Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика.-4

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

2.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1815 16 17 18 > Следующая >>>

Задача Д-49. Доказать, что

(x3 ) 3x2 .

Решение. По определению,

(x) lim

f (x x) f (x)

x 0

lim

(x x)3 x3

lim

x3 3x 2 x 3x (x)2 (x)

3 x3

x 0

lim

3x 2 x 3x (x)2

(x)3

lim 3x2

3x x ( x)2 = 3x 2 .

x 0

Ответ. (x3 ) 3x 2 .

Задача Д-50. Найти 1-ю и 2-ю производную для

x 3

x2 4

x 3

4) (x

(x 3) (x

4) (x 3)

Решение. f

2 4)2

(x2 4) 2x(x 3)

4 2x2 6x

4 6x x

(x2 4)2

(x2

4)2

(x 2

4)2

4 6x x2

2-я производная:

(4 6x x2 ) (x2 4)2 (4 6x x2 ) (x2

4)2

(x 2

4)4

( 6 2x)(x2

4)2

(4 6x x2 )2(x2 4) 2x

(x2 4)4

сократим по крайней мере на 1 множитель (x 2 4) :

( 6 2x)(x2 4) (4 6x x2 ) 4x

(x2 4)3

(2x 6)(x2

4) (16x 24x

2 4x

3 )

(x2 4)3

(2x3

6x2

8x 24) 16x 24x2 4x3

2x3 18x2 24x 24

(x2 4)3

141

Ответ.	f	4 6x x2		f	2x3	18x2 24x 24
		(x2	4)2			(x2 4)3

Задача Д-51. Найти производную от f (x) ln( x3 ) tg(x) .

Решение. Здесь произведение, причѐм в одном из множителей есть композиция.

ln(x

ln( x

) tg(x) = tg(x) ln( x

)

) tg(x)

3x 2

ln( x3 )

3tg(x)

ln( x3 )

tg(x)

ln( x3 )

= tg(x)

cos2 x

Ответ.

3tg(x)

ln( x3 )

cos2 x

Задача Д-52. Найти 2-ю производную для f (x) x10 sin 2 x .

= x10

x x10 sin 2

Решение. 1-я производная: x10 sin 2 x

sin

10 x9 sin 2 x x10 2sin x cos x =

10 sin 2

x x sin 2x

2-я производная: 9x8 10sin 2 x x sin 2x x9 10sin 2

x x sin 2x =

= 9x

8 10 sin 2 x x sin 2x x9 20 sin x cos x (sin 2x 2x cos 2x) =

= x8

90 sin 2

x 9x sin 2x

x9 10 sin 2x sin 2x 2x cos 2x =

= x8 90 sin 2

x 9x sin 2x

x8 11x sin 2x 2x 2 cos 2x

= x8 (90 sin 2 x 20 x sin 2x 2x 2 cos 2x) .

Ответ.

f (x) x8 (90 sin 2

x 20 x sin 2x 2x 2 cos 2x) .

142

Задача 155. Вывести формулу (uvw) u vw uv w uvw .

Решение. Объединим первые 2 слагаемых в один условный множитель, а третье пусть будет вторым множителем. После этого применим известную формулу, доказанную для 2 множителей.

((uv)w) (uv) w (uv)w = (u v v u)w uvw ,

что и приводит к

выражению u vw uv w uvw .

Задача 156. Найти 1-ю и 2-ю производную

f (x)

x 2

f (0) .

Решение.

f (x)

2x(x 1) x2

x2 2x

(x 1)2

x2 2x

(2x 2)(x 1)2 2(x 1)(x2

2x)

f (x)

(x 1)

(2x 2)(x 1) 2(x

2 2x)

2(x 1)2 2(x2

2x)

(x 1)3

2(x2 2x 1) 2x2 4x

f (0)

2 .

(x 1)3

( 1)3

Ответ.

f (x)

x2 2x

(x)

, f

(0) 2 .

(x 1)2

(x 1)3

Задача 157. Дана функция f (x)

4ctg 2 x 8 ln(sin x) .

Найти

f (x) , f

sin x

cosx

Решение.

f (x) 8ctgx ctgx

= 8ctgx

sin x

sin 2 x

sin x

ctgx

8ctgx =

sin

x 1

8ctgx 1

8ctgx

sin

143

	cos		2
	cos			x		8ctg	3
= 8ctgx	sin	2	x		=	8ctg		x .
	sin		x

Максимально возможно привели подобные, чтобы затем было легче считать 2-ю производную.

f (x) 8 ctg

x =

8 3ctg

x ctgx =

24ctg

sin 2 x

= 24

cos2 x

= 24

cos2 x

sin 2 x

sin 4 x

cos

Вычислим

= 24

= 48.

sin

cos2

Ответ.

48 .

(x)

sin 4

Задача 158. f (x) esin x

найти

f (x) ,

f (0), f (

2) .

