Учебник Математические пакеты

Следует отметить, что тип одной и той же переменной может меняться в процессе сессии, так как данные в Scilab не имеют строгой типизации. Например, если в переменной хранился текст, то на следующем шаге выполнения в нее можно записать число, а затем и логическое значение. Scilab следит за соответствием типов только при вычислении значений выражений.

Арифметические операции и функции

Алгебраические операции (-, +, *, /, \, ^, ') в системе Scilab вы-

полняются как над скалярными элементами, так и над векторами и матрицами. При этом операнды могут быть, как действительными, так и комплексными.

На рис. 1.2.2-2 приведены примеры использования алгебраических операций и функций над скалярами, векторами и матрицами.

--> // Алгебраические операции над векторами

V=

3.7. 10. 15.

-->

U=

1.16. 36. 64.

--> --> // Алгебраические операции над матрицами

--> mA = [1 2 3; -1 2 0; 3 2 4] mA =

13.18. 25.

Рис.1.2.2-2 Примеры алгебраических операций и функций над векторами и матрицами

31

Список алгебраических операций над векторами и матрицами, а также функции det и trace, позволяющие вычислить определитель квадратной матрицы и след матрицы, приведены в табл.1.2.2-5, причем совместимость операндов в приведенных операциях определяется правилами соответствующих алгебраических операций. Матричные алгебраические операции следуют правилам линейной алгебры, а требуемый размер и форма операндов относительно друг друга, зависит от конкретной операции.

Алгебраические матричные операции и функции. Таблица 1.2.2-5

Рассмотрим пример решения матричного уравнения вида А∙Х=В или Х∙А=В, где Х – неизвестная матрица. Если умножить матричное уравнение на матрицу обратную к А, то оно примет вид: А-1А∙Х=А-1В или Х∙А∙А-1=В∙А-1. Так как А-1А=А∙А-1=Е, а Е∙Х=Х∙Е=Х, то неизвестную матрицу Х можно вычислить так: Х=А-1 В или Х=В∙А-1. Понятно, что матричное уравнение имеет единственное решение если А и В – квадратные матрицы n-го порядка, а определитель матрицы А не равен нулю. Решив матричные уравнения А∙Х=В и Х∙A=B, выполним проверку. Решения матричных уравнений в Scilab показаны на рис. 1.2.2-3.

--> // Примеры решения матричных уравнений

--> A = [3 2; 4 3];

--> B = [1 7; 3 5]; -->

--> // Решение матричного уравнения A∙X=B

5.-13.

-->

--> X = inv(A) * B // Второй способ, использующий обратную матрицу

X =

-3. 11.

5.-13.

0.0.

-->

--> // Решение матричного уравнения X∙A=B

0.0.

0.0.

Рис. 1.2.2-3 Решение матричных уравнений

33

Поэлементные арифметические операции в системе Scilab, операции

с точкой (-, +, .*, ./, .\, .^, .') – это операции между элементами массивов.

Они осуществляют вычисления, как над скалярными элементами, так и над элементами одномерных и двумерных массивов, при этом используются как действительные, так и комплексные операнды.

Операции с точкой между элементами массивов отличаются от алгебраических матричных операций концептуально, хотя их операнды в оперативной памяти компьютера структурно представлены одинаково. Поэтому для упрощения изложения, в дальнейшем будет использоваться термины вектор и матрица для любых операций в системе Scilab, а концептуальный (содержательный) смысл, использованных данных будет зависеть от решаемой задачи.

Отметим, что поэлементные операции, аргументами которых являются вектора и матрицы, выполняются поэлементно только над матрицами, имеющими одинаковые размерности и размеры по каждому измерению.

Примеры некоторых операций над скалярными данными приведены на рис. 1.2.2-4, а над элементами матриц на рис. 1.2.2-5.

--> // Арифметические операции над скалярными данными

-->

--> a = 2.3; b = -14.654;

--> c = a .* b // Формат вывода результата по умолчанию c =

-33.7042

--> r = a ./ b r =

-0.1569537 -->

--> format(4) // Формат вывода результата с округлением

--> c = a * b c =

-34.

--> r1 = a / b r1 =

-0.2 -->

--> format(16) // Формат вывода результата с двойной точностью

--> c = a .* b c =

-33.7042

--> r1 = a / b r1 =

-0.1569537327692

Рис.1.2.2-4 Примеры арифметических поэлементных операций над скалярами данными (матрицами размерностью 1х1)

Список используемых арифметических операций над элементами матриц приведен в табл.1.2.2-6.

34

Арифметические поэлементные операции над матрицами. Таблица 1.2.2-6

--> // Примеры арифметических поэлементных операций матрицами

--> --> // Арифметические поэлементные операции над векторами

--> vX = [1 4 6] vX =

1.4. 6.

