Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

мер, интеграл ∫

сходится, так как подынтегральная функция

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

4.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2511 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

101

Åñëè f(x) ³ 0, то произведение DSi = f(ti )Dxi равно площади прямоугольника с основанием Dxi и высотой f(ti). Сумма Римана приближенно равна площади криволинейной трапеции — фигуры, ограниченной снизу отрезком [a,b], справа и слева — прямыми x = a è x = b, а сверху — графиком функции y = f(x). Точность этого приближения тем выше, чем меньше l = max Dxi . Полагают

	n	b
S = lim	∑ f(ti )Dxi = ∫ f(x)dx.
λ →0 i=1		a

Как видим, величина ∫ f(x)dx геометрически означает площадь

криволинейной трапеции, которую мы только что охарактеризовали. Отметим некоторые свойства определенного интеграла:

	a	b	a
1)	∫ f(x)dx = 0; 2) ∫ f(x)dx = -∫ f(x)dx;
	a	a	b
	b	c	b
3)	∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx, ãäå ñ — любая точка из [a,b];
	a	a	c

b b

4)∫ lf(x)dx = l∫ f(x)dx, l = const;

b	b	b
5) ∫	[f1(x) + f2(x)] dx = ∫ f1(x)dx +∫ f2(x)dx;
a	a	a

b b

6) åñëè f1(x) £ f2(x) íà [a,b], òî ∫ f1(x)dx £ ∫ f2(x)dx;

a a

b b

7)∫ f(x)dx £ ∫ f(x) dx;

8)если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], òî íà íåì ñóùå-

ствует такая точка x, что ∫ f(x)dx = f(x)(b - a) (теорема о среднем).

102

3.4. Формула Ньютона — Лейбница

Вычислить определенный интеграл, исходя из определения, довольно затруднительно и удается лишь в простейших случаях. Полу-

чим вычислительную формулу для интеграла ∫ f(x)dx. С этой целью

рассмотрим функцию J(x) = ∫ f(t)dt, называемую функцией от пере-

менного верхнего предела. Переменная интегрирования обозначена буквой t, чтобы не путать ее с переменным верхним пределом x.

Теорема 1. Если функция f(t) непрерывна на отрезке [a,b], то функция J(x) дифференцируема в любой точке x0 èç [a,b]

èJ′(x) = f(x), т.е. функция J(x) является первообразной для f(x). Доказательство. Пусть x0 — любая точка из [a,b]. Рассмотрим

x) − J(x

)

1 x0 + x

lim

= lim

∫

f(t)dx −

∫ f(t)dt =

x→0

= lim

x0 +

∫

f(t)dt

(применили свойство 3 интеграла). Далее, при-

x→0

меняя свойство 8, получим:

lim

J(x0 +

x) − J(x0 )

= lim

f(ξ) x

x→0

= f(x0 ), так как точка ξ лежит между точками x0

è x0 + x. Ìû ïî-

казали, что J′(x0) существует и J′(x0) = f(x0). Поскольку x0 — любая

точка из [a,b], òî J′(x) = f(x).

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], òî

∫ f(x)dx = F(b) − F(a),

(3.4)

ãäå F(x) — любая первообразная для функции f(x).

Доказательство. Функция J(x) = ∫ f(t)dt по теореме 1 является

одной из первообразных для функции f(x). Любую другую первообразную F(x) можно представить в виде

x
F(x) = ∫ f(t)dt + C.	(3.5)

103

Полагая в (3.5) x = a и применяя свойство 1 интеграла, полу- чим F(a) = C. После этого положим в (3.5) x = b. Находим

F(b) = ∫ f(t)dt + F(a). Отсюда и следует формула (3.4).

Формула (3.4) получена почти одновременно Ньютоном и Лейбницем и носит их имя — формула Ньютона — Лейбница. Формулу

(3.4) записывают в виде ∫ f(x)dx = F(x) ba , считая, что F(x) ba =

=F(b) − F(a).

Ïр и м е р 1. Вычислить интегралы:

			8						0						dx										e2
		à)	∫ 3 xdx;					á)			∫				dx						;		â)					dx		.