Решение.

f (x) e

sin x

f (x) e

sin x

= e

sin x

cos x .

sin x

f (x) = e

cos x

= e

cos x e

cos x

sin x

esin x cos x cos x esin x sin x = esin x (cos 2

x sin x) .

f (0) = e0 (1 0) 1.

f (

2) = e1 (0 1) e .

Ответ.

f (x) esin x (cos 2 x sin x) ,

f (0)

1, f (

2) e .

144

«Частные производные, градиент».

Задача 159.		Дана функция u 3xy xy 2 . Найти координаты вектора
grad u в точке		M 0 (1,1) .
Решение. Найдѐм две частных производных.
3xy xy	2 = 3y y 2 ,		3xy xy 2		= 3x 2xy .
	x			y
Градиент в произвольной точке: u(x, y) 3y y 2 ,3x 2xy .
Градиент в точке M 0 (1,1) : u(1,1) 4,5 .
Ответ. u(1,1) 4,5 .
Задача	160.	Дана функция		u xy yz . Найти grad u в точке
M 0 (1,1,1) .
Решение.
xy yz = y 0 y ,			xy yz	=	x z ,	xy yz = y .
x				y		z
Градиент в произвольной точке: u(x, y, z) y, x z, y .
Градиент в точке M 0 (1,1,1) : u(1,1,1) 1,2,1 .
Ответ. u(1,1,1) 1,2,1 .
Задача 161. Найти градиент функции					f (x, y, z) x 2 y yz в точке
(1,1,1).

Решение. Найдѐм частные производные. f x 2xy , f y x2 z ,

f z y . Присвоим все значения x,y,z=1. Получаем f (1,1,1) (2,2,1) .

Ответ. f (1,1,1) (2,2,1) .

Алгоритм вычисления производной по направлению можно условно разделить на 4 шага:

1)Найти градиент в произвольной точке,

2)Найти гралиент в конкретной точке,

3)Нормировать вектор, задающий направление,

145

4) Скалярно умножить градиент в точке на этот нормированный вектор.

Задача 162. Дана функция u(x, y, z) xy xz z 2 . Найти:

а) координаты вектора grad u в точке				M0 ( 2,1, 1) ,
б)	u	в точке M0 в направлении вектора a ( 1, 2, 2) .
б)	a	в точке M0 в направлении вектора a ( 1, 2, 2) .
	a
Решение. Найдѐм все 3 частных производных.
		xy xz z 2	=	y z 0 .
		x
		xy xz z 2	=	x 0 0.
		y

xy xz z 2 z = 0 x 2z .

1)Градиент в произвольной точке: y z, x, x 2z .

2)Градиент в точке M0 ( 2,1, 1) : 0,2,4 .

3)Нормируем вектор a ( 1, 2, 2) . Его длина 1 4 4 3.

Нормированный вектор a										1		2		2
											,		,		.
											,		,		.
										3		3		3
4) Скалярно умножим его на градиент в точке, т.е. 0,2,4 .
u	= u, a = 0	4		8	=	12			4 .
a	= u, a = 0				=				4 .
a	3		3				3
Ответ. u(2,1, 1) = 0,2,4 ,								u			= 4.
Ответ. u(2,1, 1) = 0,2,4 ,								a			= 4.
								a

Замечание. Шаги 3 и 4 перестановочны, то есть поделить на длину вектора можно уже тогда, когда скалярно умножили.

Задача 163. Дана функция u x 2 3xy . Найти: а) координаты вектора grad u в точке M 0 ( 2, 2) ;

б) u в точке M0 в направлении вектора a ( 3,1) .a

Решение. Ищем частные производные.

146

x2 3xy

2x 3y ,

x 2

3xy

3x .

Итак,

градиент

2x 3y,3x .

При x 2, y 2

получаем вектор

2,6 .

Нормируем вектор a ( 3,1) . Его длина 10 . Новый вектор

. Скалярно умножаем его на 2,6 :

0 .

Ответ.

u(2, 2) 2,6 ,

= 0.

Задача 164. Найти градиент функции

x 4 y в точке (1,1) и

производную по направлению (1,3).

Решение.

x4 y

4x3 y ,

4 y

x4 .

Градиент в произвольной точке:

f (x, y) (4x3 y, x 4 )

Градиент в конкретной точке: f (1,1) (4,1)

Нормируем вектор (1,3).

Скалярно умножим

(4,1)

Ответ. f (1,1) (4,1)

, f

Задача 165. Дана функция u

x2 y2 z2 . Найти:

а) координаты вектора grad u в точке M0 (1, 2, 2)

б)

в точке M0 в направлении вектора a (8, 4,1) .

Решение. Частные производные:

x2 y 2

z 2

. Аналогично

2 x2 y

2 z

x2 y 2 z 2

147

x2 y 2 z 2 =									y		,	x2 y 2 z 2				=						z	.
		y						x2 y 2 z 2								z				x2 y 2 z 2
								x2 y 2 z 2												x2 y 2 z 2
Присвоим конкретные значения x, y, z и получим градиент в точке.

