5. Анализ существования других положений равновесия

Необходимо, изменяя начальные значения вектора состояния равновесия, произвести анализ возможности существования других состояний равновесия для заданного режима.

Для поиска других состояний равновесия, проварьируем начальные значения вектора состояния равновесия: первые пять значений от 0,1 до 1 с шагом вариации в 0,3, последнее значение вектора от 36 до 54 с шагом 6 и для каждой вариации начального вектора повторим нахождение статики с помощью команды trim. Полученные векторы сравним с вектором состояния равновесия заданного режима, при приближении к нему вывод вектора.

x0=[];

u0=1;

y0=1;

ix=[];

iu=[1];

iy=[];

%Задание векторов заданного режима и пустого для вариации начального

%вектора

zr = [0.5642; -0.0738; -0.0738; -0.0378; 0.0000; -5.1637];

x0 = zeros (6,1);

%Реализация способа

for x1 = 0.1 : 0.3 : 1

for x2 = 0.1 : 0.3 : 1

for x3 = 0.1 : 0.3 : 1

for x4 = 0.1 : 0.3 : 1

for x5 = 36 : 6 : 54

for x6 = 0.1 : 0.3 : 1

x0 = [x1; x2; x3; x4; x5; x6];

[x,u,y,dx]=trim('model1',x0,u0,y0,ix,iu,iy)

for i = 1 : 1 : 6

if (((x(i) >zr(i) + 0.1) || (x(i) <zr(i) - 0.1)) && x(i) > 0)

x

u

y

break;

end

if (i == 6)

disp('Другое состояние равновесия не существует');

end

end

end

end

end

end

end

end

В результате перебора новых положений равновесия не найдено.

6. Переход от номинального к заданному режиму

Необходимо произвести анализ поведения системы при переходе с номинального режима на заданный и представить графики процессов на выходах системы, исполнительного механизма и регулятора. Убедиться в установлении найденного ранее в п.2 состояния равновесия.

Для анализа поведения системы при переходе на заданный режим был выбран метод интегрирования Рунге-Кнутта 4 порядка – ode4 с шагом 0,0001. Время моделирования 200с. Реальное время моделирования ≈ 25.7860 с.

Время моделирования измеряется скриптом:

e = 0.0;

for i = 1 : 1 : 10

t = cputime;

sim('model1');

e = e + cputime - t;

end

e = e / 10

Время моделирования меняется при многократном проведении моделирования из-за программных особенностей решателя (кеширование данных, фоновая нагрузка компьютера и т. п.), поэтому в скрипте вычисляется среднее время по 10 запускам моделирования, для получения итогового значения были сделаны три тестовых прогона, затем три основных, итоговое время моделирования взято как лучшее по трём основным прогонам и составило 25.7860 с.

Далее представлены графики выхода системы, исполнительного механизма и регулятора:

Рисунок 9 – График выхода системы при переходе заданный режим.

Рисунок 10 – График выхода ПИ-регулятора.

Рисунок 11 – График выхода исполнительного механизма-сервомотора.

Исходя из выше представленных графиков можно сказать, что поведение системы имеет колебательный характер. Также стоит отметить неизменность графика после прохождения сервомотора в сравнении с выходом ПИ-регулятора. Выход системы же как бы «смещается». Характерными отличиями являются установившееся значение на 1 (на выходе регулятор и сервомотора – ≈ 0.5), выход системы – затухающая синусоида, выход регулятора и сервомотора – затухающая косинусоида. Чтобы определить в который момент моделирования изменяется график выхода, необходимо вывести графики выходов с остальных элементов системы.

Рисунок 12 – График выхода ЭМП.

Рисунок 13 - График выхода регул. клапана.

Рисунок 14 – График выхода паропровода.

При переходе в заданный режим система демонстрирует устойчивость, процессы носят колебательный характер. Изменение номинальных настроек регулятора может позволить снизить время регулирования и перерегулирование.

Необходимо, применяя различные методы численного интегрирования, установить максимальный фиксированный шаг интегрирования для каждого из методов, при котором ещё сохраняется устойчивость численного метода и качество процессов. При максимальном шаге время моделирования данным методом интегрирования должно быть минимальным.

Проанализируем различные методы численного интегрирования, пытаясь добиться наибольшего шага интегрирования, при котором решение устойчиво и сохраняет качество процессов. Результаты сведены в таблицу. Длительность моделирования измерялась по той же методике, что и в п. 5.

При выполнении данного пункта были использованы одношаговые (ode1, ode2, ode3, ode4, ode5) и многошаговые (ode113, ode15s, ode23t, ode23tb) методы интегрирования. Результаты экспериментов были сведены в следующую таблицу:

Таблица 4 – Длительность моделирования и максимальный шаг при различных методах интегрирования

Метод интегрирования	Длительность при максимальном шаге, c	Максимальный шаг
Одношаговые методы
Ode1 (Euler)	0.78	0.029
Ode2 (Heun)	1.15	0.043
Ode3 (Bogacki-Shampine)	0.77	0.047
Ode4 (Runge-Kutta)	1.70	0.053
Ode5 (Dormand-Prince)	0.76	0.065
Многошаговые методы
Ode113 (Adams)	1.76	0.025
Ode15s (stiff/NDF)	2.07	0.12
Ode23t (mod.stiff/Trapezodial)	1.52	0.99
Ode23tb (stiff/TR-BDF-2)	0.8	0.5

Отметим, что при превышении выбранного максимального шага интегрирования решение одношаговых методов расходилось, как показано на рис. 16 (слева при максимальном выбранном шаге, справа при увеличении шага на единицу последнего значащего разряда).

1. Метод Эйлера

2. Модифицированный метод Эйлера

3. Метод Богацки-Шампине

4. Метод Рунге-Кутта

5. Метод Дорманда-Принса

6. Метод Адамса

7. Метод численного дифференцирования

8. Метод трапеция

9. Реализация неявных методов Рунге-Кутта

Лучшим одношаговым методом с максимальным шагом и минимальным временем моделирования является ode5 – метод Дормана-Пренса.

Многошаговые методы при превышении максимального порога для минимального размера шага показывали расходящееся в бесконечность решение (процесс моделирования завершался с ошибкой и требованием снизить шаг). Лучшее время при достаточно большом шаге интегрирования и высоком качестве процессов показал метод ode23t, он и будет использоваться в дальнейшем. Хотя он показал устойчивость и достаточное качество процессов при шаге 0.99, в дальнейшем целесообразно использовать значение 0.1 для большей надёжности вычислений.