Математические модели в экономике.-2
.pdfМинистерство высшего образования и науки РФ
Томский государственный университет систем управления
и радиоэлектроники
Кафедра экономической математики, информатики и статистики
«Математические модели в экономике»
В.И.Смагин
Учебно-методическое пособие к лабораторным работам для студентов направления 38.03.01
«Экономика». Профиль: «Фнансы и кредит»
Томск - 2015
СОДЕРЖАНИЕ
Аннотация……………………………………………………………………………...3
Перечень закрепленных за дисциплиной компетенций……………………..4
1.Модели экономического равновесия……………………………………………5
2.Производственные функции.…………………………………………………...12
3.Теория ценообразования…………………………………………………..........22
4.Межотраслевой баланс. Модель Леонтьева…………………………….……29
5.Взаимодействие двух фирм на рынке одного товара…………………….…34
6.Динамические модели фирмы…………………………………………………39
Литература……………………………………………………………………........46
2
Аннотация
Учебно-методического пособия к лабораторным работам для студентов направления 38.03.01
«Экономика». Профиль: «Финансы и кредит»
В методических указаниях для дисциплины «Математические модели в
экономике» рассматриваются разделы: модели экономического равновесия,
производственные функции, модели ценообразования, модели межотраслевого
баланса, динамические модели фирмы.
Предлагаемые задания к лабораторным работам выполняются студентами
в компьютерном классе с использованием пакета прикладных программ
MathCad
3
Перечень закрепленных за дисциплиной компетенций
ПК-3 способностью выполнять необходимые для составления экономических разделов планов расчеты, обосновывать их и представлять результаты работы в соответствии с принятыми в организации стандартами;
ПК-5 способностью анализировать и интерпретировать финансовую, бухгалтерскую и иную информацию, содержащуюся в отчетности предприятий различных форм собственности, организаций, ведомств и т.д., и использовать полученные сведения для принятия управленческих решений.
В результате изучения дисциплины студенты должны
знать:
-теоретические основы экономико-математических систем, используемых в рыночной микро- и макроэкономике, на примере моделей производства, моделей фирмы, управления запасами и моделей межотраслевого баланса;
-закономерности и свойства сложных систем;
-многообразие экономико-математических систем и моделей;
-особенности современных моделей производства, моделей фирмы.
уметь:
-использовать изученные методы для решения конкретных задач построения математических моделей экономики;
-проводить анализ экономических показателей производства;
-выявлять экономико-математические особенности различных систем.
владеть навыками:
-самостоятельного проведения математического исследования экономических систем;
-самостоятельного построения математических моделей в экономике;
-самостоятельной работы со специальной и справочной литературой;
-навыками поиска экономико-математической информации.
4
1. Модели экономического равновесия
Потребитель, идя на рынок (магазин, мастерскую и т.д.), приобретает там некоторые товары (услуги тоже можно считать товаром). Пусть на рынке имеется в наличии всего n видов товаров товар №1, товар №2, ... , товар № n . Пусть по-
требителю предлагается набор товаров, в котором первый товар будет в количестве x1 , второй в количестве x2 , ..., n -ый товар будет в количестве xn . Тогда этот набор можно представить в виде вектора-столбца
|
|
(x , x |
, x , , x |
|
)T . |
|
|
x |
n |
|
|||
|
|
1 2 |
3 |
|
|
|
Очевидно, что i |
|
|
|
|
|
0 ). |
xi 0 (в дальнейшем это будет обозначаться так: x |
Конечно, многие товары можно приобрести только целиком нельзя купить
1,3 автомобиля. Однако, для нижеследующей теории будем считать, что все това-
ры безгранично делимы, то есть xi могут принимать любые неотрицательные значения. Это позволит в дальнейшем использовать аппарат дифференциального исчисления.
Пусть потребителю предлагается два набора товаров |
|
и |
|
. В качестве акси- |
x |
y |
омы предполагается, что потребитель, сравнивая эти наборы, всегда может сказать одно из следующих утверждений:
1. |
Набор |
|
не хуже набора |
|
(это обозначается так: |
|
|
||||
x |
y |
x |
y ); |
||||||||
2. |
Набор |
|
лучше (предпочтительнее ) набора |
|
|
|
|
||||
x |
y |
( x y ); |
|||||||||
3. |
Наборы |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
и y для потребителя эквивалентны ( x ~ y ); |
||||||||||
4. |
Набор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
лучше набора x |
( y x ); |
|
|
|
|
|||||
5. |
Набор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
не хуже набора x |
( y |
x ). |
|
|
|
|
В качестве аксиом принимаются следующие свойства этого отношения:
;
1.x x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. x |
y |
y |
z |
x |
z . |
|
|
|
|
Определение. Отношение предпочтения называется непрерывным на некото- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ром множестве X , если множество {(x, y): x |
X , y |
X , x |
y} является открытым |
подмножеством декартова произведения X X .
