Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2

1 1

1.2. Понятие графика функции

Множество всех точек (x,f(x)) плоскости называют графиком функции f : X R → Y R. В большинстве практически важных

случаев графиком является некоторая кривая, но возможны ситуации, когда график состоит из отдельных точек.

Например, графиком функции y = 2x − 1 является прямая линия, графиком функции y = x2 является парабола, симметричная относительно оси Oy.

некоторую поверхность в трехмерном пространстве. Например, точки графика функции z = x2 + y2 описывают поверхность, на-

зываемую эллиптическим параболоидом, а графиком функции z = 4 − x2 − y2 является верхняя половина сферы радиуса R = 2

с центром в начале системы координат.

Как известно из курса математики средней школы, функцию можно задать формулой (y = x3,y = 4x5 и др.), графически, в виде табли-

цы или в виде словесного описания.

1.3. Простейшие свойства функций

Отметим несколько наиболее часто встречающихся классов функций одного аргумента f: X R → Y R.

Определение 1. Пусть область определения функции f(x) симметрична относительно точки x = 0. Функция y = f(x) называется четной, если для любых значений из области ее определения f(−x) = f(x) , и нечетной, если f(−x) = −f(x). Если ни одно из этих соотношений не выполняется, то функция y = f(x) называется функцией общего

âèäà.

Например, функции y = x2, y = cos x — четные, y = x3, y = sin x — нечетные, y = x + x2, y = sin x + cos x — общего вида.

1 2

График четной функции симметричен относительно оси Îy,

а нечетной — относительно начала координат.

Определение 2. Функция называется монотонно убывающей (монотонно возрастающей) на множестве X, если для любых точек x1 è x2 èç X, удовлетворяющих условию x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) ≥ f(x2 ) (f(x1) ≤ f(x2 )) .

Åñëè f(x1) > f(x2 ) (f(x1) < f(x2 )) , то функция называется строго

монотонно убывающей (строго монотонно возрастающей) на множестве X.

Например, функция y = cosx строго монотонно убывает на интервале (0, π) и строго монотонно возрастает на интервале (π,2π).

Определение 3. Функция y = f(x) называется ограниченной на множестве X, если множество Y ее значений ограничено, т.е. существует такое число M > 0, что для любых x èç X выполняется f(x) ≤ M. Если такого числа M не существует, то функция называ-

ется неограниченной.

Например, функция y = sinx ограничена на всей числовой оси, поскольку при любом x справедливо неравенство sin x ≤ 1. Функция

y = 1 на множестве (0,1) является неограниченной, так как прибли- x

æàÿ x к нулю, можем получить значения y больше любого наперед

заданного числа M, âçÿâ x < 1 .

M

Определение 4. Функция y = f(x) называется периодической, если существует число T > 0 такое, что для всех x из области определения X следует, что x + T X è f(x + T) = f(x). Число T называется периодом функции. Наименьшее положительное число T, удовлет-

воряющее этим условиям, называется наименьшим периодом функции. Очевидно, что если T — период, то и nT также период при любом целом положительном n.

Например, функции y = sin x, y = cos x — периодические с наименьшим периодом T = 2π. Функции y = tgx, y = ctgx также периодические с наименьшим периодом T = π.

1.4. Обратная функция

Пусть функция y = f(x) определена на множестве X, à Y — множество ее значений. Поставим в соответствие каждому значению y èç Y то единственное значение x из множества X, при котором y = f(x).

симую — y. Поэтому функцию, об-

ратную функции y = f(x), записывают в виде y = ϕ(x) èëè â âèäå y = f−1(x). Графики взаимно обратных функций симметричны отно-

сительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

1.5. Сложная функция

Пусть задана функция y = f(z), определенная на множестве Z, а переменная z является функцией от x — z = ϕ(x), определенной на

цию обозначают y = f [ϕ(x)] и называ-

ют сложной функцией от x. Переменную z иногда называют проме-

жуточной. Промежуточных переменных может быть несколько: y = f {ϕ[t(x)]} . Например, y = (lg sin x)4 есть сложная функция. Ее можно представить в виде y = u4, u = lg t, t = sinx. В данном случае имеем две промежуточные переменные u è t.