			0							−3				25 +				3x							∫e x ln x
		Решение:
			8					8									3		x4 3					08 =		3	× 84 3 =				3
		à)	∫ 3		xdx = ∫ x1 3dx =												3									3					3	× 16 = 12;
		à)	∫ 3		xdx = ∫ x1 3dx =																											× 16 = 12;
			0					0						4											4				4
														4											4				4

			0			dx							1	0									−										2
			0			dx							1	0									−										2
		á)	∫						=					∫ (25 + 3x) 1 2d(25															+ 3x) =					(25 + 3x)1 2	0−3	=

				25 +				3x					3																				3
			−3	25 +				3x					3	−3																			3
=	2	(		-				) =		2		(5 - 4) =								2		.
	2		25				16			2										2
			25				16
3									3									3
			e2		dx			e2			d ln x														ee2 = ln (ln e2 ) - ln(ln e) = ln2 - ln1= ln2.
			e2					e2
		â)	∫					= ∫								= ln(ln x)
		â)	∫	x ln x				= ∫								= ln(ln x)
			e	x ln x				e			ln x
			e					e

П р и м е р 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функций y = x2 - 2x + 3, y = 3x -1.

Решение: выполнив преобразования y = x2 - 2x + 3 = (x -1)2 + 2, âè-

дим, что графиком функции y = x2 - 2x + 3 является парабола с вер-
y			шиной в точке (1,2) и осью симметрии,
y		B	параллельной оси Oy.
		B	параллельной оси Oy.
			Графиком функции y = 3x - 1 ÿâëÿ-
			ется прямая линия. Искомую площадь
			S заштрихованной фигуры можно
			найти как разность площадей S1 òðà-
3	Ä		пеции CABD и площади S2 криволиней-
3	Ä		ной трапеции CABD. Решив уравнение
2			ной трапеции CABD. Решив уравнение
2			3x - 1 = x2 - 2x + 3, èëè x2 - 5x + 4 = 0,
1	C	D	находим x1 = 1, x2 = 4.
	C	D
		4
O	1	4	x

104

4	4	(x2 - 2x + 3)dx, S = S1 - S2 =
Следовательно: S1 = ∫ (3x - 1)dx,	S2 = ∫	(x2 - 2x + 3)dx, S = S1 - S2 =
1	1

	4	(3x −1−				−2x + 3))dx =					4				x	3			2		4
	4										4					3			2
=	∫				(x2						∫	(−x2	+ 5x − 4)dx =	−			+ 5x			− 4x		=
=					(x2							(−x2	+ 5x − 4)dx =	−			+ 5x			− 4x	1	=
														3			2				1
	1										1			3			2
	1										1
= -			64	+ 40 -16 +			1	-	5	+ 4 =	-128 + 240 - 96 + 2 -15 + 24							=		266 - 239			=
= -				+ 40 -16 +				-		+ 4 =								=					=
		3				3		2					6							6

=27 = 9 (Í‚.Â‰.)

6 2

Как и в случае неопределенного интеграла, применяют в некото-

рых интегралах вида ∫U(x)V(x)dx формулу интегрирования по час-

òÿì:

b		b
∫U(x)dV = U(x)V(x)	ba - ∫VdU.		(3.6)
a		a
		π 2
П р и м е р 3. Вычислить интеграл J =		∫ (2x + 3) cos 6xdx.
		0

Решение: положим в формуле (3.6) 2x + 3 = U(x), dV = cos6xdx,

V= 1 sin 6x. 6

					1				π	2	1		π 2
										2
Тогда J =		(2x + 3) ×				sin 6x				-		× 2	∫ sin 6xdx. Первое слагаемое на
Тогда J =		(2x + 3) ×			6	sin 6x				-	6	× 2	∫ sin 6xdx. Первое слагаемое на
					6			0			6		0
								0					0
верхнем и нижнем пределах обращается в нуль. Поэтому
J = -	1	-	1			π 2	=	1		(cos 3p - cos 0) =				1	(-1 - 1)	= -	1
				cos 6x														.
				cos 6x														.
	3		6			0		18						18			9

Очень часто применяется формула замены переменной

bβ

∫ f(x)dx = ∫ f [j(t)]j¢(t) dt,		(3.7)
a	α

где функция j(t) дифференцируема на (a,b) и осуществляет взаимно однозначное отображение отрезка [a,b] в отрезок [a,b], а функция f(x) интегрируема на [a,b].