--> z = (-vX.^2 + vX ./ 4) .\ 4 z =

-5.333333333 -0.266666667 -0.115942029 --> vX1 = -vX, vX1 .* vX

vX1 =

1. -4. -6. ans =

-1. -16. -36. -->

--> // Арифметические поэлементные операции над элементами матриц

--> M1 = [1 2 3; 3 2 1]; --> M2 = 3 .* M1

M2 =

3.6. 9.

9.6. 3.

--> M3 = M2 + M1.^2 M3 =

4.10. 18.

18.10. 4.

Рис.1.2.2-5 Примеры арифметических поэлементных операций над векторами и матрицами

35

Если при выполнении поэлементных операций требования к размеру или размерности матрицы не выполняются, то матрицы можно преобразовать к необходимому размеру с помощью специальных функций. Например, функция matrix позволяет изменить размеры вектора или матрицы, а функция resize_matrix выполняет обрезку или расширение матрицы. В Scilab имеются также функции, которые позволяют проверить число измерений (ndims) и размеры по каждому измерению аргументов (size). Описание перечисленных выше функций будет рассмотрено в п. 1.3.2.

Поэлементные математические функции, реализованные в Scilab, ис-

пользуются при проведении различного вида математических расчетов. Список наиболее часто используемых в математических расчетах функций, приведен в табл. 1.2.2-7.

Наиболее часто используемые математические функции. Таблица 1.2.2-7

Тригонометрические функции (аргумент задается в радианах)

Примеры обращения к некоторым из библиотечных математических функций показаны на рис.1.2.2-6.

--> // Примеры использования встроенных математических функций Scilab

--> x = 10;

36

Преобразование данных к арифметическому типу

Поскольку во всех языках программирования, в том числе и в Scilab, основные арифметические операции должны иметь аргументы одного и того же типа, то необходимо осуществлять преобразование аргументов к одному типу. Например, в случае если аргументы арифметических операций разного арифметического типа, вещественные и целые. Кроме того, в Scilab могут использоваться типы данных, отличных от арифметических типов, например, логические, строковые и другие. Преобразования одних типов данных к другим допустимым типам числовых данных можно осуществить явным образом с помощью функций, список которых приведен в табл. 1.2.2-8.

Преобразование данных числового типа. Таблица 1.2.2-8

Здесь необходимо сделать несколько замечаний по поводу преобразования типов в операциях с различными типами аргументов.

Когда бинарная арифметическая операция (например, умножение) применяется между двумя различными операндами различных, но совместных типов, обычно тип одного из двух неявно преобразуется, а другой операнд устанавливает свой тип результату.

Так, результат арифметических операций между операндами целочисленного и вещественного типа с плавающей точкой двойной точности всегда преобразуются к целочисленному типу данных, и, когда это необходимо, по умолчанию, округляется, в соответствии с алгоритмом округления. То есть, он округляется до ближайшего целого числа.

38

Приоритет выполнения математических операций

Приоритет выполнения математических операций в Scilab аналоги-

чен приоритету, принятому в языках программирования высокого уровня: вычисление функции, возведение в степень, умножение и деление, сложение и вычитание. Для изменения приоритета в математических выражениях, как обычно, используются круглые скобки.

Замечания по использованию данных типа double

Как известно, система Scilab по умолчанию осуществляет все вычисления с максимальной возможной точностью – с вещественным типом данных с двойной точностью (double). Поэтому необходимо, во-первых, понимать, как представлены числовые данные этого типа в памяти компьютера, а во-вторых, особенности операций с ними.

В оперативной памяти компьютера Scilab представляет данные типа double в соответствии с принятыми стандартами. Любое числовое значение, хранящееся как double, занимает 64 бита (8 байтов) и состоит из знака числа, мантиссы и порядка. При этом имеет допустимый диапазон отрицательных числовых значений от -1.80D+308 до -2.205D+308, а положительных – от 2.23D-308

до 1.80D+308.

Переменную типа double в Scilab можно создать с помощью простого оператора присваивания, например, x=34.723.

Хотя характеристики представления созданных значений из набора вещественных чисел с плавающей точкой двойной точности известны, однако их можно уточнить, воспользовавшись функцией number_properties,которая возвращает значение параметра в зависимости от заданного запроса

(рис. 1.2.2-7)

-->// Примеры использования функции number_properties

-->

--> b = number_properties("radix") // Основание b =

2.

-->

-->eps = number_properties("eps") // Относительная максимальная погрешность eps =

1.110D-16

-->

--> ps = number_properties("huge") // Максимальное допустимое положительное -->// значение

ps = 1.80D+308

-->

--> ps = number_properties("tiny") // Минимально допустимое положительное

-->// значение ps =

39