Цифровые устройства и микропроцессоры

61

Функция W (ДНФ) в базисе ИЛИ-НЕ (рис. 3.30):

W = (0, 2, 8, 10, 12, 13, 14, 15) = x1x2 + x2 x3 =

= x1x2 + x2 x3 = x1 + x2 + x2 + x3.

11XX

а)

Рис. 3.30 – Функция W – карта Карно (а) и схема в базисе ИЛИ-НЕ (б)

3.4 Неполностью определенные БФ

Если значение БФ на некоторых наборах не определено, то такая БФ называется неполностью определенной. В таблице истинности значения БФ на этих наборах обозначаются крестом (Х), в отличие от определенных значений, обозначаемых 0 или 1. Например, неполностью определенная БФ f1 задана таблицей истинности (табл. 3.4).

Таблица 3.4 – Таблица истинности неполностью определенной БФ

63

X00

Рис. 3.32 – Минимизация неполностью определенных БФ

1) S1 = Р(1, 2, 3, 5, 7, 8, 12 (0, 4, 11, 13, 14, 15)) (рис. 3.32, а)

(L = 6, C = 9), S1 = ( X3 + X 4 )( X1 + X 4 )( X1 + X 2 );

8)S8 = (0, 4, 5, 6 (3,7)) (рис. 3.32, з) (L = 3, C = 4), S8 = X1 + X 2 X3.

3.5Скобочные формы БФ

Тупиковые ДНФ и КНФ могут быть не самыми короткими формулами БФ. Например, формула f = ab + ac имеет длину L = 4, но если вынести за скобку переменную a, то получим f = a(b +c) и длина формулы уменьшается до L = 3. Такая форма БФ носит название скобочной.

Рассмотрим пример построения скобочной формы функции, заданной

ДНФ:

Q = ABE + ABF + ACDE + BCDF.

Преобразуем функцию вынесением за скобки общих сомножителей:

Q = ABE + ABF + ACDE + BCDF = AB (AE + BF ) + CD (AE + BF ) =

= (АE + BF )(AB + CD).

Цена схемы для исходной функции С =14, для функции после преобразования в скобочную форму С = 8.

На рисунке 3.33 приведены КС, реализующие обе функции.

Рис. 3.33 – Реализация функции Q:

в форме ДНФ (а); в скобочной форме (б)

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Контрольные вопросы по главе 3

·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

1.Какие логические элементы используются при синтезе комбинационных схем?

2.Может ли элемент И-НЕ иметь два выхода?

3.Если на карте Карно имеются клетки, отмеченные только 1 и Х, то чему равно значение БФ?

4.Сколько независимых переменных в имени контура, состоящем из двух клеток?

5.Сколько независимых переменных в имени контура, состоящем из четырех клеток?

6.Сколько независимых переменных в имени контура, состоящем из восьми клеток?

7.Какой закон используется для перевода БФ, записанной в базисе И, ИЛИ, НЕ, в базис И-НЕ?

8.Какой закон используется при преобразовании формулы БФ, заданной в СДНФ, в скобочную форму?

9.При минимизации БФ с помощью карт возможно ли получение нескольких минимальных формул?

10.БФ нанесли на карту Карно и карту Вейча. После минимизации были получены две отличающиеся БФ с одинаковой длиной формулы. Возможна ли такая ситуация?

66

4 Анализ комбинационных схем

Часто возникают ситуации, когда есть готовое устройство, а закон его работы неизвестен. Или есть схема устройства, а какую функцию оно выполняет, также неизвестно. В этом случае осуществляется анализ работы устройства. Рассмотрим, как проводится анализ работы комбинационной схемы. Задача анализа комбинационных схем состоит в нахождении закона работы, то есть восстановлении таблицы истинности или формулы БФ, описывающей эту комбинационную схему. Анализ проводят для того, чтобы определить функциональные свойства КС, или для проверки правильности функционирования КС, или же для того, чтобы определить работоспособность схемы при повреждениях некоторых его элементов.

При анализе КС можно попытаться определить, насколько экономично была спроектирована КС и возможно ли ее упрощение. Это можно проверить минимизацией восстановленного в результате анализа закона работы БФ. Отдельной задачей является выяснение поведения устройства в переходных режимах и нарушения работы именно в эти периоды. Анализ КС проводят в два этапа.