Для функции многих переменных y = f(x1, x2, ..., xn) можно так-

же ввести понятие сложной функции, т.е. функции аргументов x1, x2, ..., xn, которые сами являются функциями одного или многих

аргументов. Получаются функции вида

y(t) = f [x1(t),x2(t),...,xn (t)] ,

y= f(t1,t2,...,tm ) =

=f [x1(t1,t2,...,tm ), x2(t1,t2,...,tm ), ..., xn (t1,t2,...,tm )].

При этом некоторые из переменных x1, x2, ..., xn могут оставаться

независимыми, а другие — зависеть от различных наборов аргументов t1, t2, ..., tm.

1 4

1.6. Элементарные функции

Среди функций y = f(x) выделяют класс основных элементарных

функций, к которым относятся следующие:

1) степенная функция y = xλ, ãäå λ — любое действительное чис-

ло. В общем случае ее область определения (0,+∞). При некоторых значениях λ область определения может быть шире, например функция y = xn (n — натурально) определена на всей оси;

2)показательная функция y = ax, a > 0, a ≠ 1. Ее область определения вся числовая ось. При a > 1 показательная функция строго монотонно возрастает, а при 0 < a < 1 — строго монотонно убывает;

3)логарифмическая функция y = logax, a > 0, a ≠ 1. Ее область определения луч (0,+∞). Логарифмическая функция также является

монотонной, убывающей или возрастающей в зависимости от значе- ния a. Ïðè a > 1 она монотонно возрастает, а при 0 < a < 1 — ìîíî-

тонно убывает;

4) тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tgx,

y = ctgx. Функции y = sinx è y = cosx определены на всей числовой оси, их область значений отрезок [−1,+1]. Функция y = tgx определе-

íà ïðè x ≠ 2π + kπ, а функция y = ctgx определена при x ≠ kπ, ãäå k —

любое целое число;

5) обратные тригонометрические функции y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx. Областью определения функций y = arcsinx, è y = arccosx является отрезок [−1,+1]. Область значений функции

[0, π]. Функции y = arctgx è y = arcctgx определены на всей числовой

оси. Областью значений первой из них является промежуток

Функции, полученные из основных элементарных функций в результате конечного числа операций сложения, умножения и деления, а также конечного числа образования сложной функции, называются элементарными.

ментарной, так как она получена из основных элементарных

1 5

алгебраическими операциями и образованием сложной функции (arctgx, 3lg5 x + 4, sin5 4x) .

В класс элементарных функций входят многочлены (полиномы):

y = a0xn + a1xn−1 + ... + an−1x + an — многочлен степени n, ãäå a0, a1,

..., an — действительные числа, называемые коэффициентами много- члена, n — натуральное число. Часто применяются дробно-рацио-

нальные функции — отношение двух многочленов.

Упражнения

1. Найдите область определения следующих функций: а) f(x) = x + 1. Ответ: [−1, + ∞);

á) f(x) = lg 2 + x . Ответ: (−2,2);

2 − x

â) f(x) = x2 − x − 2. Ответ: (−∞, − 1] [2, + ∞);

6. Постройте графики всех основных элементарных функций.

1 6

1.7. Понятие последовательности

Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента

y = f(n), n = 1, 2, ..., k, ...

Вместо f(n) обычно пишут {an}, n = 1,2,..., èëè a1, a2, ..., an, ...

Числа a1, a2, ..., an называют членами последовательности, функцию f(n) при этом называют общим членом последовательности. Числа 1, 2, ..., n называют номерами членов последовательности, например, a2 — второй член последовательности, a3 — третий и т.д.