				12 ( 2)2 22
Учитывая, что				12 ( 2)2 22						9		3,получится:
	1				2		2
u(1, 2,2)			,			,			.
u(1, 2,2)			,			,			.
	3				3		3

Нормируем вектор a (8, 4,1) . Его длина													64 16 1								81 9 .
														8		4		1
Итак, надо рассматривать такой вектор: a															,		,		.
Итак, надо рассматривать такой вектор: a															,		,		.
														9		9		9

Теперь скалярно умножим его на градиент.

8 1	4	2	1 2			8			8		2				18	2
				=									=				.
				=									=				.
9 3	9	3	9 3			27			27		27				27	3
				1		2		2		u		2
Ответ. u(1, 2,2)					,		,		,	a	=			.
Ответ. u(1, 2,2)					,		,		,		=			.
				3		3		3				3
Задача 166. Найти градиент функции													f		x3 yz		в точке M (1,1,1) и

производную по направлению a (1,1,0) .

Решение.

1)Вычисляем частные производные: f 3x 2 yz, x3 z, x3 y .

2)f (1,1,1) 3,1,1 .

3)Скалярно умножаем f (1,1,1) 3,1,1 на a (1,1,0) , получим 4.

4) Разделим на

2 , получим

2 2 .

, f

Ответ. f (1,1,1) (3,1,1)

2 2 .

Задача 167. Найти градиент функции U x3 y xy 4

в точке (2,2) и

производную по направлению a = (3,4).

Решение. x3 y xy4

2 y y4 ,

x3 y xy 4

4xy3 .

148

Градиент в произвольной точке: 3x 2 y y 4 , x3					4xy3 .
Градиент в точке (2,2) равен 40,72 .
	3		4
Нормируя вектор (3,4) получаем		,		.
Нормируя вектор (3,4) получаем		,		.
	5		5

40,72

120

288

408

Скалярно умножаем

= 81,6.

Ответ. Градиент u(2,2) 40,72 ,

= 81,6.

Задача Д-53.

Найти производную для

f (x)

sin

x cos x

sin x

Ответ.

Задача Д-54.

Найти градиент функции U x 2 yz в точке (1,2,3) и

производную по направлению a = (1,0,1).

Ответ. 7 2 .

«Уравнение касательной».

168. Найти уравнение касательной к кривой y 2x3

3x2 2 в точке

x0 2 .

Решение. Значение в точке:

f (2) y0

16 12 2 30 .

Производная:

f (x) 6x 2 6x .

Производная в точке: f (2) 24 12 36 .

Уравнение y y0

f (x0 )( x x0 ) принимает вид y 30 36(x 2) ,

что преобразуется к виду y 36x 42 .

Ответ. y 36x 42 .

149

Задача 169. Найти касательную к графику y x 2	в точке с абсциссой
2 и расстояние от этой прямой до начала координат.
Решение. y0 4 , f (x) 2x , f (2) 4 .
Подставим эту информацию в уравнение y y0	f (x0 )( x x0 ) .
Получается y 4 4(x 2) y 4 4x 8	y 4x 4 .

Надо применить формулу расстояния от точки до прямой в плоскости:

d Ax1 By1 C

A2 B2

для этого сначала преобразуем к неявному виду: 4x y 4 0 . Тогда видно, что A 4, B 1,C 4. (x1 , y1 ) (0,0) .

d	Ax1	By1 C	=		4 0 1 0 4	=	4	.
	Ax1	By1 C			4 0 1 0 4		4


		A2 B2			16 1		17
		A2 B2			16 1		17
Ответ. Касательная				y 4x 4 , расстояние					4	.


									17
									17

Задача 170. Найти касательную к графику y 3x3 4x 2 в точке

x0 1.
Решение.	f (1) 7 , f (x) 9x 2 8x , f (1)					17 .
y y0 f				y 7 17(x 1)		y 7 17x 17
	(x0 )( x x0 )
y 17x 10 .
Ответ. Уравнение касательной y 17x 10 .
Задача 171. Найти касательную к графику функции
f (x) cosx ln( x 1)				в точке x0 0 .
Решение.	y0 f (0) cos 0 ln(1) 1 0 1 .
	1			1
f (x) sin x			.	f (0) sin 0		1.
		x 1			0 1
				y 1 1(x 0) y x 1.
y y0 f (x0 )( x x0 )

Ответ. Уравнение касательной y x 1.

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1815 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20231.56 Mб2Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб12Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб4Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб3Математика.-2.pdf
#
05.02.20232.05 Mб2Математика.-3.pdf
#
05.02.20232.49 Mб2Математика.-4.pdf
#
05.02.20233.03 Mб2Математика.-5.pdf
#
05.02.20232.78 Mб2Математика.-6.pdf
#
05.02.20232.74 Mб4Математика.-7.pdf
#
05.02.20233.16 Mб3Математика..pdf
#
05.02.2023584.83 Кб39Математическая логика и теория алгоритмов.-1.pdf