Математика.-4

отнять от 4 столбца 1-й столбец. Тогда в 1-й строке будет всего один ненулевой элемент. Также выносим ( 1) из последнего столбца.

21

Решение. Чтобы привести к треугольной форме, сначала будет удобно так поменять строки, чтобы в верхнем левом углу было наименьшее число, а потом под ним образовать кратные ему, с помощью домножения строки на константу. Поменяем 1 и 2 строки. При этом поменяется знак, но впрочем, мы можем тут же поменять его обратно, так как вынесем 1 из последней строки.

В 3-й строке умножим на 2, а за знаком определителя соответственно на 0,5. Тем самым мы добились, чтобы в 1 столбце все числа были кратны угловому элементу, чтобы в методе Гаусса использовать только целые и не домножать на дроби.

22

Однако, теперь обнаружилось, что в 4-м столбце есть 6 и 6 , и нам не понадобится приведение к треугольному виду, ведь можно упростить 4-й столбец, так, чтобы там было только одно число. Прибавим 1-ю строку к 3-й строке:

А теперь можем разложить по 4-му столбцу и сразу перейти к минору 3 порядка.

Алгоритм нахождения A 1 .

1.Проверить невырожденность с помощью определителя.

2.Составить матрицу из дополняющих миноров Mij.

3.Изменить знаки в шахматном порядке, то есть домножить на (-1)i+j, где i,j - номера строки и столбца.

4.Транспонировать полученную матрицу.

5.Поделить на определитель исходной матрицы.

23

обратная матрица существует.

2) Составляем матрицу из дополняющих миноров, то есть для каждой клетки вычѐркиваем строку и столбец, остаѐтся подматрица порядка 1, то есть то число, которое напротив, как раз и является

3 1

4)Транспонируем эту матрицу.

2 1

5)Определитель был равен 1. Делить на 1 не обязательно, можно.

Матричные уравнения. Пусть А - квадратная матрица n n , X , B -

матрицы размера n k (чаще всего в таких задачах k n , то есть все рассматриваемые матрицы квадратные), причѐм X - неизвестная матрица. Тогда определено умножение AX B . Матрицу X таким

образом. Домножим всѐ равенство слева на обратную матрицу A 1 : A 1 AX A 1 B. Тогда EX A 1B , то есть X A 1 B .

24

Задача 29. Решить матричное уравнение AX B , где

Решение. Требуется найти X A 1 B , заметим, что матрица А тут в точности такая, для которой мы искали обратную в прошлой задаче.

Решение. Сначала ищем определитель. Так как матрица треугольная, то достаточно перемножить числа по диагонали. A 2 .

Строим матрицу, состоящую из дополняющих миноров. Зачѐркиваем ту строку и тот столбец, где находится элемент, и остаѐтся минор 2 порядка из 4 элементов.

На схеме показано, что именно надо зачеркнуть:

25

Решение. Найдѐм определитель

2 6 2 8 3 1 8 .

Найдѐм матрицу из дополняющих миноров к каждой из 9 клеток.

Меняем знаки в шахматном порядке, то есть там, где i+j нечѐтное.

Затем транспонируем эту матрицу.

27

Решение. Сначала находим определитель.

1 0 2 3 2 0 2 .

Найдѐм матрицу из дополняющих миноров.

Меняем знаки в шахматном порядке, там, где i+j нечѐтное.

28

Задача 33. Матричным методом решить систему уравнений:

Обратите внимение, что основная матрица системы это та самая матрица, для которой мы нашли обратную в прошлой задаче.

Решение. Сначала вычислим определитель: 2 6 3 1.

29

Исходный определитель был равен 1, так что делить не нужно.

30