Примеры последовательностей:

ных, монотонно убывающих, монотонно возрастающих, ограниченных, неограниченных последовательностей. В приведенных примерах последовательности 1, 2, 3 и 5 — монотонные, причем 1 и 3 — монотонно убывающие, 2 и 5 — монотонно возрастающие. Последовательности 4 и 6 монотонными не являются. Последовательности 1–4 и 6 ограничены, а 5 — не ограничена.

1.8. Предел последовательности

Замечаем, что члены последовательностей 1 и 3 с ростом номера n как угодно близко приближаются к нулю, мало от него отлича-

ясь, а члены последовательностей 2 и 6 приближаются к единице. При этом величина разности an − 1 с ростом n уменьшается и стано-

вится близкой к нулю.

1 7

Слова «как угодно близко», «сколь угодно мало», «мало», «велико» лишены точного математического смысла. Все зависит от решаемых задач. Если из 100 гвоздей 10 не удовлетворяют стандарту, то это многовато, но, купив их, мы больших убытков не понесем, если же из 100 парашютов 10 не раскрываются, то это слишком много и недопустимо. По этой причине в математике всем этим понятиям даются точные определения. Рассмотрим, например, последова-

тельность f(n) = 1 . Какое бы мы не взяли число ε > 0 (даже очень n

маленькое), с ростом n члены последовательности станут меньше этого числа, достаточно взять N > 1ε , ò.å. ïðè n > N справедливо an < ε. Ïðè

ε = 0,01 все члены последовательности, начиная с номера n = 101, будут меньше 0,01; при ε = 0,001 все члены последовательности с но-

мерами больше 1000 будут меньше 0,001 и т.д. Это и означает, что

чаются от нуля. Число «0» называют пределом последовательности

от единицы, т.е. какое бы заранее не взять число ε > 0, даже очень малое, с ростом n начнет выполняться неравенство an − 1 < ε. Число

«1» называют пределом этих последовательностей. Дадим точное определение предела последовательности.

Определение. Число A называется пределом числовой последовательности {an}, если для любого числа ε > 0 существует такой номер N (зависящий от ε), что для всех членов последовательности с номерами n > N выполняется неравенство an − A < ε.

В этом случае пишут A = lim an. Мы ранее, фактически, доказа-

n→∞

ëè, ÷òî lim 1 = 0. Не всякая последовательность имеет предел, на-

n→∞ n

пример последовательность an = 1 + (−1)n; 0, 2, 0, 2, 0, ... предела не имеет. С ростом n ее члены не приближаются ни к какому числу. Не имеет предела и последовательность an = sinn. Последовательность,

имеющая конечный предел, называется сходящейся, в противном случае — расходящейся.

1 8

Существуют последовательности, обладающие следующим свойством: для любого числа M > 0 (даже сколько угодно большого) существует номер N такой, что для всех n > N справедливо неравен-

Подобные последовательности считают расходящимися. Например,

легко показать, что lim n2 = ∞.

n→∞

1.9. Теоремы о пределе последовательности

Сформулируем без доказательства несколько теорем, характеризующих понятие предела.

Теорема 1. Всякая последовательность, имеющая конечный предел, ограничена.

Теорема 2. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Теорема 3. Пусть имеем три последовательности: {an }, {bn }, {cn },

Последняя теорема очень часто используется при отыскании предела.

1 9

Решение: формальное применение теоремы 4 приведет к неопределенному выражению ∞∞ , которое следует раскрыть. Для этого числитель и знаменатель поделим на n2, получим

Если функция y = f(x) является основной элементарной, то спра-

ведливо утверждение

Это утверждение верно и в более общем случае для класса непрерывных функций, который мы определим позднее (см. подразд. 1.19).

Решение: поделим числитель и знаменатель на n. Получим

2 0

П р и м е р 5. Найти:

Решение: применение теоремы 4 в обоих случаях приводит к неопределенности вида (∞ − ∞). Используем формулы:

(a − b) (a + b) = a2 − b2;

(a − b) (a2 + ab + b2 ) = a3 − b3,

известные из средней школы.

Âпримере (а) положим a = n2 + 6n + 8, b = n , умножим числитель

èзнаменатель на a + b. Получим