функция называется дробной частью числа х и обозначается y ={x}.

§ 3. Сложная функция

Познакомимся с понятием суперпозиции функций, которое состоит в том, что в качестве аргумента одной функции используется другая функция. Полученная в результате суперпозиции функция называется сложной функцией. За-

значение сложной функции, подставляют сначала заданное значение x0 во внутреннюю функцию и находят ее значение z0 = f (x0 ) , а затем уже вычисляют соответствующее значе-

ние функции y0 = g(z0 ) .

15

При выполнении суперпозиции функций считают, что множество значений внутренней функции f (x) содержится

в области определения внешней функции g(z) .

Сложную функцию можно составить из большего числа более простых функций.

Пример 1. Сложную функцию f ( x) = log2 sin x пред-

ставьте в виде цепочки элементарных функций.

Решение. Будем последовательно выполнять операции,

которые заданы в формуле: z =sin x , t = log2 z , y = t . Сле-

довательно, заданная в условии задачи функция является суперпозицией трех основных элементарных функций.

Пример 2. Даны функции y = z +1, z = t4 , t = sin u, u = 2x . Запишите сложную функцию y = f (x) .

Решение. Подставляя последовательно функции одну в другую, получим сложную функцию y = sin4 2x +1 .

§ 4. Обратная функция

Пусть функция y = f (x) , определенная на множестве

Х, такова, что любым двум различным значениям аргумента х ставит в соответствие различные значения у, то есть, если x1 ≠ x2 , то y1 = f (x1) ≠ f (x2 ) = y2 . Эта функция устанавли-

16

вает взаимнооднозначное соответствие между областью своего определения Х и областью изменения Y.

Для нахождения обратной функции необходимо из равенства y = f (x) выразить х через у, и в полученном выра-

жении x = f −1 ( y) букву х заменить буквой у, букву у – бук-

вой х.

17

Пример 3. Имеют ли функции f (x) = 0,5(3x +7) и

g( x) = x2 +1 обратные? Если да, то найдите их.

g( x) = x взаимнообратными?

Решение. Нет, так как g( f ( x)) = x2 = x ≠ x . Однако,

если данные функции рассматривать только при x ≥ 0 , то есть считать D( f ) =[0; +∞) , то эти функции становятся вза-

имнообратными.

§ 5. Свойства функций

Определение 1. Функция y = f (x) называется моно-

тонно возрастающей на множестве X D( f ) , если для любой пары точек x1, x2 X из условия x1 < x2 следует, что

18

f (x1) < f (x2 ) , то есть большему значению аргумента соот-

ветствует большее значение функции.

Определение 2. Функция y = f (x) называется моно-

f (x1) > f (x2 ) , то есть большему значению аргумента соот-

ветствует меньшее значение функции.

Монотонно возрастающие и монотонно убывающие функции называют монотонными.

Монотонные функции обладают следующими свойст-

вами:

1)сумма двух монотонно возрастающих (монотонно убывающих) функций является монотонно возрастающей (монотонно убывающей) функцией;

2)произведение двух положительных монотонно возрастающих (монотонно убывающих) функций является монотонно возрастающей (монотонно убывающей) функцией;

3)если функция y = f (x) монотонно возрастающая

(монотонно убывающая), то функция y = − f (x) монотонно убывающая (монотонно возрастающая);

4) если положительная функция y = f (x) является мо-

нотонно возрастающей (монотонно убывающей), то функция

19

y = f (1x) является монотонно убывающей (монотонно воз-

растающей);

5) если функция y = f (x) монотонная, то она имеет об-

ратную функцию.

Определение 3. Функция y = f (x) называется ограни-

ченной сверху на множестве X D( f ) , если существует та-

кое число М, что значение функции в любой точке не превосходит этого числа, то есть для любого x X выполняется неравенство f (x) ≤ M .

Определение 4. Функция y = f (x) называется ограни-

ченной снизу на множестве X D( f ) , если существует та-

кое число m, что значение функции в любой точке не меньше этого числа, то есть для любого x X выполняется неравенство f (x) ≥ m .

Ограниченная сверху и снизу на множестве Х функция называется ограниченной на этом множестве. Другими словами, если функция f (x) ограничена на множестве Х, то су-

ществуют такие числа m и М, что m ≤ f (x) ≤ M для всех x X . Условие ограниченности можно также записать в виде | f (x) |≤ M для некоторого положительного числа М.

20

Определение 5. Точка x0 D( f ) называется точкой

максимума функции y = f (x) , если существует окрестность

этой точки такая, что для всех точек x ≠ x0 из этой окрестно-

сти выполняется неравенство f (x) < f (x0 ) .

Определение 6. Точка x0 D( f ) называется точкой

минимума функции y = f (x) , если существует окрестность

этой точки такая, что для всех точек x ≠ x0 из этой окрестно-

сти выполняется неравенство f (x) > f (x0 ) .

Точки максимума и минимума называют точками экс-

тремума функции.

Заметим, что функция в области своего определения может иметь несколько точек максимума или минимума.

21

Если множество Х представляет собой отрезок [a; b], то наибольшее и наименьшее значения функция принимает либо в точке экстремума, либо на конце отрезка.

Говорят, что множество Х симметрично относитель-

но начала координат, если для любой точки x X противоположная точка − x X .

Определение 9. Функция y = f (x) называется четной,

если ее область определения симметрична относительно начала координат, и f (−x) = f (x) для любого x D( f ) .

Определение 10. Функция y = f (x) называется не-

четной, если ее область определения симметрична относительно начала координат, и f (−x) = − f (x) для любого

x D( f ) .

График четной функции имеет ось симметрии: так как точки (x; f (x)) и (−x; f (x)) принадлежат графику функции,

то он симметричен относительно оси ординат. График не-

он симметричен относительно начала координат.

Четные и нечетные функции обладают следующими свойствами:

22

1)сумма двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная);

2)произведение двух четных (нечетных) функций есть функция четная; произведение четной и нечетной функций есть функция нечетная;

3) если нечетная функция f (x) определена в нуле, то

f(0) = 0 ;

4)всякая функция, определенная на множестве Х, симметричном относительно начала координат может быть представлена в виде суммы двух функций, определенных на Х, причем одна из этих функций является четной, а другая – нечетной.

Определение 11. Функция y = f (x) называется перио-

дической, если существует такое число T > 0 , что для любого x D( f ) точка x +T D( f ) и справедливо равенство f (x +T ) = f (x) .

Наименьшее из чисел Т в определении 11 называют периодом. Периодическая функция имеет бесконечно много периодов, все они кратны числу Т.

Все введенные в этом параграфе определения используются при исследовании функций и построении графиков.

23