5
Содержательно это определение означает следующее: если для некоторого
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
набора товаров x0 и |
y0 верно x0 |
y0 , то при малом изменении каждого из этих |
|||||||
наборов отношение |
|
|
|
|
|
|
|||
сохраняется, то есть если x |
и y |
близки к x0 и |
y0 соответ- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ственно, то x |
y . |
|
|
|
|
|
|
||
Определение. Функция |
|
|
|
|
|
||||
u(x ) называется функцией полезности для отноше- |
|||||||||
ния , если. |
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
u(x) u(y) ; |
|
|
|
|
|
||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
u(x) u( y) ; |
|
|
|
|
|
||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ~ y |
u(x) u( y) . |
|
|
|
|
|
Основной теоремой является так называемая теорема Дебре.
Теорема 1.1. (Дебре) Если множество X связно, а отношение предпочтения удовлетворяет свойствам
;
1.x x
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y y z |
x z . |
|
|
|
||||
3. |
отношение непрерывно на X , |
|
|
||||||
то для этого отношения существует функция полезности |
|
|
|||||||
u(x ) . |
|
||||||||
Теорема 1.2. |
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
Пусть |
f (t ) |
|
|
|
|
есть |
||
есть строго монотонно возрастающая функция и u(x) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция полезности. Тогда v(x) |
f (u(x)) есть также функция полезности. |
|
|||||||
2. Если |
|
и |
|
есть две функции полезности для одного и того же от- |
|||||
u(x) |
v(x) |
||||||||
ношения |
предпочтения, |
то существует такая строго монотонно возрастающая |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция f (t ) , что v(x) f (u(x)) . |
|
|
|||||||
Мы будем предполагать в дальнейшем, что функция |
|
|
|||||||
u(x ) является дважды |
дифференцируемой функцией. В экономике на функцию полезности накладывают некоторые дополнительные требования, характерные именно для экономики. Рас-
смотрим их.
|
u |
|
|
1. i, xi |
|
0. |
|
xi |
|||
|
|
Это условие означает, что чем больше каждого товара, тем лучше.
6
2. |
lim |
|
u |
|
. |
|
|
|
xi |
|
|
||||
|
xi 0 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
u |
0. |
|
3. |
1,n |
|
lim |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
xi xi |
|
Это требование носит название закона убывающей полезности.
4. Пусть |
|
|
. Тогда |
0 1 естественно требовать, чтобы |
|
|||
y |
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.1) |
|
|
|
|
y |
(1 )x |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это приводит к следующему ограничению на u(x ) : |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.2) |
|
|
|
u( y |
(1 )x) min(u(x), u( y)). |
Функция, удовлетворяющая этому требованию, называется квазивогнутой.
В дальнейшем мы, для упрощения теории, будем требовать, чтобы была u(x )
вогнутой, то есть
0 1 |
u( y (1 )x) u(y) (1 )u(x) , |
(1.3) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или даже строго вогнутой, то есть |
|
|
|
|
|
||||
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
(1.4) |
|
u( y (1 |
)x) u( y) (1 |
)u(x) . |
|||||||
Заметим, что всякая вогнутая функция одновременно и квазивогнута. Обрат- |
|||||||||
ное, вообще говоря, неверно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим матрицу U (x) |
|
uij |
|
с элементами |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
uij |
2 u |
. |
|
|
(1.5) |
|
|
|
|
xi x j |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В экономике эта матрица называется матрицей Гессе. Для строго вогнутой функ-
ции эта матрица отрицательно определена. Отсюда, в частности, следует, что
|
|
2u |
|
|
|
i 1,n |
0 . |
(1.6) |
|||
x2 |
|||||
|
|
|
|
||
|
|
i |
|
|
Приведем примеры функций полезности.
