Математическое моделирование процессов термоустойчивости в конструкциях РЭС

81

замещения, отражающую тепловые процессы, происходящие в МТ. При построении схемы, кроме уже рассмотренных, учитывались следующие допущения:

–теплоёмкости всех элементов не зависят от температуры. Такое допущение может быть справедливым в узком диапазоне изменения температур при рассмотрении динамических процессов в зоне температуры статирования;

–выделения тепла датчиком в термостатируемом объекте пренебрежимо малы по сравнению с мощностью, выделяемой нагревателем, т. е. рассматривается класс термостатируемых элементов с рассеиваемой мощностью, по крайней мере, на порядок меньше минимальной мощности потерь.

Электротепловая схема МТ изображена на рис. 6.1, где приняты следующие обозначения:

tc, tо, tд, tн – температура среды, объекта, датчика, нагревателя соответственно;

Rкс, Rко, Rдо, Rно – тепловые сопротивления «корпус-среда», «корпусобъект», «датчик-объект», «нагреватель-объект», соответственно;

Ск, Со, Сд, Сн – теплоёмкости корпуса, объекта, датчика, нагревателя соответственно, причём Ск = Скож + Сиз , где Скож – теплоёмкость кожуха МТ;

теплоёмкость камеры МТ; Сэл i – теплоёмкость термостатируемого элемента; n – число термостатируемых элементов.

Рис. 6.1 – Эквивалентная тепловая схема МТ

В дальнейшем будем учитывать, что схема регулятора и термостатируемая схема построены таким образом, что удельная мощность,

84

На рисунке 6.5 представлена принципиальная схема регулятора температуры пропорционального типа, где датчик температуры условно представлен в виде резистора.

Рис. 6.5 – Принципиальная схема регулятора температуры пропорционального типа

На структурной схеме САР и схеме регулятора приняты следующие обозначения: Wij(p) – передаточные функции i-го элемента j – назначения; Uупр – управляющее напряжение, задающее величину температуры регулирования; Uд – напряжение на выходе датчика Rд, пропорциональное его температуре; Uвых – напряжение на выходе усилителя A1; Рн – мощность, рассеиваемая на нагревателе; ∆θ –возмущающее воздействие температуры среды; tн, tо, tд – температура нагревателя, термостатируемого объекта и датчика соответственно; ∆tо – изменение температуры объекта под действием ∆θ; ∆U – разностный сигнал на выходе органа сравнения.

Для дальнейшего рассмотрения процесса регулирования температуры в МТ нам необходимо знать передаточные функции всех звеньев рассматриваемой САР. Их можно получить, если рассмотреть тепловую модель МТ и работу схемы регулирования температуры.

Аналитическое исследование систем МТ проведем для регулятора температуры пропорционального типа, как наиболее простого, технологичного и занимающего минимальные габариты. Элементы регулятора температуры и собственно конструкции МТ условно разделим: элементам, выполняющим электрические преобразовательные функции, присвоим индекс «c», инерционным тепловым элементам – индекс «т».

85

Отметим также, что приведенная на рис. 6.5 схема регулирования температуры является обобщенной и отражает общие электрические связи в системе МТ. Практическая схема может отличаться как типом и схемой включения датчика (см. рис. 6.2), так и нагревателя (см. рис. 6.3).

6.1.2 Математическая модель МТ

На основании тепловой модели МТ путем анализа уравнений теплового баланса для каждого элемента в динамическом режиме определим их передаточные функции. Такие задачи решаются А.А. Фельдбаумом [15] и В.Н. Кейном [16] для «классических» систем регулирования температуры. В нашем случае будем учитывать особенности гибридно-плёночных и дискретных МТ, рассмотренные при составлении структурной схемы САР и тепловой модели МТ.

На оснований анализа электротепловой схемы и структурной схемы САР с учётом принятых выше допущений делаем вывод о том, что мы имеем дело с системой автоматического регулирования третьего порядка, так как в системе обратной связи есть три инерционных звена – нагреватель, термостатируемый объект и датчик. С учетом того, что нами используется модель с сосредоточенными параметрами при выводе общих и частных передаточных функций САР, основное внимание уделим доказательству адекватности используемой модели. Такая постановка вопроса представляется нам правомочной в связи с тем, что макросистемы третьего порядка с сосредоточенными параметрами достаточно исследованы, и основным отличием в нашем случае является то, что мы имеем дело с микросистемами.