В случае непрерывной функции f(x) формула (3.7) следует из формул замены переменной в неопределенном интеграле и формулы Ньютона — Лейбница.

105

П р и м е р 4. Вычислить интегралы:

xdx

1 − x2dx; á) J2 =

à)

J1 = ∫

∫

; â)

J3 = ∫

+ x

1 + x

Решение:

а) положим x = sint. Функция ϕ(t) = sint отображает отрезок

в отрезок [0,1]. По формуле (3.7) имеем:

π 2

1 + cos 2t

π 2

1 − sin2 t cos tdt =

J1 = ∫

∫

t +

sin 2t

;

б) сделаем замену x + 3 = t2. Ïðè x = 1 переменная t принимает

значение t1 = 2, à ïðè x = 22 — значение t2 = 5. Поэтому J2

2tdt

= ∫

4 + t

t + 4 − 4

= 2∫

dt = 2 (t

− 4 ln(4 + t))

= 2[5 − 4 ln 9 − 2 + 4 ln 6] = 2 3 − 4 ln

4 + t

= 6 − 8 ln1,5;

xdx

= t

+ 1 − 1

â) ∫

∫

2t dt

= 2∫

dt =

≤

+ t

1 + t

0 1

2tdt, 0

∫

= 2

− t +

1−

= 2

−

+ t − ln(1+ t)

= 2

− 2 + 2

− ln 3

1+ t

=2 83 − ln 3 .

3.5. Несобственные интегралы

Мы определили интеграл от ограниченных функций, заданных на конечном отрезке [a,b]. Интегралы от функций, заданных на [a, +∞), (−∞,a], (−∞, +∞), называют несобственными интегралами первого рода, а интегралы от неограниченных функций — несобственными интегралами второго рода.

Пусть функция f(x) определена на луче [a,+∞) и интегрируема на отрезке [a,b] при любом b, т.е. при любых значениях b существует

∫ f(x)dx. Предел

	b
lim	∫ f(x)dx,	(3.8)
b→+∞	a
	a

106

∞

обозначаемый ∫ f(x)dx, называется несобственным интегралом пер-

вого рода. Если предел (3.8) существует и конечен, то говорят, что

∞

интеграл ∫ f(x)dx сходится, если же этот предел не существует или

бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

П р и м е р 1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл

∞

J = ∫ dx.

1 xα

Решение: åñëè a = 1, òî

∞

∫

= lim

∫

= lim (ln x)1b

= lim (ln b - ln1) = lim ln b = +¥,

b→+∞

т.е. интеграл расходится. Пусть a ¹ 1. Тогда

∞

b dx

x1−α

b1−α

Ô Ë a < 1,

∫

lim ∫

lim

-1

Ô Ë α > 1.

1 x

b→+∞ 1 x

b→ +∞ 1 - a 1

b→+∞ 1 - a

- a

∞

Итак, интеграл ∫ dx расходится при a £ 1 и сходится при a > 1.

1 xα

При a > 1 этот интеграл равен a 1- 1.

∞

Можно доказать, что для сходимости интеграла ∫ f(x)dx доста-

точно, чтобы функция f(x) была бесконечно малой при x ® ¥ порядка выше первого относительно бесконечно малой b(x) = 1 . Напри-

имеет порядок малости a = 53 >1 относительно бесконечно малой β(x) = 1 ïðè ® +¥.