1. Функция Стоуна
|
n |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u(x) (xi |
xi ) i , |
xi |
xi 0, |
ai 0 . |
i 1
Это выражение часто логарифмируют и берут в виде
7
|
n |
|
|
u(x) ai ln(xi xi ) . |
i1
2.Функция постоянной эластичности
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
ai |
|
|
|
|
|
|
|
|
u( x) |
|
|
( xi xi )1 bi , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
1 b |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
||
|
|
|
|
|
|
xi xi 0, ai 0, 0 bi 1. |
||||||
|
3. u(x , x ) xa xb a (x b a) b , |
|
b a . |
|||||||||
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Введём теперь цены на товары. Пусть ci |
|
есть цена единицы I- го товара, так |
|||||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c (c |
1 |
, c , |
, c )T |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n |
||
есть вектор-столбец цен. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Пусть покупатель идет на рынок имея капитал K . Приобретая набор товаров |
|||||||||||
|
(x1 , x2 , , xn ) |
T |
он, естественно, желает за свои деньги иметь максимум полез- |
|||||||||
x |
|
ности для себя. Поэтому поведение разумного потребителя выглядит как решение задачи
u( x1, x2 , |
, xn ) max , |
|
|||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
ci xi K, |
(1.7) |
||||
i 1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
0, i 1, n. |
|
||||
|
i |
|
|
|
|
Это типичная задача нелинейного программирования. Заметим, что область до-
|
|
|
|
|
выпукла и замкнута. |
|
|
|
|
пустимых значений x |
|
|
|
||||||
|
Теорема 1.3. |
|
|
|
|
|
|||
|
1. |
Для вогнутой функции, определённой на выпуклом замкнутом множестве, |
|||||||
любой локальный максимум является глобальным. |
|
||||||||
|
2. |
Для строго вогнутой функции глобальный максимум достигается в един- |
|||||||
ственной точке. |
|
|
|
|
|
||||
|
Выведем уравнение для точки максимума |
|
|
||||||
|
u(x ) , обозначая ее через |
|
|||||||
|
|
|
|
|
T |
. Для этого составим функцию Лагранжа |
|
||
x |
(x1 |
, x2 |
, x3 |
, , xn ) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
L(x, ) u(x) |
ci xi K , |
(1.8) |
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
8
и запишем необходимые условия экстремума
L |
0, |
i |
|
, |
L |
0. |
(1.9) |
|
1,n |
||||||||
x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
i |
|
|
|
|
|
|
|
Получаем, что в точке максимума имеют место соотношения
|
u( x ) |
ci |
|
|
|
|
||
0, |
i 1, n, |
|||||||
|
xi |
|||||||
|
|
|
|
(1.10) |
||||
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
K |
0, |
|
|
|
|||
|
ci xi |
|
|
|
|
|||
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
где через обозначено значение множителя Лагранжа, соответствующее точке
максимума . x
Заметим, что в точке максимума выполняется соотношение
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ci xi K , |
|
|
|
|
|
|
|
(1.11) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть потребитель тратит на рынке весь свой капитал. Так как |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
u(x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
(1.12) |
|||
|
|
|
|
|
|
c |
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то при оптимальном выборе потребителя имеют место соотношения |
|
||||||||||||||||||||
1 |
|
u(x ) |
|
1 |
|
u(x ) |
|
|
1 |
|
u( x |
) |
. |
(1.13) |
|||||||
|
c |
x |
|
c |
|
x |
2 |
c |
x |
n |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
Величину u xi называют предельной полезностью i-го товара. Таким обра-
зом, в точке оптимального выбора предельные полезности пропорциональны це-
нам на товар.
Из этого же соотношения следует, что 0 , так как цены отрицательными быть не могут.
Понятие компенсирующего дохода или просто компенсации проще всего по-
нять из рассмотрения примера.
Пример. Пусть имеется всего лишь два вида товаров товар номер 1 и товар номер 2 с ценами за единицу товара c1 и c2 соответственно. Пусть количества приобретаемых товаров равны x1 и x2 и функция полезности имеет вид
u(x1 , x2 ) x1 x2 . Тогда, имея капитал K , покупатель должен решить следующую задачу:
9
x1 x2 max , |
|
||||
|
|
|
|
K, |
|
c1x1 c2 x2 |
(1.14) |
||||
|
x |
0, x |
2 |
0. |
|
|
1 |
|
|
|
Составляем функцию Лагранжа
L(x1, x2 ,) x1 x2 (c1x1 c2 x2 K) .
Запишем необходимые условия экстремума
L
x1
L
x2
L
0,
0,
0,
x2 c1 0,
x1 c2 0, |
(1.15) |
c1x1 c2 x2 K 0,
относительно переменных x1 , x2 |
и . Решение этой системы имеет вид |
||||||||||||
|
|
|
|
x |
K |
; x |
K |
. |
|
|
|
|
(1.16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
2c1 |
2 |
2c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max u(x , x ) u(x , x ) |
K 2 |
. |
|
(1.17) |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
4c1c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если, например, K =120, |
c |
=10, c |
2 |
=20, то |
x =6, x |
=3. При этом u(x , x ) =18. |
|||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
Постановка задачи. Пусть теперь покупателю предлагают увеличить цену за
первый товар с 10 до 15 за единицу товара, но при этом обещают компенсировать увеличение его расходов, возникшее за счёт этого увеличения цены. Определим размер компенсации. Величина компенсации получается из того условия, что по-
сле изменения цен и получения компенсации максимальное значение функции полезности должно остаться неизменным.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Тогда до компенсации |
Пусть компенсация равна K и новые цены есть c1 |
, c2 |
||||||||
max u(x , x ) |
K 2 |
|
, |
|
|
(1.18) |
|||
|
|
|
|
||||||
|
1 |
2 |
|
4c1c2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
а после компенсации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max u( x , x ) |
(K K )2 |
. |
|
(1.19) |
|||||
|
4c c |
|
|||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
Должно выполняться равенство
10