1.Из имеющейся принципиальной схемы устройства удаляют все несущественные или вспомогательные элементы, которые не влияют на логику работы КС, а предназначены для обеспечения надежности или устойчивости, или дополнительных возможностей схемы. Например, удаляются инверторы, которые используются для получения инверсных значений переменных. Тогда схема будет состоять только из элементов, выполняющих логические функции.

2.На основе полученной таким образом схемы восстанавливается БФ, которая и подвергается анализу. При анализе работы устройства, выполненного на электронных элементах, функция записывается непосредственно по самой схеме. Такие действия можно выполнить по следующему алгоритму:

•выходу каждого логического элемента приписывается какое-либо имя;

•выходная функция каждого элемента записывается в терминах переменных на ее входах;

•последовательно от входов к выходам описывается вся схема;

•функция преобразуется в базис И, ИЛИ, НЕ и представляется в ДНФ;

67

•при необходимости функция доопределяется до СДНФ и минимизируется;

•формируются выводы о соответствии полученной БФ и работы анализируемого устройства.

Рассмотрим последовательность работы на примере схемы, представленной на рисунке 4.1.

Рис. 4.1 – Комбинационная схема и функция Y: исходная КС (а); минимизированная КС (б)

Выход каждого элемента (рис. 4.1, а) обозначим своей функцией. Запишем функцию каждого элемента, выведем БФ конечного элемента Y.

Преобразуем полученную формулу, минимизируем ее и построим схему (рис. 4.1, б). Теперь подставим все в Y и выполним все преобразования функции Y:

Y= Y4 Y5 = Y1 C (Y2 + Y3 ) = A + B C ( AD + AB) =

=ABC( AD + AB) = ( A + B + C)( A + D + AB ) =

= A + B( A + D) + C( A + D) = A + AB + BD + AC + C D =

= A + BD + C D.

Очевидно, что исходная схема (рис. 4.1, а) спроектирована избыточно и ее можно заменить эквивалентной ей (рис. 4.1, б).

Закон схемы можно представить и в виде таблицы истинности. Для этого составляют таблицу, в левой части которой записаны все возможные наборы аргументов. Затем вычисляется значение выходного сигнала схемы для каждого

68

набора переменных и результат заносится в таблицу. При этом можно использовать следующие очевидные свойства элементов A. Для электронных схем:

•0 на любом входе схемы И приводит к появлению 0 на выходе, независимо от сигналов на любых других входах;

•1 на любом входе схемы ИЛИ приводит к появлению 1 на выходе, независимо от сигналов на любых других входах;

•0 на любом входе схемы И-НЕ приводит к появлению 1 на выходе, независимо от сигналов на любых других входах;

•1 на любом входе схемы ИЛИ-НЕ приводит к появлению 0 на выходе, независимо от сигналов на любых других входах.

Например, задана КС (рис. 4.2). Составим для нее таблицу истинности.

А В C

Рис. 4.2 – Комбинационная схема и таблица истинности Обозначим выходы элементов Z, G, F, Y и составим таблицу истинности:

•функцию Z реализует элемент И-НЕ, на выходе которого будет 1, если A = 1 или B = 1 (строки со второй по 7);

•функцию G реализует элемент И-НЕ, на выходе которого будет 1, ес-

ли B = 0 или C = 1 (строки 0, 1, 3, 4, 5, 7);

•функцию F реализует элемент И-НЕ, на выходе которого будет 1, ес-

ли A = 0 или B = 0 (строки 0, 1, 2, 3, 4, 5);

•функцию Y реализует элемент И-НЕ, на выходе которого будет 1 в тех

строках, где или Z = 0 или G = 0, или F = 0 (строки 0, 1, 2, 6, 7).

При решении таких задач промежуточные столбцы (Z, G, F) в таблице истинности могут быть опущены, а вычисление выходных сигналов производится прямо на схеме. На рисунке 4.3 для примера рассмотрены состояния выхода схемы для нескольких наборов переменных ABC = 010, 100, 101, 111 . Резуль-