107

Пусть F(x) — первообразная для f(x). Тогда

	∞	b		b	[F(b) − F(a)].
	∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx = lim F(x)			= lim	[F(b) − F(a)].
	a	b→+∞a	b→+∞	a b→+∞
	a	b→+∞a	b→+∞	a b→+∞
			∞
Видим, что интеграл			∫ f(x)dx сходится, если существует конеч-
			a
íûé	lim F(b),	в противном случае интеграл расходится. Обозначим
	b→+∞
lim	F(b) = F(+∞), если этот предел существует и конечен. Тогда
b→+∞
		∞
		∫ f(x)dx = F(+∞) − F(a).			(3.9)
		a

Выражение (3.9) — это формула Ньютона — Лейбница для несобственных интегралов первого рода. Совершенно аналогично мож-

но определить несобственные интегралы ∫ f(x)dx =

lim

∫ f(x)dx ,

−∞

a→−∞a

+∞

∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx и получить

−∞

a→−∞

b→+∞ a

∫ f(x)dx = F(b) − F(−∞),

−∞

(3.10)

+∞

∫ f(x)dx = F(+∞) − F(−∞),

−∞

ãäå F(x)

— первообразная для f(x)

è F(+∞) = lim F(b),

F(−∞) =

b→+∞

= lim F(a).

a→−∞

П р и м е р 2. Вычислить несобственные интегралы

+∞

−

+∞

à) ∫

∫

x dx, á)

, â)

или доказать расходи-

−∞ x2 − 4x +

5 ln x

мость.

Решение:

+∞

e−x2 d (−x2 ) = −

b −

(e−b2 − 1)=

à) ∫ xe−x2 dx = −

∫

lim e−x2

lim

b→+∞

(применена формула (3.9));

108

d(x − 2)

x − 2

á)

∫

lim

arctg

−∞ x2 − 4x + 8

−∞

(x − 2)2 + 4 a→−∞ 2

a − 2

= 0, à

= lim

arctg0

− arctg

= +

òàê êàê arctg 0

a→−∞ 2

lim

arctg

a − 2

= −

(применена первая формула в (3.10));

a→ −∞

+∞

d ln x

b = lim

â)

∫

= ∫

= lim

(ln x)2 3

(ln b)2 3

−(ln e)2 3

ln x

1 3

b→+∞ 2

e b→+∞ 2

(ln x)

= + ∞.

Интеграл расходится.

Переходим к интегралам от неограниченных функций. Точку x = x0 будем называть особой для функции f(x), если функция не ограничена в окрестности этой точки. Пусть функция f(x) определена на [a,b), а точка b особая, причем f(x) интегрируема на отрезке [a, b − δ] при любых δ (íî b − δ > a), т.е. существует интеграл

b−δ

J = ∫ f(x)dx. Предел

	b− δ
lim	∫ f(x)dx	(3.11)
δ→0	a
	a

называется несобственным интегралом второго рода. Если предел (3.11) существует и конечен, то говорят, что интеграл сходится. Если же этот предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится. Аналогично определяется несобственный интеграл второго рода, если функция определена на (a,b] и точка a особая, как

предел вида lim ∫ f(x)dx. Если же особая точка c лежит внутри от-

δ→0 a+ δ

резка [a,b], то несобственным интегралом второго рода называют сумму пределов

	c−δ1	f(x)dx + lim	b
lim	∫	f(x)dx + lim	∫ f(x)dx.
δ →0		δ →0
1	a	2	c+δ2
	a		c+δ2

Можно доказать, что для сходимости несобственного интеграла

второго рода ∫ f(x)dx (точка b — особая) достаточно, чтобы функция

f(x) ïðè x → b была бесконечно большой порядка ниже первого от-

		109
носительно бесконечно большой ϕ(x) =	1	. Если известна первооб-

	b − x

разная функция F(x) äëÿ f(x), то вычисление несобственного интег-
рала (3.11) сводится к отысканию предела lim F(x).
					x→b
П р и м е р 3. Вычислить несобственные интегралы:
1		dx	8	dx
à) ∫			; á) ∫		.

