар-

гумент. Таким образом, область	определения функции
y = arcctg x – вся числовая прямая,	D( f ) = , множество

изменения – интервал (0; π). Функция ограничена и сверху и снизу, но она не принимает ни наименьшего, ни наибольшего значений. Функция y = arcctg x не является ни четной, ни

нечетной. Функция является монотонно убывающей на всей

области определения. График функции						y = arcctg x	симмет-
ричен ветви графика функции					y = ctg x	относительно бис-
сектрисы	первой	и	третьей		координатных четвертей
(рис. 20).
Показательная функция					y = a x ,	где a > 0	и a ≠1 .
Область	определения		функции		– вся	числовая	прямая,
D( f ) =	. Функция	прини-
мает только положительные
значения:	E( f ) = (0; +∞) .
Функция ограничена снизу и
не ограничена сверху. Она не
принимает ни наименьшего,
ни наибольшего значений,
не имеет точек экстремума.
Показательная функция				не
является	ни четной,	ни		не-

четной. График функции пересекает ось ординат в точке (0; 1) , ось абсцисс он не пересекает. При a >1 функция явля-

ется возрастающей (рис. 21), а при			0 < a <1 –	убывающей
(рис. 22) на всей области определения.
Логарифмическая функция			y = loga x ,	где a > 0 и
a ≠1 .	Логарифмическая	функ-
ция является обратной к показа-
тельной. Поэтому ее область оп-
ределения – множество положи-
тельных чисел, D( f ) = (0; +∞) ,
область изменения – множество
действительных		чисел,
E( f ) =	. Функция не	ограни-

чена ни сверху, ни снизу. Она не принимает ни наименьшего, ни

наибольшего значений, не имеет точек экстремума. Логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной. График функции пересекает ось абсцисс в точке (1; 0) , ось ординат график не пересекает. При a >1 функция является

возрастающей (рис. 23),		а при	0 < a <1	– убывающей
(рис. 24)	на всей области определения. График				функции
y = log x	симметричен	графику	функции	y = a x	относи-
a

тельно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей.

Упражнения

1.Найдите области определения функций:

а)	y =	x +1				;
		x2 −5x +			6

в)	y =	x −	7		;

		x2 −9x +20
д)	y =	x +9	;
		x3 −4x

ж)	y =	x2 −9		;
		x −6

и)	y = log2 (12 + 4x − x2 ) ;

б) y = 14 −5x − x2 ;

г) y = 15 +2x − x2 ; x

е) y = (x +1)( x2 −4x −12) ;

з) y = log3(4x −7) ;

к) y = arcsin x +1 . 5

2.Найдите множества изменения функций:


а) y = x2 −10x +17 ;			б) y = 12 + 4x − x2 ;
в)	y = log2 ( x2 −6x +13) ;		г)	y = 4sin2x ;
д)	y = −5sin x +2 ;		е)	y = 3 24 x+1 −7 .
3. Докажите, что функции		y =	3x + 2		и y =	2 −3x	явля-
3. Докажите, что функции		y =	2x + 3		и y =	2x −3	явля-
			2x + 3			2x −3

ются взаимно обратными.

4.Какие из данных функций будут четными, какие нечетными:

а)	y = x4 −3x2 −7 ;	б) y = 2x5 +7x3 −8x ;
в)	y = x sin x +2cos x ;	г)	y = x2 +9 +2 \| x \|;
д)	y = ( x2 + x) cos x ;	е)	y = lg	x −1	.

				x +1

5.Определите, какие функции будут периодическими и найдите их периоды:

3π

а)

y = 4sin

2x +

;

б)

y = 5cos

;

5π

2π

в)

y = 2 tg 3x −

;

г)

y = ctg 4x −

6.Представьте сложную функцию в виде цепочки элементарных функций:

а) y = x3 −3x2 +11 ;			б) y = 3 5x2 −9 x+1 + 21 ;
в)	y = sin( x2 +	x + 2) ;	г)	y = sin 3 x2 +9 ;
д)	y = lg(cos(	2 x +1)) ;	е)	y = sin6 (lg(3x + 4)) .

7.Составьте суперпозиции f (g(x)) и g( f (x)) , если:

а)	f ( x) = x3 , g(x) = x +3 ; б) f (x) = cos x , g( x) = x2 ;
в)	f ( x) = x , g( x) = x2 + x +1;

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20232.52 Mб5Электропитание ЭВМ.-6.pdf
#
05.02.20231.82 Mб12Электропитание ЭВМ..pdf
#
05.02.2023601 Кб3Электропунктурные исследования организма человека..pdf
#
05.02.2023821.3 Кб6Электротехника и электроника..pdf
#
05.02.20231.48 Mб36Элементарная математика для студентов (адаптационный курс)..pdf
#
05.02.2023871.5 Кб28Элементарные функции и их графики.-1.pdf
#
05.02.20231.62 Mб5Элементарные функции и их графики..pdf
#
05.02.20235.04 Mб34Элементная база электронных компонентов РЭС..pdf
#
05.02.2023474.96 Кб4Элементы электронной техники..pdf
#
05.02.20231.39 Mб14Элементы аналоговой схемотехники..pdf
#
05.02.2023547.16 Кб17Элементы атомной физики и квантовой механики..pdf