Система уравнений теплового баланса для рассматриваемой САР в динамическом режиме имеет вид:

В системе (6.1) обозначения теплоёмкостей элементов Сj и тепловых сопротивлений между ними Rij соответствуют электротепловой схеме (см. рис. 6.1). Изменения температуры элементов φi во времени отражают динамику изменения температуры элементов при регулировании.

86

Исходя из того, что постоянная времени нагревателя пренебрежимо мала по сравнению с постоянной времени термостатируемого объекта, будем считать, что малые изменения φн не вызовут существенных изменений φо, т.е. φо = 0. Кроме того, при выводе передаточных функций тепловых элементов МТ учтём пренебрежимо малую теплоёмкость датчика Cд по сравнению с теплоёмкостью объекта Со, в связи с чем

g O , K 0 .

После очевидных преобразований получаем передаточные функции в операторной форме:

– нагревателя

где

K1т = Rно, Tн = RноCн;

– объекта

где

Tg RgoCg .

Кроме преобразования электрической энергии Pн в температуру tн нагреватель выполняет функцию преобразователя выходного напряжения Uвых усилителя A1 схемы регулирования температуры в мощность Рн. В этом аспекте нагреватель будет безынерционным звеном. Рассмотрим работу схемы (см. рис. 6.3, а), где составной транзистор V1V2 является нагревателем.

Величина входного тока транзистора V1 равна:

Iвх UВЫХ , RВХ

где Rвх – входное сопротивление составного транзистора V1V2.

87

В [17] показано, что для подобных структур:

окончательно

88

температуры в сопротивление, а совместно с мостом, в который он включен – в напряжение Uд. На рис. 6.2 приведены возможные варианты схем включения датчиков температуры. Для дискретных МТ в качестве датчиков чаще всего используются полупроводниковые терморезисторы, для гибриднопленочных – транзисторы. Как показано в работах И.Б. Фогельсона, например [18], схема, изображенная на рисунке 6.2, б, имеет высокую линейность

при температуре статирования; α – температурный коэффициент; φд – изменение температуры датчика в процессе регулирования.

Отметим, что линейная зависимость Rд f tд в данном случае

справедлива для малых значений φд при применении терморезистора, что имеет место при регулировании температуры МТ в области заданных значений. При дальнейшем рассмотрении будем считать, что входное сопротивление усилителя A1 велико, т.е. его влияние на параметры мостовой схемы включения датчика пренебрежимо мало.

89

Окончательно

В случаях, когда требуется более высокая чувствительность датчика, можно использовать схему, приведенную на рис. 6.2, в. В этом случае, если ток делителя в цепи базы R1R2 много больше базового тока транзистора V1, имеем также практически линейную температурную зависимость коллекторного тока этого транзистора, но значительно большую, чем по схеме на рисунке 6.2, б, так как в схеме с ОЭ имеет место большее усиление по напряжению. Для этого случая нетрудно получить

предполагалось, что в схемах используются кремниевые транзисторы, у которых вполне допустимо пренебречь обратным током Iко, а также сопротивлением эмиттерного перехода rэ [19].

Уравнение теплового баланса для корпуса имеет следующий вид:

Расчёт электротепловых постоянных времени нагрева их элементов, в частности, корпуса и термостатируемого объекта и последующее их сравнение показывают, что:

–для гибридно-плёночных МТ, в которых объектом термостатирования является термостабильная подложка, постоянная времени

подложки много меньше постоянной времени корпуса, т.е. φк ≈ φо, а tк ≈ tо ≈ tп, где tп – температура подложки;

–для дискретных МТ рассматриваемые постоянные времени могут быть сравнимы друг с другом, поэтому при выходе передаточной функции

где TK RKCCK .

Для дискретных МТ, когда величина Тк сравнима с То, имеем уравнение

или

т. е. для дискретных МТ, когда Тк и Тко сравнимы по величинам, корпус представляет собой инерционное звено II-го порядка. Как показано в [20], такое звено можно представить в виде цепочки из двух инерционных звеньев с постоянными времени Тк и Тко. Переходная характеристика такого звена при определенном соотношении величин Тк и Тко приближенно будет иметь вид переходной характеристики инерционного звена с запаздыванием. Это согласуется с выводами, изложенными в работах Л.В. Венгеровского и A.X. Вайнштейна [21], что термостаты для возмущающего воздействия являются инерционными элементами с запаздыванием.

Таким образом, нами получены выражения, описывающие передаточные функции исследуемых МТ при пропорциональном регулировании температуры.

Далее рассмотрим передаточные функции системы термостатирования для задающего и возмущающего воздействий. Для структурной схемы С (см. рис. 6.4) регулирующим воздействием является отклонение между задающим