0	1 − x2		4	x − 4

Решение:

а) точка x = 1 является особой для первого интеграла, поэтому

1−δ

∫

= lim

∫

= lim arcsin x

= lim [arcsin(1− δ) − arcsin 0] =

1− x2 x

→0

1− x2

δ→0

= arcsin1 =

π ;

б) для второго интеграла точка x = 4 является особой, поэтому

= 2 lim (

) = 8.

∫

= lim ∫

= 2 lim

x − 4

8 − 4

4 + δ − 4

x − 4

δ→04+δ

x − 4

δ→0

+δ

δ→0

Упражнения

1. Вычислите определенные интегралы:

−

à) ∫

∫

; â) ∫ (x2 − 2x + 3)dx; ã) ∫ (

+ 3

)dx;

; á)

1 + x

−

1 2

π 4

ä)

∫

;

å)

∫

;

æ)

∫

; ç) ∫ cos2 xdx.

0 x2 + 4x +

1 − x2

x ln x

100

; ä) arctg3 − arctg2; å) π 6;

Ответ: а) ln3; б)

; â)

;

ã)

æ) ln2; ç) 1 4 + π 8.

2. Применяя подходящую замену переменной интегрирования,

вычислите определенные интегралы:

ln 2

à)

∫

; á)

∫

ex − 1 dx (замена ex − 1 = t2 );

1 +

2 3

â)

∫

− 2)

(замена x − 2 = t3 );

(x − 2)2 3 + 3

110

ã)

∫

(замена t = tg

);

+ 2cos x

π 2

− x2

ä)

∫

(замена t

= tgx); å)

∫

; æ) ∫

1 + 3 sin2 x

1 2

3x + 1

Ответ: а) 6 − 2ln4; á) 2 − π ;

π;

ã) π

ä) π 4;

â)

5 ;

å) 3 − π3; æ) 32 (3 − ln 4).

3. Вычислите определенные интегралы, применяя формулу интегрирования по частям:

π 2	e	1	π 2
à) ∫ x cos xdx;	á) ∫ ln xdx;	â) ∫ x3e2x2 +1dx; ã)	∫ x sin xdx;
0	1	0	0

ä) ∫ x ln xdx; å) ∫ arctgxdx.

Ответ: а)

− 1; á) 1; â)

(e + e3 ); ã) 1; ä)

(e2 + 1); å)

−

ln 2.

4. Вычислите площади следующих фигур:

а) ограниченной параболой y = 4x − x2

и осью абцисс;

б) ограниченной графиком функции y = lnx, îñüþ Ox и прямой

x = e;

в) ограниченной кривой y3 = x, прямыми y = 1 è x = 8;

г) ограниченной кривой y = x3, прямой y = 8 è îñüþ Oy;

д) ограниченной параболой y = 2x − x2

и прямой y = −x.

Ответ: а) 32 3; á) 1; â)

45 4; ã) 12; ä) 9 2.

5. Вычислите несобственные интегралы первого рода (или уста-

новите расходимость) :

∞

+∞

∞

à)

∫

;

á) ∫

;

â) ∫

; ã) ∫ e−2xdx;

+ x2

−∞ x2 + 4x + 9

2 x ln x

+∞

∞

arctgxdx

ä)

∫

; å) ∫

x ln3 x

x2 + 1

π2 8.

Ответ: а)

2; á)

5 ;

в) расходится; г) 1 2; ä) 2 ln2 3

;

å)

6. Вычислите несобственные интегралы второго рода (или установите расходимость) :

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2511 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20231.3 Mб4Математика (семестр 2, часть 1)..pdf
#
05.02.2023641.56 Кб2Математика (семестр 2, часть 2).-1.pdf
#
05.02.2023938.68 Кб2Математика (семестр 2, часть 2)..pdf
#
05.02.2023722.47 Кб4Математика 3 семестр..pdf
#
05.02.20231.9 Mб12Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1.pdf
#
05.02.20234.98 Mб3Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2.pdf
#
05.02.202311.03 Mб8Математика-2-й семестр (курс лекций)..pdf
#
05.02.20234.95 Mб4Математика-3-й семестр(курс лекций)..pdf
#
05.02.20231.56 Mб2Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб12Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб4Математика.-1.pdf